导数在不等式中的应用.doc

.4.7 导数在不等式证明中的应用一、利用单调性证明不等式单调性本身就是体现了不等式关系，因而利用单调性来证明不等式便是顺理成章的事.在4.4中，我们利用导数的符号就能判断函数的单调性。例1. 设，证明 分析: 证1: 设 ， 则 ，当时，故单调减小从而，当 时，单调增加，即，故不等式成立. 注：有时需要多次使用导数符号判断单调性.证2 分析: ， ，从而，即： 注：综合使用中值定理和单调性.例2 证明 .分析：证 令则 从而 在单调减少，当时， 即 . 二、 利用中值定理证明不等式1、利用Lagrange中值定理证明不等式设在上连续，在内可导，则有 于是，我们依据关于的，得到不等式. 如：（1） （2）单调，（3）如果 例3 证明：当时，分析：