1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 连 续时不变线性控制系统能控性研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 线性 系统的能控性是建立在状态空间描述的基础上的 .若一个系统具有很好的能控性 ,就可以对它实施最优控制 .本文首先在介绍线性系统和 能控性定义的基础上，重点阐述了线性时不变系统能控性的判据；再采用矩阵不等式进行讨论，给出 能控性在线性非奇异变换下的属性 和能控的规范型；最后，通过实例分析来了解能控性的应用 . 关键词： 能控性；线性系统；控制系统；时不变 The Research on Controllability of Li
2、near Time-invariant Control Systems Abstract: Controllability is based on the state space description. System can be carried out optimum control if it has good controllability of its implementation. First, this article introduces linear systems and the definition of controllability and then discuses
3、 the controllability criteria of linear time-invariant systems. Second, the paper researches controllability of linear systems with non-singular transformation and controllable canonical form through adopting methods of matrix inequality. Finally, the paper gives examples to familiar with the applic
4、ation of controllability. Key words: controllability, linear systems, control systems, time-invariant 目 录 1 引 言 . 1 2 系 统 . 2 2.1 系统及其性质 . 2 2.1.1 系统与信号 . 2 2.1.2 系统的性质 时不变性 . 2 2.2 线性系统的数学描述 . 2 2.3 线性系统的状态空间描述 . 3 3 线性系统的能控性 . 6 3.1 线性时不变系统 . 6 3.2 能控性定义 . 6 3.3 线性时不变系统的能控性判据 . 7 3.4 线性时不变系统的能控性指数
5、 . 9 3.5 能控规范型 . 10 4 实例分析 . 12 5 结束语 . 16 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 17 1 1 引 言 人类从诞生之日起，就开始逐步认识世界，并在获得认识的基础上利用和改造客观世界，以达到改善生活条件的目的， 对于客观世界的改造就是一种 “控制 ”，从观念上讲，控制可描述为影响动态系统行为的过程 .控制问题是基于可以利用的数据，去确定系统的输入，已达到设定的目的 . 控制理论作为一门独立的工程学科，还是 1940 年以后的 10 年期间形成的 .这一时期，控制系统也开始广泛用于工业控制，乃至武器控制 .第二次世界大战前夕，自动控制理论有了进一
6、步发展 .二战后，随着大战期间很多理论及实践成果的公开，控制理论出现了蓬勃发展的新阶段 .1948 年，伊万斯提出了根据系统参数变化时特征方程根变化的轨迹来研究控制系统的 “根轨迹 ”理论，创建了用微分方 程模型来分析系统性能的整套方法 .至此，控制理论发展的第一阶段 自动调节阶段基本完成 .建立在频率法和根轨迹法基础上的理论，通常称为经典控制理论 .20 世纪 60 年代初，由于数字计算机技术日趋成熟和完善，这样就有可能在研究中利用标准式或状态形式的常微分方程作为数学模型，直接在时域内进行大量复制的解算、设计以及实现高度完备的最优控制，并逐步形成一套完整的理论，这就是有别于 “经典 ”的 “
7、现代控制理论 ”.从 20 世纪 60 年代至今，现代控制理论又有了巨大发展，并形成若干分支，如线性系统理论、最优控制理论、动态系统辨识、自适应 控制、大系统理论等 1 . 能控性这个基本概念在现代控制理论中具有一定的重要性，特别在研究线性系统的最优控制时，都要以系统的能控性最为前提条件 .在而今，线性系统理论的发展渐趋成熟，已经在各行业获得了广泛的应用并逐渐发展为成熟的工业技术 .线性系统理论分析的一些基本方法均在工业上作为成熟的技术获得推广应用 . 在控制工程中，有个问题经常引起设计者的关心，那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，也就是
