1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 浅析动态规划方法在投资决策中的应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 - 0 - 摘要： 当前，无论是政府、企业，还是个人在进行项目投资时，都会追求成本最小化与经济利益最大化。全文旨在简要分析动态规划方法在投资决 策中，是如何发挥作用的。文章采用了多阶段规划模型，把一个多阶段的投资决策问题，转化为多个单阶段的规划模型，从而转为求解很多单个投资时的最优解问题，以此实现利润的最大化。为了使读者更好的理解 ,本文在叙述过程中 ,将简要的列举一些动态规划模型的例子。 关键词： 概念；动态规划；投资决策；模型；转化
2、- 1 - Method of Dynamic Programming Application in Investment Decision Making Abstract: The 21st century is a rapid development of economy stage. Governments, enterprises and individuals dedicate to minimize the cost and maximize the benefits when they invest. The aim of this paper is to analyze the
3、 effect of dynamic programming in investment decision making. This paper turns a multi-stage investment decision-making problem into a multiple single-stage planning model so that we can make the profits maximum by giving out the optimal solution of many singe investments. In order to explain this a
4、rticle more clearly, we will give several examples of dynamic programming models. Key words: Concept; Dynamic Programming; Investment decisions; Model; Conversion - 2 - 目录 1 序言 . 1 1.1 论文选题的背景、意义 . 1 1.2 相关研究成果以及其动态发展 . 1 2 动态规划 . 3 2.1 动态规划的基本概念 . 3 2.1.1 阶段 . 3 2.1.2 状态 . 3 2.1.3 决策和策略 . 3 2.1.4 状
5、态转移方程 . 3 2.1.5 指标函数和最优值函数 . 4 2.2 动态规划的基本思想和基本方程 . 4 2.2.1 动态规划的基本思想 . 4 2.2.2 动态规划的基本方程 . 4 3 投资决策 . 6 3.1 投资决策的相关定义 . 6 3.1.1 投资 . 6 3.1.2 投资决策 . 6 3.1.3 预期收益 . 6 3.1.4 预期风险 . 6 3.1.5 协方差 . 6 3.1.6 相关系数 . 6 3.2 其他关于投资决策的定义 . 6 3.2.1 投资决策 . 6 3.2.2 宏观投资决策 . 7 3.2.3 微观投资决策 . 7 4 动态规划在投资决策中的应用 . 8 4
6、.1 0-1目标规划模型在投资决策选择中的应用 . 9 4.2 多 阶段投资决策的动态规划模型 . 10 4.2.1 相关假设条件 . 11 4.2.2 相关变量的描述 . 11 4.2.3 状态转移方程的建立 . 12 4.2.4 相关约束条件的说明 . 12 4.2.5 建立动态规划方程 . 12 5 类似相关模型的比较与感想看法 . 13 6 相关案例分析 . 14 总结 . 15 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 16 1 1 序言 1.1 论文选题的背景、意义 20世纪 90年代，信息技术在世界范围内得到了迅速发展，对国民经济的贡献率也越来越大。在信息技术领域居世界绝对领
