1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 广义逆矩阵及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 逆矩阵的概念在矩阵理论中占有重要位置，而广义逆矩阵就是逆矩阵的推广。 本文主要介绍的是广义逆矩阵以及它的一些应用。首先介绍了广义逆矩阵的概念 （ Moore Penrose广义逆矩阵） 、分类（包括 Ai， ,Ai j ， ,Ai j k等） ；其次介绍了广义逆矩阵的一些应用，包括广义逆矩阵 在解线性方程组、矩阵方程， 测量平差 以及在 平面四杆机构综合 等方面的应用；最后通过实例分析来熟悉广义逆矩阵在这些方面的应用。 关键词： 广义逆矩阵； 线
2、性方程组；矩阵方程 - 3 - The generalized inverse matrix and its application Abstract： The inverse matrix in matrix theory occupies an important position. The generalized inverse matrix is inverse matrix of promotion. This paper introduces the generalized inverse matrix and its application. Firstly, this pape
3、r introduces the concept of generalized inverse matrix, classification （ including Ai, ,Ai j , ,Ai j k ） . This paper firstly introduces generalized inverse matrix in solving linear equations, the matrix equations, the measurement of adjustment and in planar four-bar comprehensive medium application
4、s. Finally, by the analysis of the example become familiar with the generalized inverse matrix in these applications. Key words： Generalized inverse matrix; Linear equations; matrix equations - 4 - 目 录 1 引言 . 1 2 广义逆矩阵及其性质 . 2 2.1 矩阵的几种广义逆 . 2 2.1.1 广义逆矩阵的基本概念 . 2 2.2 广义逆矩阵的基本性质 . 3 3 广义逆矩阵的一些应用 . 7
5、 3.1 用广义逆矩阵解线性方程组 . 7 3.1.1 A 与相容方程组的解 . 7 3.1.2 mA 与相容方程组的极小范数解 . 7 3.1.3 lA 与不相容方程组的最小二乘解 . 7 3.1.4 A 与不相容方程组的极小最小二乘解 . 8 3.2 用广义逆矩阵解矩阵方程 . 9 3.2.1 1逆和矩阵方程 AXB D 的解 . 9 3.2.2 1逆和方程 Ax a 与 Bx b 的一般解 . 9 3.3 广义逆矩阵在测量平差中的应用 . 12 3.3.1 条件平差 . 12 3.3.2 间接平差 . 13 3.3.3 附有条件的间接平差 . 14 3.3.4 带未知数的条件平差 . 1
6、4 3.3.5 广义逆平差总模式 . 15 3.4 广义逆矩阵在平面四杆机构综合中的应 用 . 16 3.4.1 函 数发生器综合 . 18 3.4.2 点位一角移量相配问题 . 19 4 结束语 . 22 5 致 谢 . 错误 !未定义书签。 6 参考文献 . 23 1 1 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具 。 矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理论。计算机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景。逆矩阵的概念在矩阵理论中占有重要位置，尤其在求解方程组问题上，它显得更为重要。但是，一般的逆 矩阵只
7、是对非奇异的方 阵才有意义。也就是说，当方程组的个数等于未知数的个数时，才可以用矩阵的逆来表示方程组的解。实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定是非奇异的，所以要考虑将逆矩阵的概念进行推广。这就引进了广义逆矩阵的概念。 广义逆矩阵的思想可追溯到 19O3年瑞典数学家弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆 (称之为伪逆 )。 1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔 (Moore)教授在 192O年提出来的，他以抽象的形 式发表在美国数学会会刊上。由于不知其用途，该理论几乎未被注
