拉普拉斯算符在柱坐标中的推导.doc

.拉普拉斯算符在柱坐标中的推导x , y 与,的关系为2=x2+y2,tan=yx,(0+,0+)或x=cos,y=sin.如图为得到在柱坐标中表达式，先求以下量：由2=x2+y2得 x=x=cos, y=y=sin.由tan=yx两边对x求偏导得sec2 x=-yx2，所以x=-1sec2yx2=-cos2tan1x=-cos2sincos1cos=-sin ,同样的y=cos21x=cos2cos=cos.因为u=u(,z),=(x,y),=(x,y),把上诉关系带入链式法则得ux=urrx+ux=cosu-sinu ,uy=urry+uy=sinu+cosu ,相互独立，所以2ux2=cos-sincosu-sinu=cos22u2+sin2u-