1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 数学分析中常用的若干数学思想 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 数学分析是一门变量学科，包含着丰富的数学思想。 本文主要研究构造的思想、反例的思想、分段处理的思想、分类讨论的思想。 构造思 想是一种难度大、规律不易掌握的高层次的思想方法 。反例思想 在概念、性质的理解，问题的研究和论证中都具有不可替代的独特作用。分段处理是把要研究的一个式子分成两段或几段进行处理的思想。 分类讨论是 把所有研究的问题分成若干类来解决 的思想。 关键词： 数学思想；构造思想；分段处理；分类讨论；反例 Some Thin
2、gking of Mathematical Analysis Abstract: Mathematical Analysis is a variable subject， include rich mathematical thought.This passage mainly studies structural thought, counter-example thought, subsection processing thought, classification discussion thought.The idea of construction is a difficult, r
3、ule not easy control, high-level thinking approach.Counter-example thought in the understanding of the concept, nature of the problem, research and demonstration of play an irreplaceable role.Subsection processing is to study a mean into two segments or a few pieces of the treatment of thought.Class
4、ification of all the research discussion is divided into several types of problems to solve the thoughts. Key words: mathematical thought; structural thought;subsection processing; classification discussion;counter-example 目 录 1 引言 1 2 构造的思想 3 2.1 构造函数 3 2.2 构造数列 4 2.3 构造结论 4 2.4 构造不等式 5 2.5 构造反例 5
5、3 反例的思想 7 3.1 数学分析中反例的作用 7 3.2 数学分析中反例的构造 8 4 分段处理的思想 11 4.1 分段 函数性质讨论的分段处理 11 4.2 积分等式证明的分段处理 13 5 分类讨论的思想 15 5.1 极限问题中的分类思想 16 5.2 连续性问题中的分类讨论 16 5.3 级数敛散性问题中的分类讨论 17 6 总结 18 致谢 19 参考文献 20 1 1 引言 历史上，数学分析起源于 17 世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。在 17、 18世纪，数学分析的主题，如变分，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。微积分方法成功
6、的运用了连 续的方法近似了离散的问题。贯穿 18 世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了 19 世纪，柯西首先地通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑基础之上 ， 他还开始了复分析的形式理论。泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。 在那个世纪的中叶，黎曼引入了他的积分理论。在 19 世纪的最后第三个年代还产生了魏尔 斯特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并导入了极限的定义。此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。戴德金用戴德金分割构造了实数。大约在那个时候，对黎曼积分定理精炼的种种尝试也引向了实
7、数函数的非连续集合的 “大小 ”的研究 。 另外 ,到处不连续函数，连续但到处不可微函数，空间填充曲线也被创造出来。在这个背景下，若尔当发展了他的测度理论，康托尔发展了现在的朴素集合论，以及贝尔证明了贝尔纲定理。在20 世纪早期，微积分用公理化集合论被形式化。勒贝格解决了测度的问题，希尔伯特也导入了希尔伯特空间以解决积分方程。赋范向量空间的思想开始流传，到 1920 年代巴拿赫创立了泛函分析 ，从而产生了数学分析。 数学分析作为数学系最重要的基础课之一，数学科学 的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论
8、体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。 数学分析是一门变量学科，包含着丰富的数学思想。 数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学思想可以 训练逻辑思维等理性思维能力、 逻辑表述能力 ，它在拓广数学知识过程中对方法、技巧起着统摄作用。 通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。 另外， 数学分析是一门重要的大学基础课程 , 很多后继课程都以它为基础 , 可视为它的延伸、
