.欧几里得的证法设ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在定理的证明中需要如下四个辅助定理： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等SAS。 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。其证明如下：1. ALDE，分别与BC和DE直角相交于K、L。2. 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。3. ABFB,BCBD, ABC+ABFABF+CBD4. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以ABD 必须相等于FBC。5. 因为 A 与 K 和 L在同一直线上，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于ABD。同理正方形BAGF必须二倍面积于F
