1、第二讲 不等式的证明及著名不等式1基本不等式(1)定理：如果 a，bR，那么 a2b 22ab，当且仅当 ab 时，等号成立(2)定理(基本不等式 )：如果 a，b0，那么 _ ，当且仅当_时，等号成立也a b2 ab可以表述为：两个_的算术平均_它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数 x，y，如果它们的和 S 是定值，则当且仅当_时，它们的积 P 取得最_值；如果它们的积 P 是定值，则当且仅当_时，它们的和 S 取得最_值2三个正数的算术几何平均不等式(1)定理 如果 a，b，c 均为正数，那么 _ ，当且仅当_时，等号成a b c3 3abc立即三个正数的算术平均_它们的
2、几何平均(2)基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a 2，a n，它们的算术平均_它们的几何平均，即_ ，a1 a2 ann na1a2an当且仅当_时，等号成立3柯西不等式(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a 2b 2)(c2d 2)(acbd) 2，当且仅当 adbc 时等号成立(2)设 a1，a 2，a 3，a n，b 1，b 2，b 3，b n是实数，则 (a a a )(b b b21 2 2n 21 2)(a 1b1a 2b2a nbn)2，当且仅当 bi0(i1,2，n) 或存在一个数 k，使得2naikb i(i1,2， ，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：
3、设 ， 是两个向量，则| |，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立4证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道 abab0 ，ab，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由 ab0 1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明 ab，只要证明_即可，这种ab方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等 )这种证法称为分析法，即 “执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不
4、等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设P n是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题 P1(或 P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出 Pk1 也成立，那么可以断定P n对一切自然数成立1已知 a ，则 a，b 的大小关系为_1a2 1b22已知 a、b、m 均为正数，且 a0，b0 ，则 Plg
5、(1 )，Q lg(1a) lg(1b) 的大小关系为_ab125设 a、b、c 是正实数，且 abc9，则 的最小值为_.2a 2b 2c题型一 柯西不等式的应用例 1 已知 3x22y 26，求证： 2xy .11思维升华 使用柯西不等式时，关 键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式 (a2b 2)(c2d 2)( acbd) 2，当且仅当 adbc 时等号成立若 3x4y 2，则 x2y 2 的最小值为_题型二 用综合法或分析法证明不等式例 2 已知 a，b，c(0，) ，且 abc1，求证：(1)( 1)( 1)( 1)8；1a 1b 1c(2)
6、.a b c 3思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果” ，分析法 证 明不等式是“执果索因” ，它 们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆 过程，表述 简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野设 a，b，c 0，且 abbcca 1.求证：(1)abc ；3(2) ( )abc bac cab 3 a b c题型三 放缩法或数学归纳法例 3 若 nN *，S n ，求证： ， .上面不等式中 kN *，k1.1kk 1 1k2 1kk 1 1k
