高等代数环的定义与性质.doc

.一、 环的定义与基本性质（一） 环的定义：1、 定义1：交换群称为加群（Abel群），其运算叫做加法，记为“+”。2、 定义2：代数系统称为环，若1）（A，+）是加群；2）代数系统适合结合律；3）乘法对加法+的分配律成立。3、 例子（1）、都是环，均称为数环。（2）Zi =a+bi | a、bZ，i2=1 ，则也是数环，称之为高斯整环。（3）设F是任一数环，则Fx关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。（4）Zn=所有模n剩余类，则是模n剩余类环，这里ab = a+b， = ab.（5）设（A，）是加群，规定乘法如下：ab=0，则作成一个环，称之为零环。（二）环的基本性质：（1）。（2）。（3）。（4）。（n为整数）（5）。（m、n为整数）（6）。（m、n为整数）（7） 。（8）。（9）。（10）。（11） 。 （12）。 (n为整数)。（13）若环中元、满足，则 （14）。（m、n为整数）