1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 有关中值命题中辅助函数构造的一般方法研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要： 数学分析的微积分证明中，证明某个问题的结论时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论，而这时可以 尝试运用辅助函数构造法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造出一个辅助函数，再运用有关的定理结论推导出命题的结论，这往往对命题的证明能起到事半功倍的结果。辅助函数构造法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，本文通过辅助函数构造法在一些经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在
2、一些具体实例中的运用归纳出针对有关中值定理中辅助函数构造的一些思路。 关键词： 中值定理；辅助函数 II For the Auxiliary Functions Mean Value Theorem of the General Method Abstract: In the process of proving some conclusions about calculus in “Mathematical Analysis“, we usually encountered the problems that the conclusions we want to prove can not
3、get from the existing conditions directly. At this time, we can try to convert the conclusions according to the conditions in the proposition, and then construct an auxiliary function together with some related theorems to derive it. This is usually helpful to prove a proposition. The method of auxi
4、liary function construction is an important one in Math, and there is a wide variety of ways and ideas to construct it. In this paper, we will try to find several ways to construct auxiliary function by analyzing the application of the method to construct auxiliary function in some classical example
5、s, and then apply the ways we find to some specific problems in order to conclude some general ideas of auxiliary function construction in proposition about mean value theorem. Key words: mean value theorem the auxiliary function III 目 录 1 引 言 . 1 1.1 预备知识 . 2 1.2 辅 助函数 桥梁 . 2 1.3 构造辅助函数的思维过程 . 2 2
6、辅助函数在微积分学中的应用分析 . 3 2.1 辅助函数在罗尔 (Rolle)定理中的应用 . 3 2.2 辅助函数在拉格朗日 (Lagrange)中值定理中的应用 . 3 2.3 辅助函数在柯西 (Cauchy)中值定理中的应用 . 4 3 构造辅助函数法结合微分中值命题证明分析 . 5 3.1 原函数法 . 5 3.2 常数 k 值法 . 6 3.3 积分构造法 . 7 3.4 待定系数法 . 9 3.5 观察联想 法 . 10 3.6 几何直观法 . 12 3.7 行列式法 . 14 3.8 一般构造法 . 15 4 辅助函数在微积分学里的应用举例 . 16 5 结 语 . 20 致 谢
7、 . 21 参考文献 . 22 1 1 引 言 微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。因此，在微积分中常见命题的解决时，通常会遇到这样的问题：对于与命题相关的定理与知识所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通 过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题。 辅助函数构造法在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分
8、研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。在本文，将在微分中值命题的证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用，将会解决构造函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。 通过构造辅助函数，可以解决数学分 析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果。 1.1 预备知识 定理 1（罗尔定理）若函数 fx满足如下条件： (1) fx在闭区间 , ab 上连续； (2) fx在开区间 ,ab 内可导； (3) f a f b ， 则在 ,ab 内至少存在一点 ，使得 0f 。 定理 2（拉格朗日中值定理）若函数 fx满足如
9、下条件： (1) fx在闭区间 , ab 上连续； (2) fx在开区间 ,ab 内可导， 则在 ,ab 内至少存在一点 ，使得 f a f bf ab 。 定理 3（柯西中值定理）设函数 fx和 gx满足： (1)在 , ab 上都连续； (2)在 ,ab 上都可导； (3) fx 和 gx 不同时为零； (4) g a g b ， 2 则存在 ,ab ，使得 f f a f bg g a g b 。 定理 4（积分第一中值定理）设 fx在 , ab 上连续，则至少存在一 点 , ab ，使得 ba f x dx f b a 。 1.2 辅助函数 桥梁 数学问题的解决过程是实现结论向条件、未
10、知向已知的转化过程。在这个转化过程中，不可避免地经常会遇到这样或那样的障碍。数学教育家 G.波利亚指出：“人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他就会绕过去，当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题”。 例如，证明格林公式时，我们先是讨论特殊的区域（既是 X 型又是 Y 型的区域）；然后，对于任意单连通区域分成几个特殊区域，用这种办法解决了问题。在这里，辅助曲线是使问题转化的桥梁，在这座“桥梁”上曲线积分往返了一次，正好抵消了。进而又可利用辅助曲线将复连通区域变成单连通区域，将格林公式进一步推广到复连通区域。又如，证明一个较难的定理时，往往要引入几个引理。其实，引