8、系统是否具有通过 控制作用随意支配状态的能力，这便是线性系统的能控性问题 .本文通过 线性系统以及能控性的概念，介绍了线性时不变系统的能控性判据，能控性在线性非奇异变换下的属性和能控的规范型 .最后对线性时不变系统的能控性作出判断 2 . 2 2 系 统 2.1 系统及其性质 2.1.1 系统 与信号 系统被用于处理信号以求改变信号或从信号中提取另外的信息 .一个系统可以由物理原件（硬件实现）所组成，或者由一算法组成（软件实现），它从输入信号计算出输出信号 . 粗略 地说，一个物理系统是由若干互联元件构成的，这些互联元件都是由各自的端口（输入 输出）关系表征 .另外，一个系统要受各种互联定律的
9、制约 .利用这些定律可以导出关联输出和输入的数学方程 .众多领域各不相同的系统也都有一个共同点，即所有的系统总是对施加于它的信号 (即系统的输入信号，也可称激励 )作出响应，产生出另外的信号 (即系统的输出信号，也可称响应 ).系统的功能就体现在什么样的输入信号产生怎样的输出信号 4 . 2.1.2 系统的性质 时不变性 为了给系统分类和解决 某些具体信号通过系统的分析问题提供方便，更为了给推导一般系统分析方法提供基本的理论依据，有必要研究一下系统的基本特征，主要包括线性、时不变性、因果性、和稳定性等 . 接下来我们具体来看下时不变性 .参数不随时间变化的系统称为时不变系统 .一个时不变系统，
10、由于参数不随时间变化，故系统的输入输出关系也不会随时间变化 .时不变系统的输入移位会导致输出相同的移位 .在理想情况下 ,大多数模拟电子系统 ,都是时不变系统 .但硬件中电子元件会老化 ,因此所有的模拟电子系统又都是时变的 .热敏效应也是时变系统产生的重要原因之一 ,随着温度升高 ,导体内的电子热运动加剧 ,电阻变大 .所以从严格的意义上讲 ,实际电子系统的时变是绝对的 ,时不变是相对的 .时不变系统只是一种理想的情况 ,是对许多实际系统的合理简化 5 . 2.2 线性系统的数学描述 根据系统运动过程的物理或化学规律所写出的，描述系统动态和静态行为的数学表达式，称为系统的数学描述或数学模型 .
11、然而，现实系统的数学模型往往是非线性的，为了研究的方便，在系统某个运行点附近将其看成是线性的，也就是说，在该点对系统的非线性数学模型进行线性处理，这对于解 决实际工程问题是足够准确的 .称线性化处理以后的数学模型为线性模型，由线性模型描述的一类系统称为线性系统 . 系统的描述方法主要分两大类：实变量法和复变量法，实变量法有状态方程描述法和微分算子方程描述法，它以时间 t 为实变元直接研究系统行为随时间变化的情形，又称时域法；复变量法有传递函数矩阵描述法和矩阵分式描述法，它以复变数 s 为变元，与频率有关，并通过系统随其输入3 量频率的变化所表现出的行为来研究系统的特征 .此法又称频域法 . 根
12、据系统运动过程的物理或化学规律所写出的，描述系统动态和静态行为的数学表达式，称为系统的数 学描述或数学模型 .然而，现实系统的数学模型往往是非线性的，为了研究的方便，在系统某个运行点附近将其看成是线性的，也就是说，在该点对系统的非线性数学模型进行线性处理，这对于解决实际工程问题是足够准确的 .称线性化处理以后的数学模型为线性模型，由线性模型描述的一类系统称为线性系统 . 2.3 线性系统的状态空间描述 在经典控制理论中 ,采用表达系统输入量与输出量之间关系的微分方程或传递函数作为描述系统动态特征的数学模型，但这两种数学模型只描述了系统的外部特征，不足以揭示系统的全部特征 .另外，作为参数模型，
13、传递函 数仅可以表示线性定常系统，不能用于线性时变系统或者非线性系统的数学描述 . 在现代控制理论中，采用状态空间表达式作为系统的数学模型 .状态空间表达式为向量微分方程组，它描述了系统的输入、输出与系统内部状态之间的关系，揭示了状态的运动关系，反映了系统动态特征的全部信息 .状态空间表达式除了可以作为线性定常系统的数学描述外，还可以用于线性时变系统或者非线性系统的数学描述 . 有关状态、状态空间及状态空间表达式等线性系统的基本概念是控制理论中状态空间分析的基础 .系统的状态空间表达式是一种采用状态描述系统动力学行为的数学模 型，一般可以从以下途径获得：从系统的物理机理出发，经推导获得，或者根
14、据系统的输入、输出数据，采用各种系统辨识的方法获得，同时，它包含状态方程和输出方程 .状态方程为一阶微分方程组，输出方程则表现为代数方程 10 . （ 1）状态方程 采用状态空间法分析系统的任务就是要寻求待分析系统中，每个状态变量与时间变化的关系 .要求出这个变化关系，就必须列写出每个状态变量对时间的一阶导数的表达式 . 定义 2-1 设系统的输入向量为 12( ) ( ) , ( ) , , ( ) Tmu t u t u t u t ， 输 入 向 量 为12( ) ( ) , ( ) , , ( ) Try t y t y t y t ，系统的状态向量为 12( ) ( ) , ( )