8、意，这一概念在以后 3O年中没有多大发展。我国数学家曾远荣在 1933年、美籍匈牙利数学家冯诺伊曼和弟子默里在 1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。 1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新发现了穆尔 (Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。 1955年，英国数学物理学家彭罗斯 (Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔 (Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为 Moore Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩 阵的研究进入了一个新阶段。 现如今， Moore Penrose广义逆矩阵不仅在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制
9、理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，而且在解线性方程组、矩阵方程组，以及在测量平差中和 平面四杆机构综合中，还有 在求解离散型动态投入产出模型中都有广泛的 应用。这 使广义逆矩阵得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。本文主要研究广义逆矩阵在解线性方程组、矩阵方程组，以及在测量平差中和 平面四杆机构综合中的应用。 2 2 广义逆矩阵及其性质 2.1 矩阵的几种广义 逆 2.1.1 广义逆矩阵的基本概念 定义 1：设 )(RC 是复（实）数域，则 )( nn RC 是 )(RC 上复（实）数的 n 维向量空间， nmC（ nmR ）是 nm 阶的复（实）数矩阵。对任意的 nmCA ，若
10、mnXC 满足 AAXA （ 2.1.1） XXAX （ 2.1.2） ()TAX AX （ 2.1.3） ()TXA XA （ 2.1.4） 中的全部或其中的一部分，则称 X 为 A 的一个 Moore-Penrose 广义逆矩阵，并把上面四个方程叫做 Moore-Penrose方程，简称 M-P方程。 按照定义，如果 X 是满足第 i 条件的广义逆矩阵，就记为 iA ，如果 X 是满足第 ,ij条件的广义逆矩阵，就记为 ,ijA 。如果 X 是满足第 ,ijk 条件的广义逆矩阵，就记为 ,ijkA ，如果 X 是满足四个条件的广义逆矩阵 ，就记为 1,2,3,4A 。除了 1,2,3,4A
11、 是唯一确定之外，其余各类广义逆矩阵都不是唯一确定的，每一类广义逆矩阵都包含着一类矩阵，为了表示这种情况，把满足前面所述相应条件的一切 Moore Penrose广义逆矩阵分别记为 Ai ， , Ai j ， , , Ai j k 。 上述共有 15类 Moore Penrose广义 逆矩阵中，应用较多的是以下 5种： (1) 1A ，其中任意一个固定广义逆矩阵，称为减号逆，或 g-逆，记为 A ； (2) 1,2A ，其中任意一个固定广义逆矩阵，称为自反广义逆，记为 rA ； (3) 1,3A ，其中任意一个固定广义逆矩阵，称为最小范数广义逆，记为 mA ； (4) 1,4A ，其中任意一个
12、固定广义逆矩阵，称为最小二乘广义逆，记为 lA ； (5) 1,2,3,4A ，是唯一的，称为加号逆，或伪逆，或 Moore-Penrose逆，记为 A 。 其中 A 满足全部四个条件，显然有 1AA ， 1,2AA ， 1,3AA ， 1,4AA 。 1 定义 2： 设 A 是行最大秩的 mn 阶实矩阵（ mn ），如果存在一个 nm 阶矩阵 G ，当 G 右乘 A 后得到一个 mm 阶单位阵 E ，即 AG E 。则 G 叫做 A 的右逆，记作 1RA 。 这就是说，3 有 1RAA E 。 一般来说，右逆 1RA 可用下面的方法来计算，因为 TAA 是满秩的方阵，故有 11( ) ( )
13、 ( ) ( )T T T TA A A A A A A A E。 由上两式可得： 11()TTRA A AA 。 （ 2.1.5） 定义 3： 设 A 是列最大秩的 mn 阶实矩阵（ mn ），如果存在一个 nm 阶矩阵 G ，当 G 左乘 A 后得到一个 nn 阶单位阵 E ，即 GA E 。则 G 叫做 A 的左逆，记作 1LA 。 这就是说，有 1LA A E 。 同理可得计算 1LA 的公式是 ： 11()TTLA A A A 。 （ 2.1.6） 注意：对于行（或列）最大秩的 mn 阶矩阵 A ， 1RA 和 1LA 是不可能同时存在的。当且仅当mn 时，同时存在，并且就等于普通的