7、先地位的美国，经济保持了长达 8年的高速增长。 20 世纪 80年代以来，中国信息产业也取得了长足的发展。从 1980年到 1998年，年均增长速度超过了 20%，年总产值从 100亿元人民币增加到 4398.56亿元人民币； 1998 年信息产业总产值为 593.16亿美元，占同年国内生产总值的 7.1%； 2002 年信息产业总产值占同年国内生产总值的比率已经超过了 10%。在20 世纪 90 年代后半期，日、美两国 IT 投资与 IT 普及的差距日益拉大。鉴于此，日本从 2000 年起加强了对信息技术国家战略的研讨、制定与落实，特别是在 2001年 1月制定且一再修正的“ e-日本战略”
8、的推行确实使日本在信息化方面加快了对美国的追赶速度，并取得了明显的成效 1 。 与此同时，企业面临越来越多的竞争。究其原因：一是由于政府的干预，垄断性企业正逐渐消失，如政府垄断的通信、铁路和能源等行业逐步对外开放；二是寡头 垄断市场的存在与发展及大规模的兼并与合并的出现。兼并、合并以及政府干预的结果使得市场进一步趋向于寡头市场，企业间的竞争也日趋激烈 2 。 为了提高和确保企业在行业中的优势地位，许多企业在 IT项目投资上不惜重金。然而在一个充满竞争的市场环境中，信息技术投资往往具有战略意义。一方面，企业有等待动机，希望获得更多信息；另一方面，若等待，则企业面临其他企业占先的风险。此外，信息的
9、不对称往往使得掌握信息较多的企业具有等待动机，但信息优势并不总是存在，也就是说，企业 IT 项目投资实际 上是一个博弈过程 2 。 对于投资组合，尤其是在证券、企业等的投资决策当中动态规划的方法就显得比较重要：主要在于很多投资方面的组合问题都可以转化为多个简单阶段来求解，大大简化了求解过程。 投资组合理论（也有人称其为投资分散理论）主要是研究人们在预期收入受到多种不确定因素影响下，如何进行分散化投资来规避投资中的系统风险和非系统风险，以实现投资收益的最大化 3 1.2 相关研究成果以及其动态发展 投资决策理论最早起源于 20 世纪 50 年代对于投资决策的研究， 1952 年美国经济学家马柯维
10、茨（ Harry M.Markowitz）第一次在他的证券组合选择 4 一书中提出了投资决策理论，之后，他又于 1959年出版了同名专著，在这部专著里，马柯维茨详细的论述了证券收益和风险的主要原理和分析方法，并建立了均值 -方差证券组合模型的基本框架。马柯维茨的投资组合理论认为，投2 资者是风险回避的，他们的投资愿望是追求高的预期收益，他们不愿意承担没有相应预期收益加以补偿的额外风险。书中，马柯维茨根据风险分散原理，利用二维 规划的数学方法，详细的揭示了如何建立投资组合的有效边界，以及各个证券之间的相互关系的影响等。在此基础上， Sharpe 和Lintner 提出了资本资产定价模型（即 CA
11、PM 模型） 5 。半个多世纪以来，人们在 Markowitz 研究的基础上不断进行深入探索，从而使得这一理论日益走向发展和完善 6 。虽然之前也有很多关于投资决策的分析，如 Reinganum 运用博弈论进行新技术投资决策分析 7 。但其模型 中没有考虑不确定性，只考虑了一种因素。 为了解决这一问题， 1952 年美国数学家 Bellman 根据一类多阶段决策问题的特点，把多阶段决策问题表示为一系列单阶段问题，即把一个 N 变量问题作为一系列的N 个问题而逐个加以解决 8 。多阶段的投资方法能够最大限度地减少投资的总风险，并且可以根据每个阶段末期的反馈情况，及时调整下一阶段的投资方案。 之后
12、 Merton 又开创性地提出了一种连续时间的动态规 划方法用于解决金融方面的多阶段规划问题，这种方法到现在还在使用 10,9 。目前解决不确定性递归决策问题的主流计算模型是多阶段随机规划模型。 我国学者杨明和李楚霖针对不确定的竞争市场，分析了作一个数量为 I的不可逆投资，产生一个生产容量 K，以确定在将来不确定竞争市场中比潜在进入的竞争对手具有某种占先优势这样一个投资机会的策略投资行为和机会的价值 11 。 在我国，关于组合投资的研究问题文献也有很多。例如，唐小我等人在现代组合预测和组合投资 决策方法及应用（ 2003 年版）一书中对均值 -方差类模型的研究，并且重点研究了模型的求解算法。还