11、理的希腊原意是“假设的什么”。在假设引理成立（它的证明可推迟）的条件下去证明 引理，引理就是为证明定理而采用的辅助定理。 构造辅助问题并非是为了本身，而是要通过辅助问题帮助我们解决问题。那个原来的问题才是我们要达到的目的，而辅助问题只是我们试图达到目的的手段，是解决问题的桥梁。 1.3 构造辅助函数的思维过程 辅助函数是数学解题中构造的辅助手段的一种。它是依据数学问题所提供的信息而构成的函数，再利用这个函数的特性进行求解。构造 辅助函数，无非是将原来的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题，其解题过程是 :数学问题 M 辅助函数 F 解决 F 解决 M 。 全面把握数学问题所提供的信息，即问题本
12、身的特点、背景、需要以及和其它问题之间的关系。运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出辅助函数是解题的关键。这个构造过程是一个从特殊到一般的过程。运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程。利用辅助函数解决数学问题也表明，不少数学问题从一般化入手更容易得到解决。“ 一般”比“特殊”更为深刻地反映着事物的本质，启发我们从普遍的联系中去发现规律和解决问题的途径。在解决条件极值时，我们用到 Lagrange 乘数法，其中的 Lagrange 函数也是辅助函数。这种函数的结构模式固定： L =目标函数 +（约束条件），而其它的问题中所构造的辅助函数千变万化，是一种创造性思
13、维过程。 3 2 辅助函数在微积分学中的应用分析 罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，积分中值定理是微积分学中的重要内容，这些定理贯穿了微积分学的始终，利用它们证明有关命题，往往需要构造辅助函数，便可以把微积分学中较难的问题转化为易解决的问题，下面将举例说明辅助函数在解决微积分学问题中的应用。 2.1 辅助函数在罗尔 (Rolle)定理中的应用 微分中值定理中的罗尔定理是高等数学中的一个重要内容，因此它的应用非常广泛，而构造辅助函数是解决罗尔定理问题的最主要的方法。若辅助函数构造的合理巧妙，满足定理的三个条件，则问题很快就能迎刃而解。 注：罗尔定理一般是作为拉格朗日中值定理和柯西中值定理
14、证明的预备定理，故若对其加强仔细分析 、证明，也可以加以对拉格朗日中值定理的理解和应用。 罗尔定理：若函数 fx满足如下条件： (1) fx在闭区间 ,ab 上连续； (2) fx在开区间 ,ab 内可导； (3) f a f b ， 则在 ,ab 内至少存在一点 ，使得 0f 。 推广的罗尔定理：设函数 fx满足条件： (1)函数 fx在开区间 ,ab 内可微； (2) lim limx a x bf x f x， 则在 ,ab 内 至少存在一点 ，使 0f 。 证明：不妨设 lim lim =x a x bf x f x c，作辅助函数 ,f x x a bFxc x a b 或, l i
15、 m l i m =x a x aF x F x c F a， l i m l i m =x b x bF x F x c F b，所以由 Fx的构造可知， Fx在 , ab 上连续，从而 Fx满足罗尔定理的条件，即： (1) Fx在闭区间 ,ab 上连续； (2) Fx在开区间 ,ab 内可导； 4 (3) F a F b ， 则在 ,ab 内至少存 在一点 ，使得 0Ff，证毕。 2.2 辅助函数在拉格朗日 (Lagrange)中值定理中的应用 拉格朗日中值定理： 若函数 fx满足如下条件： (1) fx在闭区间 , ab 上连续； (2) fx在开区间 ,ab 内可导， 则在 ,ab 内
16、至少存在一点 ，使得 f a f bf ab 。 证明： 利用常数值法构造辅助函数，令 f b f a kba ，则 f b kb f a ka , 作辅助函数 F x f x kx，则显然有 F a F b 。 又因为 fx在闭区间 ,ab 上连续，在开区间 ,ab 内可导， 所以显然有 Fx满足罗尔定理的条件： (1) Fx在闭区间 ,ab 上连续； (2) Fx在开区间 ,ab 内可导； (3) F a F b ； 所以在 ,ab 内至少存在一点 ，使得 0F ，即 0fk 。 从而 f b f af ba ，定理得证。 注：对于拉格朗日中值定理与罗尔定理仅相差在区间端点的函数值相等（即
17、 ( ) ( )f a f b ）这一条件。因此，证明拉格朗日中值定理的关键是，构造一个合适罗尔定理条件的辅助函数 ()Fx，对 ()Fx应用罗尔定 理，即可得到拉格朗日中值定理的结论。 2.3 辅助函数在柯西 (Cauchy)中值定理中的应用 柯西中值定理： 设函数 fx和 gx满足： 5 (1)在 ,ab 上都连续； (2)在 ,ab 上都可导； (3) fx 和 gx 不同时为零； (4) g a g b ， 则存在 ,ab ，使得 f f b f ag g b g a 。 证明： 作辅助函数 f b f aF x f x f a g x g ag b g a 。 易见 Fx在 ,ab
18、上满足罗尔定理的条件，故存在 ,ab ，使得 0f b f aF f gg b g a 。 因为 0g （否则由上式 f 也为零），所以有 f f b f ag g b g a 。 注：若令 u f x , v g x ，这个形式可理解为参数方程，而 f b f ag b g a则是连接参数曲线的端点斜率， fg表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理 解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点 Lagrange 也具有，但是 Cauchy 中值定理除了适用 y f x 表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。 当柯西中值定理中的 g x x 时，柯
19、西中值定理就是拉格朗日中值定理。 6 3 构造辅助函数法结合微分中值命题证明分析 在众多等式命题的证明中，结合 微分中值定理的命题证明占据着一个非常重要的地位，其证明的方法也是多种多样的，我们通过辅助函数构造法在一些经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。 3.1 原函数法 原函数法是一种逆向思维的方法。在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时，要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点。这时，可通过不定积分求出原函数，从而构造出辅助函数。用此方法证明有关命题的一般步骤如下： 1.将结论通过恒等变换，化为容易积
20、分的函数形式。在结论积分不是很复杂的情况下，一般常用的变换方法是移项，将等式一端变为常数 0 ； 2.用 x 替换变换后等式中的变量 ； 3.求出原函数，则原函数即为所要构造的辅助函数； 4.结合微分中值定理，推导出最后的结论。 例 13:设 fx， gx在 ,ab 上二阶可导，且 f a f b ， g a g b ，求证：存在一个 ,ab ，使得 2fg fgf f a g b g 。 分析 :题中结论相当于证明 : 2f g b f g f g f a g f g 用 x 替换 得 : 2f x g b g x f a f x g x f x g x f x g x 积分后得 : g b f x f a g x f x g x f x g x c 得辅助函数 : ()F x g b f x f a g x f x g x f x g x 证明：作辅助函数 F x g b f x f a g x f x g x f x g x
