微分中值定理的证明题.doc

.微分中值定理的证明题1. 若在上连续，在上可导，证明：，使得：。 证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。2. 设，证明：，使得。 证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得： ， 即 ， 即： 。 3. 设在内有二阶导数，且，有证明：在 内至少存在一点，使得：。 证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得 又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在， 使得：，而，即证4. 设函数在0,1上连续，在(0,1)上可导，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得 (2) 在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】 （I） 令，则F(x)在0，1上连续，且F(0)=-10, F(1)=1