1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 不等式证明的教学研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 2 摘要： 不管是在中学还是大学，不等式的学习都是一大难点。本文首先对不等式及其最基本的性质进行了简单的介绍，然后对不等式证明的教学对发展学生的数 学思维、培养逻辑思维能力等方面进行了研究，并得出这样的作用是非常重要的。证明不等式没有固定的模式，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。正因为如此，本文采用了几种不同的方法，主要包括：利用函数的单调性，函数极值，中值定理，中学常用的数学归纳法，分析综合法，放缩法等。而对于不等式的应用方面，本文主要涉及贝努利不等
2、式证明极限问题。在最后以 Cauchy 不等式为例，讲述了不等式的教育价值。 关键词： 不等式；中值定理；函数思想；教育价值；证明3 Inequality proof of teaching research Abstract: Whether in high school or college ,inequality of learning is a great difficulty.First this paper briefly introduced the most basic of inequality and the nature.After that fac the teachi
3、ng of inequality proof to develop the students mathematical thinking, cultivate logical thinking ability etc aspects studied ,and draw the effect is very important .Prove the inequality has no fixed mode , methods due to a problem and vision, agile and changeable, powerful skills.Just because of thi
4、s paper using several different methods mainly includes:using monotonicity of functions ,function extreme , mean-value theorem, mathematical induction , analysis synthesis ,put shrinkage method etc.For application of inequality,this paper main involves under the Bernoulli inequation limit problem.In
5、 the last With Cauchy inequality for example Tells the education under the inequality value. Keywords: inequality;Mean-value theorem;Function thought;Education value; proof 4 目录 1、序论 . 5 1.1 不等式研究的背景、意义 . 5 2 不等式 . 6 2.1 不等式 . 6 2.2 不等式的基本性质 . 6 2.3 不等式可遵循的一些同解原理 . 6 3 不等式的证明 . 7 3.1 利用函数思想证明不等式 . 7
6、 3.2 利用中值定理证明不等式 . 10 3.3 利用高等数学解决初等数学不等式 . 12 3.4 Cauchy-schwarz 不等式 4 的证明 . 14 3.5 Young 不等式 3 及 Young 逆不等式 3 的证明 . 14 3.6 中学数学不等式证明的几种方法 . 15 3.6.1 构造法证明不等式 . 15 3.6.2 分析与综合法 . 16 3.6.3 数学归纳法 . 16 3.6.4 放缩法（增减法） . 17 3.6.5 换元法证明不等式 . 17 4、不等式的应用 . 19 4.1 Jensen 不等式 1 . 19 4.2 贝努利不等式 3 . 19 4.3 贝努
7、利不等式的应用 . 21 5、不等式的教育价值 . 23 总结部分 . 25 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 26 5 1 序论 1.1 不等式研究的背景、意义 不等式的理论很早就被 Gauss、 Cauchy等人关注并研究过，但是不等式作为一门系统的学科出现始于 1934年， Hardy、 Littlewood和 G.Polya合作出版不等式（ Inequalities）之后。在此之 前不等式只是出现于数学家们研究领域中所使用的引理，证明及研究得到的副成果而已。直到 Hardy等人对不等式做了系统的研究和总结之后，不等式才真正成为了一门系统学科。于此同时，更给后人提供了一个崭新
8、的数学领域。继 Hardy等人之后， Beckenhach，E.F, R.Bellman的名著不等式（ 1961年）反映了 1934年至 1960年不等式的研究成果。此后不等式的研究方法与方向进一步多样化。 J.Diendonne在他的无穷小分析中赋予不等式以特别的重要性，它采用了以 “ 较大的，较小的，接近的 ” 等术语为特色 的叙述方法。之后 Mitrinovic于 1970年出版了解析不等式（ Analytic Inequalities）对于不等式的总结和发展达到了一个新的高度。 此后，关于不等式的研究就从未停顿过。 20世纪 80年代以来，在中国也出现了持续高涨的不等式研究热潮。我国匡
