1、一类三角形的面积比问题定理 在 中，点 满足 R 且ABCP,(0PCBA，则 ， 当 共线)00 :PCSS时，约定 ；当 共线时，约定 ；当 共线时，约定PBCS, 0A,)A证明 以射线 为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系(如图 1 所示).xBy图 1设 ，得 ),(0,),(wvCuBA0u又设 ，由 得 ，所以,yxPPA 0CPBA),(,(),(),( wyvxyxy若 ，得 ，因为 ，所以 ，得 0w0u0再由 ，得 ，所以 ，这与题设PCBA,AB矛盾！所以 ，得 00wy又因为 ，所以 ),(wvABCPS同理，有 ABPABCP,所以 .:PABCPBSS定
2、理获证注 有很多文献(比如文献1)也研究了以上定理的结论，但都限定了 R ,推论 1 若点 在 内，则 0PCSBSACPBP推论 2 (1)若点 是 的重心，则 0；GACG(2)若点 是 的内心，则 0(其中 )；IBIcbIa,abcAB(3)若点 是锐角 的外心，则 0；O OCBOA)2sin()si)2sin(4)若点 是锐角 的垂心，则 0HACHHta(tat证明 (1)在 中，设射线 AG 交 BC 于点 D.B由点 是 的重心，得 ，所以 .G3DG13BGCBAS同理，可得 .1BCGABASS再由推论 1，立得欲证结论成立.(2)可设 的内切圆 的半径是 r，得I:2B
3、ICIAIBabcra再由推论 1，立得欲证结论成立.(3)可设 的外接圆 的半径是 R，得AO22211:sin:sin:sinsi2:in:si2BOCOBSSRCOARBABC再由推论 1，立得欲证结论成立.(4)如图 2 所示，设 ，得NBHMAC, BASABCH tan1tan同理，有 CBSACBHAB t,tan1所以 ，再由推论 1 可得欲证SHBCHan:t:图 2下面举例说明以上诸结论的应用.题 1 (2008 年西北工业大学自主招生高考测试数学试题第 6 题) 设 为 内一点，MABC且 ，则 与 的面积之比为 ( )ACBM54BMACA. B. C. D.32524
4、1解 A.可得 0 ，由定理得CAB54与 的面积之比为 BC1题 2 (2008 年全国高中数学联赛 (吉林赛区)预赛暨 2008 年吉林省高中数学竞赛试题第3 题) 已知 是平面上不共线的三点， 是 的重心，动点 满足、 、 GCP，则点 一定为 的( )12GPABPABA.AB 边上中线的中点 B.AB 边上中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点解 B.由题设及推论 2(1)，可得64=3,2GCGP所以选 B.题 3 (2006 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试第 5 题) 如图 3 所示，设为 内一点，且 ，则 的面积与 的面积之比等于( )PABC215A
5、PBABCA. B. C. D.1543图 3解 A.可得 0，再由定理可得答案.2+PABC题 4 (2004 年全国高中数学联赛第一试第 4 题)设点 在 的内部，且有OABC0，则 的面积与 的面积的比为( )3OABAA.2 B. C.3 D.253解 C.由定理可得 的面积与 的面积的比为 .ABCO123题 5 (2012 年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题第 14 题)设 为 内一点，且OABC，则 的面积与 的面积比为 .ABO413B解 .可得 0，再由定理 1(3)可得答案.35题 6 (2012 年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题第 4 题)已知点 在 内部，且 ，记 的
6、面积为 ， 的面积为 ，则 的值为 .AOCBA423BC1SOBC2S1解 2.可得 0，再由定理可得答案.题 7 (2012 年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题第 7 题)已知 在 所在平面PABC内一点，满足 ，则 与 的面积之比为 .BCPAAPBC解 2:1.可得 0，再由定理可得答案.20题 8 (2011 年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题(高二年级)第 1 题) 已知 是所在平面上一点，满足 ，则 与 的面积之比为 .BC3APBC解 .可得 0，再由定理可得答案.21PCBA题 9 设 是 的垂心， .若 ，则H5,6ABHmn.mn解 .可求得 ，所以 是锐角三角形.132
7、244tan,ttan73AC由 ，得 0ABC(1)()mHn由推论 2(4)，可得 24():():73n141,32n题 10 (2008 年南京大学自主招生试题第 3 题)设 是 内任意一点，证明：OABC0OCSBOASACB(显然，该题就是推论 1)题 11 在 所在的平面上求一点 ，使 取最小值.P22ABPC解 设 的重心为点 G，由推论 2(1)，可得22222=()()()PABCG3PABP222所以当且仅当点 是 的重心 G 时， 取最小值.PABCC题 12 在 中， .若 M 是 的内切圆 上的任意=,abcABI一点，试判断 是否为定值？并说明理由.222aMbc
8、解 设 的半径为 r，由推论 2(2)，可得I222222=()()()ABCaIAbIBcIC()abcIcMab2222()rIcI由题设可知， 均为定值，所以 为定值.,crIABC 2ABcC题 13 在 中， 成递增的等差数列，点 G，I 分别=,abca为 的重心和内心，求证： .ABC/GI证明 设 为 所在平面上的任一点，由推论 2(1)可得O0()()()AOBCG13再由推论 2(2)，得0()()()aIbIcOI1OaABC再由 ，得2acb21()3)3Ic所以 21()()3)3GIOaOAcCBOAC( 0)()()acac所以 ./IAC题 14 已知 的外接圆 的半径是 R，内切圆 的半径是 r，求证：BOI.2ROr证明 设 .=,abAc由推论 2(2)，(详细过程见题 13 的解答)可得1()OIabOBcC2222(cos2os2cos)()ROIabAaCOAc222( c)()abCB所以 22(1cos2)(1cos2)(1cos2)()ROI Aaabc22224(iniin)()abCB28(sisi)()ABRSc2()2ABCababR441()2()()ABCRScrcc参考文献1 吕辉. 三角形面积比问题的解法探究J. 中学生数学， 2010(4 上)：21
