1、智浪教育-普惠英才文库(第 1 页 共 9 页)2014年第五届“步青杯”数学邀请赛初赛试题(高一)说明：(1)全卷满分 150 分，共 20 小题；(2)时间：120 分钟；(3)必须将所有答案写在答题卷上.一、选择题：共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.1设函数 的定义域为 A，值域为 B，则 =( ).()lg1)fxAA B C D0,(,(0,1),1)2 ( ).sin5A B C D2223如下图所示的几何体，其俯视图正确的是( ).4若直线 不平行于平面 ，且 ，则( ).llA 内的所有直线与 异面 B 内不存在与 平行的直线lC 内存在唯一的直线与 平行 D 内的
2、直线与 都相交l5定义在 上的函数 满足 ，则 的值为( ).R()fx2log(16),0() xff3fA B2 C D442l36已知 是函数 的零点，若 ，则 的值满足( ).afx21l)(ax0)0xfA B C 0(xf 0)(f )(fD 的符号不能确定)07某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96， 106，则该样本数据的众数、中位数和平均数分别为( ).A 、 、 B 、 、1010.3.10.3C 、 、 D 、 、.30.智浪教育-普惠英才文库(第 2 页 共 9 页)(参考数据： )0
3、.29.310.2530.159.68若点 和点 到直线 的距离依次为 1 和 2，则这样的直线有( ).1,)A(4,)BlA4 条 B3 条 C2 条 D1 条9将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同 )的纸折叠一次，使点 与点(2,0)2,)重合，则与点 重合的点是( ).5,8)A B C D(6,77,6)(5,4)(4,5)10定义区间 的长度均为 ，多个区间并集的长度为各,ababdba区间长度之和，例如， 的长度 用(2,13,)12)3x表示不超过 的最大整数，记 ，其中 设 ，xxxR()fxA，当 时，则不等式 的解集区间的长度为( ).()1g05()fgA1 B2
4、 C3 D4二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.11某单位有 200名职工，现用系统抽样法，从中抽取 40名职工作样本，将全体职工随机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40组(15 号，610 号,196200 号).若第 5组抽出的号码为 22，则第 9组抽出的号码应是 .12已知实数 ，函数 ，若 ，则 的值0m2,1()xmf()(1)fmf为_.13执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 5，则判断框内 的取值范围是_.14在平面直角坐标系中，若两点 P，Q 满足条件：P，Q 都在函数 的图象上；()yfxP，Q 两点关于直线 对称，则称点对 P，Q 是函数
5、 的一对“和谐点对 ”.()yfx(注：点对 与 看作同一对 “和谐点对”).,P否是开 始k=1S=0S=S+2kk=k+1 结 束输出kSm？智浪教育-普惠英才文库(第 3 页 共 9 页)已知函数 ，则此函数的“和谐点对”有 对.23,0()logxf15若 为偶函数，则实数 .28()xaxfAAa16在三棱锥 中， 平面 BCD， ， ，BCDCDB1ACD则该三棱锥外接球的表面积为 .三、解答题：共 4 小题，共 70 分.17(本题满分 15 分)设 .22sincos(1sin0)1()in)f (1)化简 ；()f(2)求 的值.3)89ff18(本题满分 15 分)汽车是碳
6、排放量比较大的行业之一，某地规定，从 2014 年开始，将对二氧化碳排放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下(单位：g/km).经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 .120/xgkm乙(1)从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？130/gkm(2)求表中 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.x智浪教育-普惠英才文库(第 4 页 共 9 页)19(本题满分 20 分)一个几何体是由圆柱 和三棱锥 组合而成，点 、1ADEA
7、BCA、B在圆 的圆周上，其正 (主) 视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12，如图所示，CO其中 ， ， ， EABC平 面 BC2(1)求证： ；D(2)求三棱锥 的体积20(本题满分 20 分)已知函数 ， .2()lg1)fx()2xm(1)若存在 ，对任意 ，使得 ，求实数 的取值范围；10,3x2,fg智浪教育-普惠英才文库(第 5 页 共 9 页)(2)若对任意 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；10,3x21,x12()fxgm(3)若对任意 ，任意 ，使得 ，求实数 的取值范围；1,2,12()f(4)若存在 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.10,3x21,
8、x12()fxg2014年吴川一中第五届“步青杯”数学邀请赛高一初赛参考答案一、选择题：14 DACB 58 DBCB 910 AC1D 由 得 ，即 ，而 知 ，即 ，0x1(,1)A0x()fRB于是 .(,)AB2A .2sin5si3652)sin5i(1845)sin3C 俯视图是从上而下的投影，于是只有 C 正确.4B 由题意知直线 与平面 相交，只有 B 正确.l5D 由题意得 .2()(1)0log6ff6B 由函数 与 在 上均为增函数，得 在2xy2logx,)12()logxf上均为增函数，又 ， ，则 .(0,)0a(f0(fxa7C 众数： ；中位数：设中位数为 ，有
