1、本卷第 1 页（共 9 页）2014-2015 学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合 M=x|x22x0， N=x|x|1 则 MN=（ ）A1，0） B （0，1） C （1，2） D （0，2）2已知（1+ ） 2=a+bi（a ， bR，i 为虚数单位） ，则 a+b=A4 B 4 C 7 D 73设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a6=18a7，则 S12=（ ）A 18 B 54 C 72 D 1084已知双曲线 =1 的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心
2、率为（ ）AB C D5已知向量 =（2，0） ，向量 =（2，2） ，向量 =（ cos， sin） ，则向量 与向量 的夹角范围为（ ）A 0， B ， C ， D ， 6执行如图所示的程序框图，若输出的 S 是 127，则条件可以为（ ）A n5 B n6 C n7 D n87已知 p： 2x ，q： x+ 2，则 p 是 q 的（ ）本卷第 2 页（共 9 页）A充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件8已知 x、y 都是区间0， 内任取的一个实数，则使得 ysinx 的取值的概率是（ ）AB C D9 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（
3、 ）A40 B 20 C 20 D 4010若 f（x）=2cos（x+ ）+m，对任意实数 t 都有 f（t+ ）=f（t） ，且 f（ ）=1 则实数 m 的值等于（ ）A1 B 3 或 1 C 3 D 1 或 311过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是原点，若|AF|=3，则AOF 的面积为（ ）AB C D 212设 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f（x） ，若 f（x）+f（x）1，f（0）=2015，则不等式 exf（x） ex+2014（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A （2014， +） B （，0）（2014，
4、+）C （，0）（0，+ ） D （0，+）二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13若等比数列a n满足 a2+a4=20，a 3+a5=40则 a5+a7= _ 14若实数 x，y 满足 如果目标函数 z=xy 的最小值为 1，则实数 m= _ 15如图，格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为 _ 本卷第 3 页（共 9 页）16函数 f（x）= 的最大值与最小值之积等于 _ 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，且A 满足：2cos
5、2A2sinAcosA=1（）若 a=2 ，c=2，求 ABC 的面积；（）求 的值18 （12 分）某旅行社为 3 个旅游团提供甲、乙、丙、丁共 4 条旅游线路，每个旅游团任选其中一条（1）求恰有 2 条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为 ，求 的分布列和数学期望19 （12 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，AB AC，AB=AC=2，AA 1=4，点 D 是BC 的中点（1）求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；（2）求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值本卷第 4 页（共 9 页）20 （12 分）椭圆 C： + =1（ab0）的
6、离心率为 ，其左焦点到点 P（2，1）的距离为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标21 （12 分）已知函数 f（x） = x2 ex3+ex（x1） （其中 e 为自然对数的底数） ，记 f（x）的导函数为 f（ x） （1）求函数 y=f（x）的单调区间；（2）求证：当 x0 时，不等式 f（x）1+lnx 恒成立下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修 41】几何证明选讲22 （10 分） 如图，四边形 ABCD 内接
7、于O ，BD 是 O 的直径，AECD 于点 E，DA平分BDE（1）证明：AE 是O 的切线；（2）如果 AB=2 ，AE= ，求 CD【选修 44】 坐标系参数方程23已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半径为极轴）中，曲线 C 的极坐标方程为 =4cos（1）分别将直线 l 和曲线 C 的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点，求|PQ|【选修 45】 不等式选讲24 （2014泉州模拟）设函数 f（x）= + 的最大值为 M（）求实数 M 的值；（）求
8、关于 x 的不等式|x 1|+|x+2|M 的解集本卷第 5 页（共 9 页）本卷第 6 页（共 9 页）20 解：（）左焦点（c，0）到点 P（2，1）的距离为 ，解得 c=1又 ，解得 a=2，b 2=a2c2=3所求椭圆 C 的方程为： 本卷第 7 页（共 9 页）（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 得（3+4k 2）x 2+8mkx+4（m 23）=0 ，=64m2k216（3+4k 2） （m 23）0，化为 3+4k2m 2 ， y1y2=（kx 1+m） （kx 2+m）= = 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D（2，0） ，k ADkBD=1， ，y
9、1y2+x1x22（x 1+x2）+4=0， 化为 7m2+16mk+4k2=0，解得 m1=2k， ，且满足 3+4k2m20当 m=2k 时，l：y=k（x 2） ，直线过定点（2，0）与已知矛盾；当 m= 时，l：y=k ，直线过定点 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为 21 （1）解：）f（x） = x2 ex3+ex（x1） ，f（x）= ex2+x+ex（x1）+e x=x（e x+1ex） ，令 y=ex+1ex，则 y=exe，y0，得 x1，y0，得 x1，则 x=1 取极小，也是最小，则 y1即 ex+1ex0 恒成立，则 g（x）0 得 x0；g（x）0 得 x0故
10、g（x）的增区间为（0，+） ，减区间为（，0） （2）证明：当 x0 时，1+lnx f（x）=1+lnx+ex 2xexx，令 h（x）=1+lnx+ex 2xexx，本卷第 8 页（共 9 页）h（x）= +2ex1exxex，当 x=1 时，h （x）=0 ，由（ 1）得，e xex0，当 x1 时，h（x）0，当 0x1 时，h（x）0，故 x=1 为极大值，也为最大值，且为 h（1）=0故当 x0 时，h（x） h（1） ，即有 h（x） 0，故当 x0 时，1+lnx f（x）0，即 f（x） 1+lnx22（1）证明：连结 OA，在ADE 中，AECD 于点 E，DAE+ADE
11、=90DA 平分 BDCADE=BDAOA=ODBDA=OADOAD=ADEDAE+OAD=90即：AE 是 O 的切线（2）在ADE 和BDA 中，BD 是O 的直径BAD=90由（1）得：DAE= ABD又BAD=AEDAB=2求得：BD=4， AD=2BDA=ADE=BDC=60进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=223 解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，普通方程为y= x+22 ；本卷第 9 页（共 9 页）圆 =4cos，等式两边同时乘以 得到 2=4cos，即 x2+y2=4x，即（x2） 2+y2=4；（2）x 2+y2=4x，即（x2） 2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于 2 的圆圆心到直线的距离为 =1，|PQ|=2 =2 24 解：（）函数 f（ x）= + = + =3，当且仅当 = ，即 x=4 时，取等号，故实数 M=3（）关于 x 的不等式|x 1|+|x+2|M，即|x 1|+|x+2|3由绝对值三角不等式可得|x 1|+|x+2|（x 1）（x+2）|=3，|x1|+|x+2|=3根据绝对值的意义可得，当且仅当2 x1 时，|x1|+|x+2|=3 ，故不等式的解集为2，1