9、继昌于 1989年出版的常用不等式是首次由中国人撰写的不等式著作，并首次大量收入了中国数学家们发现的新不等式。此外，杨路，杨学枝，张景中，常庚哲等对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮，并取得了丰硕的成果。同时，王挽澜， 祁锋，王伯英等著名数学家在代数不等式方面，同样取得了举世瞩目的成果。 另外，胡克教授于 1981年发表在中国科学上的论文一个不等式及其若干应用针对 Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为 “ 一个杰出的非凡的新的不等式 ” ， 现在称之为胡克（ HK）不等式。 在过去数年里，数学不等式的有用性在诸多领域内体现的很明显。例
10、如，在研究凸函数的一些性质时，离不开不等式的帮助。 20世纪数学已经确认数学不等式的力量已经上升到一个全新的高度。对不等式研究所得到的一些成果被广泛运用到其他领域中去，比如 经济学，游戏理论，数学规划，控制理论，变分理论，运筹学，概率统计等。由此可以看出不等式的有用性，研究不等式的重要性。 6 2 不等式 我们先对不等式进行一下简要的介绍： 2.1 不等式 用不等号将两个解析式连接起来所成的式子就称为不等式。在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等号的式子就是不等式。例如 2 2 2x y xy ， sin 1x ， 0ex ， 23x ，55x 等。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般
11、地，用纯粹的大于号、小于号 “ ，“ 连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号） “ ， “ 连接的不等式称为非严 格不等式，或称广义不等式。 2.2 不等式的基本性质 性质 1 如果 xy ，那么 yx ；如果 yx ，那么 xy ；（对称性） 性质 2 如果 xy ， yz ；那么 xz ；（传递 性） 性质 3 如果 xy ，而 z 为任意实数或整式，那么 x z y z ；（加法法则） 性质 4 如果 xy ， 0z ，那么 xz yz ；如果 xy ， 0z ，那么 xz yz ；（乘法法则） 性质 5 如果 xy ， 0z ，那么 xyzz ；
12、如果 xy ， 0z ，那么 xyzz ； 性质 6 如果 xy ， mn ，则 x m y n ；（充分不必要条件） 性质 7 如果 0xy， 0mn ，那么 xm yn ； 性质 8 如果 0xy，那么 x 的 n 次幂 y 的 n 次幂，即表示为 nnxy （ n 为正数）。 2.3 不等式可遵循的一些同解原理 一、不等式 ( ) ( )F x G x 与不等式 ( ) ( )G x F x 同解。 二、如果不等式 ( ) ( )F x G x 的定义域被解析式 ()Hx的定义域所包含，那么不等式( ) ( )F x G x 与不等式 ( ) ( ) ( ) ( )F x H x G x
13、 H x 同解。 三、如果不等式 ( ) ( )F x G x 的定义域被解析式 ()Hx 的定义域所包含，并且( ) 0Hx ，那么不等式 ( ) ( )F x G x 与不等式 ( ) ( ) ( ) ( )F x H x G x H x 同解；如果( ) 0Hx ，那么不等式 ( ) ( )F x G x 与不等式 ( ) ( ) ( ) ( )F x H x G x H x 同解。 以上三条是不等式同解原理中的主要表现形式。7 3 不等式的证明 3.1 利用函数思想证明不等式 函数思想是利用函数的概念、性质和图象去分析问题、转化问题和求解问题 ,它是一种很重要的数学思想方法 ,函数是研
14、究变量的变化规律 ,所以只要有变量的问题就可以利用函数思想 9 。 在求解某些数学问题中，根据问题的条件，构想、组合一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转化并利用函数的相关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。即通过构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性来解决 9 。 例 3.1.1 对任意实数 a 和 b ，成立不等式 | | | | | |1 | | 1 | | 1 | |a b a ba b a b 。 分析 不等式中三个式子形状相似，相当于函数 ()1 xfx x 在相应三个点的函数值，为此我们根据 不等式的特点构造辅助函数，将不等
15、式的证明转化为利用函数增减性与极值来研究。 证 设 ( ) , ( 0)1 xf x xx 。21( ) 0 , ( )(1 )f x f xx 在 (0, ) 内严格递增。于是由 | | | | | |a b a b ，就有 (| |) (| | | |)f a b f a b 。即 | | | | | | | | | | | | | |1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |a b a b a b a ba b a b a b a b a b 。 解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化为不含绝对值符号的不等式去解，但有些分式不等式中出现了绝
16、对值，也不便于去掉时，我们所采取的方法是通过分析不等号左右两边各式的相似之处，将相似的量当做是所构造的函数的两个取值点，然后利用函数的单调性来证明。 例 3.1.2 设 (0,1)x ，证明： （ 1） 22(1 ) ln (1 )x x x ； （ 2） 1 1 1 11ln 2 ln (1 ) 2xx 证 （ 1）令 22( ) (1 ) ln (1 )f x x x x ，则 8 2( ) l n (1 ) 2 l n (1 ) 2f x x x x 2 (ln (1 ) )() 1 xxfx x 令 ( ) ln(1 )g x x x ，则 1( ) 1 0 , (0 , 1 )1g
17、x xx ， 所以当 (0,1)x 时，( ) (0) 0g x g。所以 ( ) 0fx 所以 ( ) (0 ) 0f x f，所以 ( ) (0) 0f x f 即22(1 ) ln (1 )x x x （ 2）令 11()ln(1 )Fx xx，则 2222(1 ) ln (1 )() (1 ) ln (1 )x x xFx x x x 。 由（ 1）可知 ( ) 0Fx ，从而0(1) ( ) lim ( )xF F x F x，即 111 ( )ln 2 2Fx ，即 1 1 1 11ln 2 ln (1 ) 2xx 。 说明 1 利用函数的单调性证明不等式时，如果一阶导数的符号不能