13、有汪涛阳的多期投资组合和无套利分析（ 2004年版），刘小茂的基于 CVAR组合选择和优化问题等等，都对我国的金融市场起到了不可磨灭的作用。 虽然早期有很多关于投资组合理论的研究，但大都集中于离散时间条件下的各种单期或多期投资组合问题，而自从 Merton 首次考察了连续时间条件下的投资组合问题以后，随着控制论、 Web技术等的发展使得投资组合理论得到了很大的发展，目前随着计算机技术的一次次更新换代，其运算速度提升，我 们在进行投资组合的研究时不断的加入各种外在因素，使得现实问题的研究变得越来越复杂，然而却越来越贴近现实，这样有利于我们能够更加准确的掌握市场信息，从而做出合理的应对之策。 综上
14、所述，西方投资组合理论仍然还是个比较年轻的学科，它一直是世界各国经济学家倾力关注的焦点，各种新观点、新方法层出不穷，还没有形成统一的理论模式，因此，我们在引进这些西方投资组合理论时，应着力把西方的理论与中国实际相结合，构建出适合中国国情的理论体系，为3 我国金融市场健康发展提供有价值的参考。 总之， 对于投资决策方法的研究是非常有用而又非常 有实际意义的 ，自 20世纪 50年代以来，投资决策的研究经历了一个漫长而又迅速发展的过程，其研究方法更是层出不穷，且研究深度也是越来越深，这里，我们只是列出了其中一个方法 -动态规划方法进行了简单的分析研究，相信随着经济技术的快速发展，其研究的方向将会更
15、深更广。 2 动态规划 要利用动态规划的方法研究问题，我们首先得了解动态规划，下面我们先了解相关定义和概念：我们把根据一类多阶段决策问题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题，然后逐个加以解决，从而创建解决最优化问题的方法称为动态规划法 12 。 2.1 动态规划的基本概念 2.1.1 阶段 把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解的过程称为阶段。描述阶段的变量称为阶段变量，常用 k 表示 12 。 2.1.2 状态 各阶段开始时的客观条件叫做状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量。常用 ks 表示第 k 阶段的状态变量， 状态变量 ks 的
16、取值集合称为状态集合，用 kS 表示 12 。动态规划中的状态必须具有无后效性，即当某阶段状态给定以后，在这阶段以后过程的发展不受这段以前各段状态的影响，也就是说，当前的状态是过去历史的一个完整总结，过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展 13 。 2.1.3 决策和策略 当各段的状态取定以后，就可以作出不同的决定（或选择），从而确 定下一阶段的状态，这种决定称为决策 10 。表示决策的变量称为决策变量，常用 kk su 表示第 k 阶段当状态为 ks 时的决策变量。在实际问题中，决策变量的选取往往限制在一定的范围内，称此范围为允许决策集合，常用 kk sD 表示第 k 阶段从状态
17、 ks 出发的 允许决策集合，即 kkkk sDsu 13 。 2.1.4 状态转移方程 状态转移方程是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。若给定第 k 个阶段状态变量ks 的值，如果该段的决策变量 ku 一经确定，第 1k 阶段的状态变量 1ks 的值也就完全确定。即 1ks4 的值随着 ks 和 ku 的值变化而变化。这种确定的对应关系，记为 kkkk usTs ,1 ，该式描述了由 k阶段到 1k 阶段的状态转移规律，称为状态转移方程。 kT 称为状态转移函数 13 。 2.1.5 指标函数和最优值函数 用于 衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，它是定义在全过程或子过程上的数
18、量函数，是各阶段的状态和决策变量的函数常用 nkV, 表示 14 。 2.2 动态规划的基本思想和基本方程 2.2.1 动态规划的基本思想 （ 1）动态规划方法的关键在于正确写出基本的递推关系式和恰当的边界条件。必须先将问题的过程分成几个相互联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函数，从而把一个大问题化成一族同类型的子问题，然后逐个求解。 （ 2）在多阶段 决策过程中，动态规划方法是既把当前一段和未来各段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不同的。 （ 3）在求解整个问题的最优策略时，由于初始状