9、101.5，解得 ；平均数：().5.x41.3x0.29091.1230.7520.97.20.31.3.68B 原题转化为圆 与 的公切线的条数问题.画:()1Axy2:(4)Bxy出图形知两圆外切，于是它们有 3 条公切线.9A 设 ，则 的中点为 ，而 ，则 的垂直线平分(2,0),40,1Ak 智浪教育-普惠英才文库(第 6 页 共 9 页)线为 ，即 ，设点 关于直线 的对称点为 ，:21(0)lyx2yx(5,8)Bl(,)Bmn则 ，解得 ，即与点 重合的点是 .8522nmA67mn(5,8)(6,7)10C 当 时， ， ，由 得 ，01x00fxAfxg01x无解；当 时
10、， ， ，由 得()1()，无解； 当 时， ， ，由1x232()24f得()fg，则 ； ；24xx当 时，同理得 ；当 时，同理得 ；345x5x当 时， ，由 得 ，即 成立；5x()0fA()fg01综上， 的解为 ，则 .fg2523d二填空题：1142 12 13 142 15 16341,1031142第 5 组抽出 22 号，组距为 ，第 5 组抽出 号.045212 当 时， ，由 得40m1,m()(1)ffm，即 (舍去)；当 时， ，2(1)()2320,1由 得 ，即 .ff()13413 输入： ，(,01,0kS输出： 2，6，12，20.S：2，3， 4， 5
11、.k此时 判断为 “否” ，于是 ，而 判断为 “是” ，0m20m1 的取值范围是 .12142 先作出 ，再结合函数的图象考虑问题.()fx作出函数 的图像，然后作出2()log0fx关于直线 yx对称的图像，与函数 3()的图像有 2 个不同交点，所以函数的“和谐点对”有 2 对15 由 为偶函数得 ，1)fxfaf智浪教育-普惠英才文库(第 7 页 共 9 页)ABCDO ，28()3aaA则 ，解得 .21016 可推断得 AC 的中点为该三棱锥外接球的球心.如图，由 平面 BCD， B平面 ABD，得平面 ABD 平面 BCD，B又平面 ABD 平面 BCD ， ，BDC 平面 A
12、BD，而 平面 ABD，CDA ，又 ，则 ，A2 ，取 的中点 ，23O则 ，OB 是三棱锥 外接球的球心，得 ，即 ，CD23R2该三棱锥外接球的表面积为 .4S17解：(1) ， ，2 分cos()sin22i()cos 221csin1(sin1)()1inioi2f ；7s分(2) ()2(3)(89)fff= 9 分cos1cos45cso89ininiin = 12 分8945()()i2= .15 分cos1cosicos1nnin18解：(1)从被检测的 5辆甲品牌的轻型汽车中任取 2辆，共有 10种不同的二氧化碳排放量结果：(80，110)，(80，120)，(80，140
13、)，(80，150)，(110，120)，(110，140)，(110，150)，(120，140)，(120，150)，(140，150). 3 分设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km”为事件 A，则事件 A包含以下 7种不同的结果：(80，140)，(80，150)，(110，140)，(110，150)，(120，140)，(120，150)，(140，150)， .6分7()0.1PA智浪教育-普惠英才文库(第 8 页 共 9 页)答：至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km的概率为 0.7.7分(2)由题可知， ，解得 . 9分48012125xx乙 ， 120x又
14、10分0x甲 ， ，2222221 605s 甲 （ 8-） （ 10-） （ -10） （ 4-） （ 150-） ，1422222248乙 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）分 210xs甲 乙 乙甲， ， 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好. 15 分19(1)证明：由 ，知 是 的直径，ABCDOA又 平面 ， 平面 ，D ，4 分而 ， 平面 ， 平面 ，C ；9 分(2)解：由(1)及 得 为等腰直角三角形，10ABC分设 ，又 ，,OrDh2E由其正视图、侧视图的面积分别为 10 和 12，有 ，解得 ，15120()2rh2rh分又 ， ，16 分EABC平 面 24,
15、rOAr三棱锥 的体积D1133EBCDABCABCVSESD .20分11 6()()()(42)(332ABCS20解： ，当 时， ，lgfx0,x0,1fx而 ，当 ， ，4()gm,()gm分(1)若存在 ，对任意 ，使得 ，10,3x21,x12()fxg智浪教育-普惠英才文库(第 9 页 共 9 页)即存在 ，对任意 ，使得 ，10,()fx21(),4gxm12()fxg则 ，有 ，解得 ，7 分,42,m01224即 的取值范围是 ；8,4分(2)若对任意 ，存在 ，使得 ，10,3x21,x12()fxg即对任意 ，存在 ，使得 ，()f (),gm12()fxg则 ， ，即 ，11 分minin)fxg44即 的取值范围是 ；12 分1,)(3)若对任意 ，任意 ，使得 ，0321,x12()fxg即任意 ，任意 ，使得 ，1,()fx()4gm1()fx则 ， ，即 ，15 分minaxg即 的取值范围是 ；16 分,)2(4)若存在 ，存在 ，使得 ，10321,12()fxg即存在 ，存在 ，使得 ，,()fx(),42gxm12()fx则 ， ，即 ，19 分maing3即 的取值范围是 .20分3,)4