14、逆矩阵 1A 。 2.2 广义逆矩阵的基本性质 性质 1： A 为实 n 阶方阵，若 A 可逆，则 1A 即为 A 的广义逆矩阵。 3 性质 2： A 的加号逆 A 是唯一的。 3 引理： A 为 mr 阶实矩阵， A 为列满秩阵，则 TAA可逆。 (或 A 为行满秩阵，则 TAA 可逆 )。 性质 3： H 为 mr 阶实矩阵， L 为 rn 阶实矩阵。且 ( ) ( )r H r L r。则 1()TTH H H H , 1()TTL L LL 且 ( ) ( )r H r L r。3 证明：由引理 1()THH 及 1()TLL 有意义知： 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )
15、 ( ) T T T T T T T T T T T T TH H H H H H H H H H H H H H H H ， 即 1( ) TTH H H H 为实对称阵，同理 1( ) TTH H H H 为实对称阵。 同时 4 11 ( ) ( ) ( ) T T T TH H H H H H H H H H H， 同理可证 1 1 1 ( ) ( ) ( )T T T T T TH H H H H H H H H H 。 故 1()TTH H H 为 H 的广义逆矩阵。 同理可证 1()TTL LL 的广义逆矩阵， 且 1( ) ( ( ) ) ( ) ( )T T Tr H r H
16、H H r H r H r ， 同理 ()r L r 。 推论 1： H 为 mr 阶列满秩实阵，则 rH H E 。 L 为 rn 阶行满秩实阵，则 rLL E 。 3 推论 2： A 为 n 阶可逆实方阵，则 1AA 。 3 性质 4： A 为 mn 阶实矩阵 A 的广义逆矩阵，则 ( ) ( )TTAA 。 3 证明： 由定义可知： ,AA AA皆为实对称阵，且 , ( ) TTA A A A A A A A A A , ()TTAA 皆为实对称阵，且 ( ) , ( ) ( ) ( )T T T T T T T TA A A A A A A A 。 由定义得： ()TA 为 TA 的广
17、义逆矩阵。因此 ( ) ( )TTAA 。 性质 5： A 为 mn 阶实矩阵， ()r A r ， A 的满秩分解为 A HL ，其中 H ， L 分别为 mr阶与 rn 阶秩为 r 的实矩阵，则 A 的 广义逆矩阵 A LH 。 3 证明：由推论 l得： ( ) ( ) ( ) ( ) rA L H H L L H H L L H H I H H H ， 因 HH 为实对称阵，故 ()ALH 为实对称矩阵。 同理由推论 l得： 5 ( ) ( ) ( ) rL H A L H H L L H H L L I L L L ， 因 LL 为实对称阵，故 ()LH A 为实对称矩阵。且 ( )
18、( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rrA L H A H L L H H L H L L H H L H I I L H L A 。 同理 ( ) ( )L H A L H L H 。 所以 A LH 。 性质 6： A 为 A 的广义逆矩阵，则 ( ) ( ) ( ) ( )r A r A A r A A r A 。 3 证明：设 ()r A r ， A 的满秩分解为 A HL 。由性质 5得： A LH ， 故 ( ) ( )r A r H 。 又由性质 3得： ()r A r ， 又 ( ) ( )r AA r A 及 ( ) ( ( ) ) ( )r A A r H L L H
19、r H H ， 故 ( ) ( ) ( )r A A H r H H H r H r , ( ) ( )r AA r AA r。 所以 ()r r A r， 即 ()r A r 。同理可证 ()r A A r 。故命题得证。 性质 7： A 为 mn 阶实矩阵，则 ( ) ( )nr E A A n r A 。 3 证明：设 ()r A r ， A HL 为 A 的满秩分解。由性质 5得： A LH ， ( ) ( )A A L H H L L H H L L L ， 其中 ( ) ( )r L r L r。 作矩阵 rnELLE，则 6 0000r r r rn n n nnE L E L
20、E L E L Lr r r r nL E E L E L ELE ， 同时 0 ()0r r r rnn n n nE L E E L E Lr r r r r E L LL E L E L E E L L 。 故 ()nr E A A r n ， 即 ( ) ( )nr E A A n r A 。 性质 8： A 为 mn 阶实阵 A 的广义逆矩阵，则矩阵方程 AX b AA b b 有 解 。 且当方程有解时，它的解为 X Ab 。 3 证明：“ ” 显然成立。 “ ” 若方程 AX b 有解 X ，则 A AX A b ， 所以 AA AX AA b ， 故 AX AAb ， 因此 b AAb 。