9、深化和应用 , 而它的基本思想和方法更是无所不在。因此熟练地运用它的基本方法 , 透彻地理解它的基本思想 , 是 学习数学的 关键 ， 同时也是深入理解初等数学理论背景的必要基础。只有掌握了数学思想方法 ， 才能深刻体会数2 学的本质 ， 从而具备解决实际问题的数学意识和思维方法 。因此，研究数学分析中的数学思想是非常有必要的。 目前， 数学分析中较为广泛的思想有：函数的思想、极限的思想、连续的思想、导数的思想、微分的思想、积分的思想、级数的思想等，本论文将着重研究数学分析中的 构造的思想、反例的思想、分段处理的思想、分类讨论的思想。 3 2 构造的思想 构造的思想方法是根据待解决问题的特殊性
10、，通过一定的手段，设计并构造出与待解问题相关并有助于该问题解决的新的数学模式，通过对这个数学模式的研究去实现原问题解决的一种思想方法。 从数学产生那天起，数学中的构造性的方法也就伴随着产生了。但是构造性方法这 个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直觉派有关。直觉派出于对数学的“可信性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造”，这就是构造主义。 构造思想是一种很活跃的创造性思想方法，它能沟通数学各个不同的分支，甚至还能沟通数学与其他的学科，实现跨度极大的问题转化，这是一种难度大、规律不易掌握的高层次的思想方法 。 构造思想方法是一种基本而又极其重要
11、的数学思想方法，同时也是一古老而又年轻的思想方法，历史上许多著名的数学家，如：欧几里得（ Euclid,约为公元前 330 年 -前 275）、欧拉（ Euler,1707-1783）、拉格朗日（ Lagrange,1736-1813）、康托（ Contor,1845-1918）等人，都用构造思想方法解决过数学中的难题，促进了数学的发展，并且至今它仍然在数学教学、数学解题及科学研究中起着重要作用。数学分析中的构造的思想方法主要有以下几种类型： 2.1 构造函数 构造函数，是按照人们某种期望或根据待解决问题的某些特殊性特性，构造具有一般性特性的某个函数，然后这个函数研究结果在某种特定情况下就是所
12、考虑问题的结果。显然，这是一个既实用又有深度的办 法。 在数学分析中，构造函数的作用体现在： （ 1） 通过对所构造的函数的研究，来实现对方程根的讨论 例 1 试证方程 sinx a x b ( 0, 0)ab至少有一个正根，并且它不超过 ba 。 证明： 构造函数 ( ) sinf x x a x b ，显然 ()fx在 0, ab 上连续，且 (0) 0fb ， ( ) 1 s i n ( ) 0f a b a a b 当 sin( ) 1ab时， ( ) 0f a b，这时 ab 就是方程的一个根。 当 sin( ) 1ab时，即 ( ) 1 s i n ( ) 0f a b a a b
13、 ，此时 ()fa与 ()f a b 异号， 故由根的存在性定理知，在 (0, )ab 内至少存在一点 ，使得： ( ) s in 0f a b ，或 sinab。 4 即方程 sinx a x b ( 0, 0)ab至少有一个正根，并且它不超过 ba 。 （ 2） 通过对所构造函数的研究，来讨论中间值的存在性 例 2 设 0ba ,证明存在 ( , )ab 使得 ln ln ( ) ( ln 1 )b a b b a 成立。 证明： 构造函数 ln() xfx x ， 1()gxx 。显然 ()fx， ()gx在 , ab 上满足柯西中值定理 的条件，所以存在 ( , )ab 使得 ( )
14、( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g ， 即 221 lnln lnln 11 1 1bababa 。化简得 ln ln ( ) ( ln 1 )b a b b a 2.2 构造数列 例 3 证明 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2n n n n n n 证明： 构造数列 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( )2 3 4 2 1 2 1 2nx n n n n n n 因 1 1 1 1 1 1 02 1 2 2 1 2 1 2 2nnxx n n n n n ， 而 1 11(1 ) 022x ， 故 0nx ，从而
15、得证。 2.3 构造结论 例 4 证明定义在对称空间 ( ,)ll 上的任何函数 ()fx都可以表示成一个偶函数与一 个奇函数之和的形式。 证明： 构造一个偶函数与一个奇函数如下： ( ) ( )() 2f x f xHx ， ( ) ( )() 2g x g xGx 则 ( ) ( ) ( )f x H x G x。 容易验证： 5 ( ) ( )() 2f x f xHx 为偶函数， ( ) ( )() 2g x g xGx 为奇函数。 故结论成立。 2.4 构造不等式 例 5 设 1 1 11 ln23nann ，证明数列 na 收敛。 证明： 构造不等式 1 1 1ln 11n n n
16、 ，则 当 1n 时， 1 ln2 12， 当 2n 时， 1 3 1ln3 2 2， 当 3n 时， 1 4 1ln4 3 3， 一般地，有 1 1 1ln1 nn n n ，故有 1 1 1 3 4 11 l n 2 l n l n l n2 3 2 3 nnn l n 2 ( l n 3 l n 2 ) ( l n 4 l n 3 ) l n ( 1 ) l n nn ln( 1) lnnn 所以 1 1 11 l n 023nann ， 即数列 na 有下界。 又 1 1 l n ( 1 ) l n1nna a n nn 11ln1 nnn 11ln 1 01nn 故数列 na 递减。由数列收敛的单调有界原理知，数列 na 收敛。 2.5 构造反例 注：构造反例的例题见：“反例的思想方法”。 6 由这些例子可以看出，构造方法的突 出特点是具有操作性、技巧性和一定的创造性。多数情况下，解决某一具体数学问题的构造方法往往可以用一个或一组数学表达式描述，这组式子能将涉及的数学思想、数学技巧表现的简明扼要，易于掌握。从方法论的角度来说，构造方法实质上是一种数学模型方法，只是与此相关联的实际背景是抽象化了的数学问题，而不再是应用层面上的某个实际问题。
