1、1高二数学竞赛班一试讲义第七讲 复数与单位根班级 姓名 一、知识要点：1复数模、共轭复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式 121212zzz模与共轭的联系 2z2复数的几何（向量）意义在复平面上对应点 ，也对应着向量zxyi(,)ZxyOZ复数 满足 ，轨迹表示复数 对应的点 组成的线段的中垂线zab,ab,AB复数 满足 ，轨迹表示以 为圆心， 为半径的圆0r0zr复数 满足 ，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆）,1R3复数的三角形式 ，(cosin),zr是复数的辐角， 时称为复数的辐角主值,2运算法则： ，111,0r222(cosin),0zr乘法 221(s)si(),z r除法
2、112conr乘方 (si),0nzr开方 ，有 个 次方根： (cossin),01,2.nkkkz n4单位根：记 ，其中 为虚数单位，多项式 有 个互22iie x不 相等的根 ，它们称为 次单位根。易于看到，在复平面上， 个 次2,(1)nnn单位根对应的点恰是单位圆的内接正 边形的顶点。5 次单位根的性质：n（1）设 和 是整数，则 的充分必要条件是klkl(mod)kln（2）任意两个 次单位根的乘积仍是一个 次单位根；任意一个 次单位根的倒数也是一个 次单位根。（3）设 是整数， ，则 恰给出全体 次单位根。k(,)1n()1,2)kl证明：因为 ，所以 是模 的一个完系,n6因
3、 是 的 个不同的根，故有 ，2,x 11()()n nxx又 ，所以)(122xxnn（1） )(1122 nn （2） 027 的根为 ， （可设 ） ，有310x21,x132i（1） ， （2） ， （3）332,nnn 21,1二、例题精析例 1 （1） z 为模大于 1 的复数， ，则 z= 15cosiz（2）（13北约6）模长都为1的复数 满足 ,则 ( ),ABC0BCAA. B. 1 C. 2 D. 无法确定2例 2 （2006 年上海交大）已知 ， 是实数， 是复数，求 的最大值。1zkz21zk例3若关于 的二次方程 ， 的解在复平面上对应的四个x20x210xm不同的
4、点共圆，求实数 的取值范围。m例 4设 M 是单位圆 上的动点，点 N 与定点 A(2, 0)和点 M 构成一个等边三12yx角形的顶点，并且 MNA M 成逆时针方向，当 M 点移动时，求点 N 的轨迹。例 5已知单位圆的内接正 边形 及圆周上一点 ，求证： 。n1,nAP21nkA0 yxN AM3例 6设 是正整数，证明：n（1） 03691(2cos)3nnnSC（2） 14710(23（3） 258 4)(csnnn例 7(2011 年清华金秋营)求 sin sin sin 的值。n2n)1(三、精选习题1 （13华约5）若复数 的实部为0， 是复平面上对应 的点，则点 的轨1wZ1
5、w,Zxy迹是（ ）(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧2关于 的一元二次方程 有一根模长为1，则 =_()xC20xmm3若虚数 满足 ，则 ，其中 是正整数。31_nn4已知 ，则 。122,4zz12z45 （2006 年清华）求最小正整数 ，使得 为纯虚数，并求出 n1()23nIiI6设 为椭圆 上任意一点，以 为边长作矩形 （字母顺序按逆时P1492yxOPPQR针方向） ，使 ，求动点 的轨迹OPRR7 （2011 年卓越） 为虚数单位，设复数 满足 ，求 的最大值。iz12zi8复平面内区域 由复数 对应的点 组成，若 与 的实部与虚部都在0与1之
6、间，AzZ4z求区域 的面积。9(2013 北大）求 的值。265iie10若复数 满足 ，且存在负数 ，使得 ，求 的值。z1a220zaa11证明： 。04812(cos)nnnC5高二数学竞赛班一试讲义第七讲 复数与单位根例1 （1） 【解】215cosin2z两边取模25cosinz得 ，故(舍 去 )或 5=(cosin)cosin2z（2）【解】方法一：由题知 ,所以1ABC,2ABCAB也即,故选B.31ABCACB方法二：由题知 ,所以 ， ，11BCA1例2 【解】 211zkzkzk2Re()2Re()2zkzk且当 时取等,0例3 【解】 的解是 ， 易知圆心在 轴上2x
7、1xix1） 时，1m的解为两个实根时，20易知圆心为 (,)OCA224(1)213OBACD CDBAO62） 时，201m的解为两个虚根时，xi中垂线交 轴于一点，即为圆心ACx故 ， 综上所述：13(1,)2例 4 30(cosin)MAN()OO12()ixyixyi3322xyxi3,21y2231()()xyx整理得 即 022()(3)1xy例 5证明：设 ， 对应的复数是 。2cosinine1,nA 21,n又设 对应的复数为 ，Piz1122 21000()()nnnkkkkkkAzzz0kkkzz例 6在二项展开式 中，01(1)nnnxCx依次取 （设 ） ，则2,3
8、2i0122012()nnS相加得 03(1)()(cosin)(cosi)33nnn nS 得 6912)3nnC在 中从上到下各式分别乘以 ，求得0122012()nS 21,1 1()()()(2cos333nnnn从上到下各式分别乘以 ，求得2,2 (4)()(1)(nnnnS7例 7解：设 （i 为虚数单位）,则 1, 为 的根。nsco )1(2,n 02nx，sin sin sin =kkiink21si 2n)1()1(214nni= = ,1)(421)()nni 1)(24而 = ,)1(2xx )2()1(2xxnn)(42 1(sinisnn2实系数一元二次方程， 时有两个共轭的虚数根，且根的情况一般要分实数、虚数0讨论。【解】1) 时，方程有两个实根，其中有一根为1或-1504m代入得 或2) 时，方程有两个共轭的虚根，由韦达定理 21zz综上所述： 或6椭圆 362yx8 【解】设 ,zixR0440y222014xyxizy204xy由线性规划知图中阴影部分即为区域 A故面积为 223140011在二项展开式 中，1()nnnxCx依次取 （4 次单位根） ，则,i相加得 048(2()(1)nnnCii 2cosi)cos4nn400 408所以 04812(cos)4nnnC
