1、第 1 页，共 4 页2002 高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题 车灯线光源的优化设计 参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。一. 假设和简化 (略)二. 模型的建立建立坐标系如下图，记线光源长度为 l ，功率为 W，B,C 点的光强度分别为 W 和)(lhBW， 先求 和 的表达式，再建立整个问题的数学模型.)(lhC)(lhBlC以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为 ，焦点坐标为602yxz（0,0,15）。1) 位于点 P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点 C(0, 2600, 25015)的
2、能量设反射点的坐标为 Q .记入射向量为 ,该点反射面外法线方向为 ,不难得)60,(2yxab到反射向量 满足c.2ba记 ,由22yxr)1,30/(,56,brwa从而得 的表达式zyxc)90(681318)2(924rwyrcwrzy注意到反射光通过 C 点,应有60/251,2rkcyxzy P QbA CB0 caz yx第 2 页，共 4 页其中 为常数. 从上述第一式可解得 或 .由此得反射点坐标满足以下两k0xwyrk290组方程: 2 23459052)6(137.08 )81036()46819(8)20(yxwy ywy通过计算可知,存在 ,当 时第一组方程不存在满足
3、 的实根,56.1CCw0236r即无反射点. 而当 时,有两个反射点 .02,1)6/,(2iyQii而第二组方程仅当 时存在满足 的一对实根,即有两9.8.3r个反射点 记为 .),6,(2yx43,若反射点的坐标为 ,则位于点 的单位能量点光源经 点反射到 C(z)15,0(wPQ点的能量密度(单位面积的能量 , 正比于光强度) 为24cosPQL其中 222 )1560/()(ryx而 为反射向量与 z 轴的夹角,./501cosC2) 的表达式)(,lhCB长 的具有单位能量的线光源位于点 的长 的微小线光源段反射到 C 点)15,0(wPd的能量密度为,/)()(41lwfEi其中
4、4,35609.1,8.3,04cos)( 2,1,/s)(202 iwPQf ilfiii Ciii长 的具有单位能量的线光源反射到 C 点的能量密度为l第 3 页，共 4 页.)()(2/llCdwEh类似可得 的表达式.相应的反射点方程为B 2 23459026)1(37.0518 )81046()3014982()0(yxwy ywyyx相应的 而第二组方程的有两个反射点的范围为,78.0B .7805.,96.1w3） 优化设计的数学模型设线光源的功率为 W, 则它反射到 B 点和 C 点的能量密度分别为 和WlhB)(.问题的数学模型为:lhC)( 1)(2.min0 WlhtsC
5、Bl三. 模型的求解可以用数值积分求得. 应具备下列性质：)(,lhCB )(lB0,2,0)(llwlhBBB其中 为起亮值， 为最大值点， 为考察的最大范围，例如取为 20mm。 也有类似的BlBl0l )(lhC性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解 ,记其解为 ,再求出)(2)(lhlCB*,不难看出 且 落在 之中。ClCl*),(CBl令 现证 为问题之最优值。事实上，对可行域中任一 ，/2)(/1*hw*w),(wl当 有 （用到 时 ）。,l,/lHl*lB当 ，有 ，（用到 时 ）。)(/CCch这就证明了 的确是最小值。*事实上数值结果为 .623,.,16.3*
6、lllB四. 反射光亮区的计算分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，第 4 页，共 4 页否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为 x 轴，纵坐标为 y 轴，单位为 mm),下半部分与上半部分是关于 x 轴对称的.五. 注记(1) 计算 的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决 .具体)( ,lhCB的做法是: 在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后, 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，在测试屏 B(或 C)点附近取一微小面元.计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来,除以面元的面积即为 B(或 C)点的反射能量密度.但用这样的方法必须十分注意结果的检验,注意计算精度(必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏 B(或 C)点附近小面元的取法等).(2) 以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题，即假设线光源是透明的。如果假设线光源是不透明的，似乎更符合现实。此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡，计算会更复杂些，计算结果也会有所不同。