7、 2k k 1 1k 2k k 1求证： |b|；ab2； 0，y0，M ，N ，则 M、N 的大小关系为_x y2 x y x2 x y2 y6若 a，bR ，且 ab， M ，N ，则 M、N 的大小关系为_ab ba a b7若 a，b，c(0 ，)，且 abc 1，则 的最大值为_a b c8已知 a，b，c 为正实数，且 a2b3c9，则 的最大值为_3a 2b c9(2013天津)设 ab2， b0，则当 a_时， 取得最小值12|a| |a|b10设 a0，b0 ，则以下不等式 ，a|ab|b；a 2b 24ab3b 2；abab2aba b2 中恒成立的序号是_2abB 组 专
8、项能力提升1已知 x0，y 0，且 1，则 xy 的最小值为_1x 9y2函数 yx 2(13x )在 上的最大值是_(0，13)3(2013陕西)已知 a，b，m，n 均为正数，且 ab1，mn2，则(am bn)(bman) 的最小值为_4已知 a，b 为实数，且 a0，b0.则 的最小值为_(a b 1a)(a2 1b 1a2)5P (x0，y0，z0)与 3 的大小关系是_xx 1 yy 1 zz 16已知 x22y 23z 2 ，则 3x2yz 的最小值为_18177设 a，b，c 都是正数，那么三个数 a ，b ，c _.(填序号)1b 1c 1a都不大于 2；都不小于 2；至少有
9、一个大于 2；至少有一个不小于 2.答案基础知识自主学习要点梳理1(2) ab 正数 不小于( 即大于或等于)(3)xy 大 x y 小2(1) abc 不小于 (2)不小于 a 1a 2a n4(1)ab0 1 (2)充分条件 (4)相反ab(5)放大或缩小夯基释疑1ab2Mbc解析 分子有理化得 a ，b ，c13 2 16 5 17 6abc.4PQ解析 lg(1a) lg(1b) lg .12 1 a1 b(1a)(1b)1(ab)ab12 ab(1 )2， 1 ，ab ab 1 a1 b ablg(1 )lg lg(1a)lg(1b)，ab 1 a1 b12即 lg(1 ) lg(1
10、a)lg(1b)PQ .ab1252解析 (abc) ( )2( )2( )2( )2( )2( )2(2a 2b 2c) a b c 2a 2b 2c 2 18.(a 2a b 2b c 2c) 2.2a 2b 2c 的最小值为 2.2a 2b 2c题型分类深度剖析例 1 证明 由于 2xy ( x) ( y)，23 3 12 2由柯西不等式(a 1b1a 2b2)2(a a )(b b )得21 2 21 2(2xy) 2( )2( )2(3x22y 2)( )6 611，|2 xy| ，2xy .23 12 43 12 116 11 11跟踪训练 1 425解析 由柯西不等式(3 24
11、2)(x2y 2)(3x4y) 2，得 25(x2y 2) 4，所以 x2y 2 .425不等式中当且仅当 时等号成立， x2y 2 取得最小值，由方程组Error!解得Error!x3 y4因此当 x ，y 时，x 2y 2 取得最小值，最小 值为 .625 825 425例 2 证明 (1) a，b，c (0， ) ，ab2 ，bc2 ，ca2 ，ab bc ca( 1)( 1)( 1)1a 1b 1c b ca ca babc 8.2bc2ac2ababc(2)a，b，c(0，)，ab2 ，bc2 ，ca2 ，ab bc ca2(abc) 2 2 2 ，ab bc ca两边同加 abc
12、得 3(abc)abc2 2 2 ( )2.ab bc ca a b c又 abc1，( )23，a b c .a b c 3跟踪训练 2 证明 (1)要证 abc ，3由于 a，b，c0，因此只需证明(abc) 23.即证：a 2b 2c 22( abbcca)3，而 abbc ca1，故需证明：a 2b 2c 22( abbcca)3(abbcca)即证：a 2b 2c 2abbc ca.而这可以由 abbcca a 2b 2c 2 (当且仅当 abc 时等号成a2 b22 b2 c22 c2 a22立)证得原不等式成立(2) .abc bac cab a b cabc在(1)中已证 ab
13、c .3因此要证原不等式成立，只需 证明 .即证 a b c 1，1abc a b c bc ac ab即证 a b c abbcca.bc ac ab而 a ，b ，c . a b c abbcca bc abacab ac2 ac ab bc2 ab bc ac2 bc ac ab(abc 时 等号成立) 原不等式成立33例 3 证明 n(n1)n 2，S n12n .nn 12又 k 2k(k1)，k2， a 2，a0，b0 得 ba.又 cb (1x ) 0 得 cb，知 c 最大11 x 1 1 x21 x x21 x44解析 (1 )(1 )(1 )24.1x 1y 1xy5M M .x2 x y2 y x2 x y y2 x y x y2 x y6M N解析 ab， 2 ， 2 ，ab b a ba a b 2 2 ，ab b ba a a b .即 MN.ab ba a b7. 3解析 ( )2(1 1 1 )2a b c a b c