19、态是已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各段状态便可逐次变换得到，从而确定了最优路线 13 。 2.2.2 动态规划的基本方程 一般情况， k 阶段与 1k 阶段的递推关系式可以写为 kkkkkkksDukk sufsusvo p tsf kkk 1, 1,.,1, nnk 边界条件为 011 nn sf 这种递推关系式即称为动态规划的基本方程 13 。 例 1 某工厂有 100 台机器，拟定分四个周期使用，在每一周期有两种生产任务。据经验分析，把机器 1x 台投入第一种生产任务，则在一个生产周期中将有 31x 台机器作废；余下的机器全部投入第二种生产任务，则有 101
20、台机器作废。如果干第一种生产任务每台机器可收益 10，干第二种生产任务每台机器可收益 7。问应该怎样分配机器，使总收益最大？（详细参见文献 13 247P ） 解 建立相关定义： 阶段 4,3,2,1k 5 状态变量 kS 表示第 k 年初的完好机器总数。 决策变量 kU 表示第 k 年度用于第 1种任务的机器数，则 kK US 表示该年度第 2种任务所用机器台数。 状态转移方程 kkkkkkk USUUSUS 1093210113111设 kkk USV , 为第 k 周期的收益，则 kkkk USUV 710 指标函数 nk kkk USVV 14,1 ,递推关系 110 m a x kk
21、kSTUkk SfVsf kkk 055 Sf 4k 时 444440444044 103737m a x710m a x 4444 SSSUSUSUSf xUSU 则最优解 4*4 SU 3k 时 33033333033 3216m a x109321073m a x 3333 USUSUSUSf SUSU333 3503216 SSS 则最优解 3*3 SU 2k 时 22222022 1093235073m a x 22 USUSUSf SU22220 22098229822m a x 22 SSUSSU 则最优解 0*2U 1k 时 11111011 109322273m a x 11
22、 USUSUSf SU11110 51 3 40153251 3 453251 3 4m a x 11 SSUSSU 则最优解 0*1 U 6 又 1001S 所以，最大总收益为 2 6 8 051 0 01 3 411 Sf万元 由以上分析可知第一年度用于第 1种任务的机器数为 0用于第 2种任务的机器数为 100 第二年度用于第 1种任务的机器数为 0用于第 2种任务的机器数为 100 第三年度用于第 1种任务的机器数为 100用于第 2种任务的机器数为 0 第四年度用于第 1种任务的机器数为 100用于第 2种任务的机器数为 0 3 投资决策 3.1 投资决策的相关定义 3.1.1 投资
23、 根据 1989年版辞海的解释，投资是指：企业或个人以获得未来收益为目的，投放一定量的货币或实物，以经营某项事业的行为。我们认为，投资概念从本质上来说是指：一定经济主体以预期收益为目的的资金投入及其运动过程。具体一点来说，其应当包括投资主体、投资手段、投资目的和投资行为过程四个方面 15 。 3.1.2 投资决策 所谓投资决策，就是根据预定目标，选择和决定投资建设获得的行动方案 16 。 3.1.3 预期收益 预期收益是指未来可能收益率的期望值，也称期望收益率 17 。 3.1.4 预期风险 在马科维茨理论中，把风险定义为投资收益率的波动性 18 。 3.1.5 协方差 设（ YX, ）是一个二维随机变量，若 YEYXEXE 存在，则称此数学期望为 X与 Y 的协方差。 3.1.6 相关系数 设（ YX, ） 是 一 个 二 维 随 机 变 量 ， 且 0,0 YVarXVar 。 则 称 YX YXC o vYV a rXV a r YXC o vYXC o r r , 为 X 与 Y 的相关系数。 3.2 其他关于投资决策的定义 3.2.1 投资决策 指投资者为了实现其预期的投资目标，运用一定的科学理论、方法和手段，通过一定的程序对
