.选择公理定义：设X是一个集合。记为X中的所有非空子集构成的集族，即。如果一个映射：满足条件：对于任意，有 ，则此映射称为集合X的一个选择函数。任何一个函数都有选择函数就是选择公理。1.设X和Y是两个集合。证明：cardYcardX当且仅当存在一个从X到Y的满射。证：设cardYcardX，即存在一个Y到X的一一映射f，定义g：，使其中为Y中一固定元，则g是从X到Y上的映射。反之，若存在从X到Y上的映射g，记则是X中非空族，并且中成员两两无交，由Zermelo假定存在集合，使得对于每一，是单点集，所以存在C到Y上的一一映射，即，又，故。2.设和是集合X的两个拓扑。证明也是集合X的拓扑。举例说明可以不是X的拓扑。证：若，都是X的拓扑，由于，所以；任意,即，所以，任意，即，即，则，所以，因此是X的拓扑。例：设， ，易见都是X的拓扑，但，而， ，因此不是X的拓扑。3.设是一个拓扑空间，其中是任何一个不属于X的元素。令，。证明是一个拓扑空间。证：显然；任意，若A，B中有一个为，显然；若，则，故总有；任意，若，则；若，即，也有，故总有，所以为拓扑空间。4.
