矩阵范数详解.doc

.周国标师生交流讲席010向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)一 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。最容易想到的矩阵范数，是把矩阵可以视为一个维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用上的向量范数来作为的矩阵范数。比如在范数意义下，； （1.1）在-范数意义下， （1.2）注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计的“大小”相对于的“大小”关系。定义1 设，对每一个，如果对应着一个实函数，记为，它满足以下条件：（1）非负性：； （1a）正定性：（2）