.定理及其证明费马定理：设在的某邻域内有定义，而且在这个领域上有（其中为局部最大值）或者（其中为局部最小值），当在处可导时，则有证明：因为假设存在，由定义可得左导数和右导数均存在且满足：当时，所以当时，所以所以以上是对于这种情况进行的证明，同理也可证明这种情形罗尔定理：设在上连续，在上可导，若，则必有一点使得证明：分两种情况，若为常值，结论显然成立若不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间上的连续函数具有最大值和最小值）可知，必在内某一点处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，拉格朗日中值定理：设在上连续，在上可导，则一定有一点使证明：分两种情况，若恒为常数，则在上处处成立，则定理结论明显成立若在不恒为常数时，由于在上连续，由闭区间连续函数的性质，必在上达到其最大值和最小值，有一种特殊情况时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理考虑一般情形，做辅助函数由连续函数的性质及导数运算法则，可得在上连续，在上可导，且，这就是说满足刚刚的特殊情况，因此在内至少有一点，使得即定理得证柯西中值定理：若和在上连续，在上可导