18、确定，可以利用二阶或三阶导数符号来确定。 说明 2 在利用单调性证明不等式时，如能对欲证的不等式作适当的恒等变形，往往可以使问题得以简单。 例 3.1.3 证明：若 1p ，则对于 0,1 中的任意 x 有：111 (1 ) 2pp pxx 证 设函数 ( ) (1 ) ( 0 1 )ppf x x x x 。有1 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) p p p pf x p x p x p x x 令 ( ) 0fx ，得唯一驻点 12x 。从而2 2 21 1 1 1( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 2 ( 1 ) ( ) 0 , 12 2 2 2p p pf p p
19、p p p p p 所以， 12x 是极小值 点也是最小值点。最小值为111()22pf 。两边界为 (0) (1) 1ff。所以 111 (1 ) 2pp pxx 。 说明 3 当题设满足以下条件时可以用该方法： （ 1）所设函数 ()fx在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单 调函数时； （ 2）只能证不严格的不等式而不能证明严格的不等式。 9 定义 1 设 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上任意两点 12,xx和实数 (0,1) ，总有 1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x 则称 f 为 I 上的凸函数。反之，
20、则称为凹函 数。 例 3.1.4 对任意实数 ,ab有 2 1 ()2ab abe e e 。 证 设 xye ，则 0xye， ( , )x 故 y 为 ( , ) 上的凸函数，由凸函数的定义：对12 1, 2x a x b ，有 1 1 1 1( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )2 2 2 2y a b y a y b 即 2 1 ()2ab abe e e 。 定义 29 所谓多变量不等式 ,就是一个不等式中有多个变量 ,而且一般情况下是齐次变量 ,如果是二次的 ,那么可以构造一个关于其中一个变量的二次函数 ,然后利用二次函数的单调性或者求最值或者利用二次函数的图像分析问题 ,从而
21、得到想要证明的结果 。 例 3.1.5 设 ， ， 为任意三角形的三个内角 ,对于任意实数 ,xyz 。求证：2 2 2 2 c o s 2 c o s 2 c o sx y z x y y z z x 。 证 根据题意 ,先将特征式整理为关于的二次函数模型 ,再利用函数及方程的有关性进 行推理论证。将 ,yz看做是常数，构造关于 x 的函数 2 2 2( ) 2 ( c o s c o s ) 2 c o sf x x y z x y z y z 因为 ,xyz R 。 2 2 22 2 2 224 ( c o s c o s ) 4 ( 2 c o s )4 ( c o s 1 ) 8 (
22、 c o s c o s c o s ) 4 ( c o s 1 )4 ( s in s in ) 0y z y z y zy y z zyz 又因为函数 ()fx图像开口向上，所以 ( ) 0fx 。 故 2 2 2 2 c o s 2 c o s 2 c o s .x y z x y y z z x 例 3.1.6 已知 | | 1,| | 1,| | 1abc ，求证 1ab bc ca 。 10 证 原不等式化为： ( ) 1 0a b c bc 。将 a 看作自变量，于是问题转化为只须证： 当 | | 1a 时， ( ) 1a b c bc 恒为正数。因而可构造函数 ( ) ( )
23、1 ( 1 1 )f a a b c b c a ， 若 0bc ， 原不等式显然成立。若 0bc ，则 ()fa是 a 的一次函数。 ()fa 在 ( 1,1) 上为单调函数。而 ( 1 ) ( ) 1 (1 ) (1 ) 0f b c b c b c ， (1 ) ( ) 1 (1 ) (1 ) 0f b c b c b c 。 所以 ( ) 0fa ，即 1ab bc ca 。 对于像 例 3.1.5，例 3.1.6 这样的不等式的形式，我们可以看出两者是齐次形式，那么根据问题的条件和结论，对不等式适当的恒等变形后，通常我们构造的函数有一次函数，二次函数，分式函数，指数函数，对数函数等。
24、然后巧妙的利用各类函数的基本性质，最常用的性质就是函数特有的单调性，最值性。当碰到的不等式的变量时二次的时候，我们常常构造二次函数，然后利用二次函数特有的判别式来获得不等式。 3.2 利用中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理 如果函数 ()y f x 在闭区间 , ab 上连续，在开区间 (, )ab 内可导，那么在 (, )ab 内至少有一点 c ，使 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a b a f c （这个定理的特殊情形称罗尔定理）。 推论 1、 ( ) ( ) ( ) ( ) ,f b f a f b a a b 2、 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) , 0 1f b f a f a b a 3、 ( ) ( ) ( ) , 0 1f a h f a f a h h 。 柯西中值定理 7 设 (),fx ()Fx都在区间 , ab 上连续，在 (, )ab 内 可导且 ( ) 0Fx ，则存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fF b F a F