15、, , ( ) Tnx t x t x t x t ，则定义输入变量与状态变量之间的一组微分方程称为状态方程，记为 ( ) ( ( ), ( ), )x t f x t u t t 式中 4 1 1 12 1 111( , , , , , , )( , , , , , , )( ( ) , ( ) , )( , , , , , , )nmnmnnmf x x u u tf x x u u tf x t u t tf x x u u t（ 2）输入方程 定义 2-2 系统输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式称为系统的输出方程，记为 ( ) ( ( ), ( ), )y t g x t u
16、 t t 式中 1 1 12 1 111( , , , , , , )( , , , , , , )( ( ) , ( ) , )( , , , , , , )nmnmr n mg x x u u tg x x u u tg x t u t tg x x u u t状态方程与输出方程的组合构成了一个对系统动力学行为的完整描述，称为系统的状态空间表达式，即 ( ) ( ( ), ( ), )( ) ( ( ), ( ), )x t f x t u t ty t g x t u t t 例 2.3.1 已知质量 -弹簧 -阻尼器（ m k f ）系统如图 1 所示，试建立其状态空间表达式 . 解
17、由牛顿第二定律，写出系统的微分方程，即 u k 221d y dym f k y udt dtfky y y um m m m 设质量 m 的位移 y 为第一状态变量，质量 m 的速度 y ，并 有 f y 第二个状态变量，则有 12,x y x y 图 1 （ m k f ）系统 则 12x y x 2 1 2 1kfx y x x um m m 写为向量微分方程，可得到状态方程，即 5 11220 1 01xx ukfm m m 输出方程为 91210 xy x . 6 3 线性系统的能控性 通过线性系统的结构分析，可以更深入地了解系统的结构特征，从而揭示状态空间描述的本质；可以更深入地揭
18、示和沟通状态空间描述和传递函数描述之间的联系，了解系统的能控性与传递函数矩阵之间的关系，并为系统的最小 实现问题或者最小系统提供理论依据；可以为采用现代控制理论的方法来理解系统综合的基本方法打下良好的基础 . 3.1 线性时不变系统 对于线性系统，通常还可以进一步细分为线性时不变系统和线性时变系统两类 . 线性时不变系统也称为线性定常系统或线性常系数系统 .其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系统都是不随时间变化的函数 .从实际的观点而言，线性时不变系统也是实际系统的一种理想化模型，实质上是对实际系统经过近似化性和工程化处理后导出的一类理想化系统 .但是，由于线性时不变系
19、统在研究上的简便性和 基础性，并且为数很多的实际系统都可以在一定范围内足够精确地用线性时不变系统来代表，因此自然地成为线性系统理论中的主要研究对象 . 考虑系统的状态空间描述，其中输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量 .所谓可控性就是研究系统内部状态是否可以由输入变量加以控制和影响 .如果系统的每一个状态变量均可以由输入变量来影响和控制，并且能由状态空间的任意始点回到原点，那么就称系统是状态可控的，否则就称系统是状态不完全可控的 . 3.2 能控性定义 能控性是现代控制理论中两个重要的基本概念，是由卡尔曼 （ R. E. Kalman） 在 1960 年首先提出来的 .能控性是
20、检查每一状态分量能否被 ()ut 控制，是指控制作用对系统的影响能力 .能控性之所以成为现代控制理论中的基本问题，是因为它着眼于对状态的控制 .而古代控制理论是着眼于输出控制 .在现代控制理论中，用状态空间方程来描述系统，通过对系统的状态方程及输出方程的分析，可以判断系统的能控性 .也就是说，能控性由系统的状态方程和输出方程的系数矩阵所决定 . 线性系统 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( )x t A t x t B t u ty t C t x t （ 3-1） 为简单起见，用 ( ( ), ( ), ( )A t B t C t表示系统（ 3-1）；用 ( ( ), ( )A t B t 表示系统（ 3-1）的第一式，即( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u t .如果系统是定常的，则分别用 ( , , ),( , )A B C A B表示 .
