1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 复变函数解析的判定及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 解析函数是在某一复数域内处处可微的函数 ,是复变函数论研究的主体内容 .本文首先归纳总结复变函数在区域内解析的各种判定条件，包括充分条 件、必要条件和充要条件；其次，介绍解析函数的性质及函数解析与可导的区别和联系；最后，通过实例分析熟悉解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数计算等方面的应用 . 关键词 ： 解析函数；积分；微分；幂级数 Criterion and Application for Analytic Function of
2、Complex-variable Function Abstract： A function f of the complex variable z is analytic in an open set if it has a derivative at each point in that set. And it is the subject content in the research of Complex-variable Function. Firstly, all kinds of the criterions for Analytic Function were introduc
3、ed in this paper, including sufficient condition, necessary and sufficient condition. Secondly, the paper aimed at introduction of the character of Analytic Function, and the difference and connection between analytic function and differentiable function. Finally, the application of Analytic Functio
4、n in differential calculus, integral calculus, expansion into power series and calculation of residues was analysed with examples. Key words： Analytic Function, integral calculus, differential calculus, power series 目录 1 引言 . 1 2 解析函数的判定 . 2 2.1 柯西 -黎曼方程 . 2 2.2 柯西积分定理 . 4 2.3 调和函数 . 5 2.4 幂级数 . 8 3
5、 解析函数的性质 . 9 3.1 解析函数的无穷可微性 . 9 3.2 平均值公式及最大模原理 . 10 3.3 解析函数的泰勒展式 . 11 3.4 解析函数的零点孤立性及惟一性定理 . 13 4 解析函数的应用 . 16 4.1 微分和积分 . 16 4.2 幂级数展开 . 17 4.3 留数理论及应用 . 18 5 结束语 . 21 6 致 谢 . 错误 !未定义书签。 7 参考书 . 22 1 1 引言 为了使负数开平方有意义， 16 世纪中叶意大利数学家卡尔丹引进了虚数，再一次扩大了数系，使实数域扩大到复数域 .关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉（ Euler）作出的，他在
6、1777 年系统地建立了 复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上 .用符号 “i ”作为虚数的单位，也是他首创的 .19 世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（ Cauchy）、德国数学家黎曼（ Riemann）和魏尔斯特拉斯（ Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用 .20 世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联
7、系也日益密切 .致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用 .并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等 .另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型 . 复变函数研究的中心对象是所谓解析函数 .因此，复变函数论又称为解析函数论，简称函数论 .解析函数的研究之所以如此至关重要，是因为它具有 很好的性质，例如无穷可微性，惟一性以及可以用幂级数展开等，数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用 .解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的增长受到某种
8、限制等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题 . 本文分解析函数的判定、解析函数的性质及解析函数的应用三个单元 .在解析函数的判定部分，本文着重介绍了除解析函数的定义外的其他五种判定复变函数解析的充要条件，并通过一二个例子加深理解；在解析函数的性质部分，本文主要研究解析函数的无穷可微性，惟一性定理，最大模原理以及在解析点附近可以展开幂级数等，同 时辅以一些例子加以说明；最后，在解析函数的应用部分，本文通过具体实例介绍了解析函数在微分、积分、幂级数展开等方面的应用，重点介绍在留数计算方面的应用 . 2 2 解析函数的判定 如果函数 ()fz 在区域 D 内可微，则称 ()fz为区域 D 内的
9、解析函数，也称为 D 内的全 纯函数或正则函数 1.给定一个复变函数 ()fz，判断其在区域 D 内是否解析是学习复变函数论的一个难点 .若能用导数的定义式或求导法则证实复变函数 ()fz在区域 D 内处处可导，则由解析函数的定义就可判定 ()fz在区域 D 内是解 析的 .但这种方法有很大的局限性，对于一些抽象复杂的函数并不适用，本单元将归纳总结出复变函数解析的其他五种等价条件 . 2.1 柯西 -黎曼方程 若函数 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y 于点 z x iy 处可导，则在点 (, )xy 必有 uvxy ， uvyx （ 2-1） 式 (2-1)就 称
10、为柯西 -黎曼方程（简称 C-R 方程） 2.可见，可导的复变函数 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y的实部 ( , )uxy 和虚部 ( , )vxy 并不是随便拼起来的，它们之间有密切的联系 .我们可根据此命题的逆否命题来判断函数的不可导性，即若 ()fz在 0 0 0z x iy 不满足式（ 2-1） (C-R 方程 )，则 ()fz在0z 不可导 .以下介绍的两个定理是从柯西 -黎曼方程出发刻画的解析函数的等价定理 . 定理 2.1 函数 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y在区域 D 内解析的充要条件是： （ 1） 二元函数 (
11、, )uxy 、 ( , )vxy 在区域 D 内可微； （ 2） ( , )uxy 、 ( , )vxy 在 D 内满足 C-R 方程 . 定理 2.2 函数 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y在区域 D 内解析的充要条件是： （ 1） xu ， yu ， xv ， yv 在 D 内连续； （ 2） ( , )uxy 、 ( , )vxy 在 D 内满足 C-R 方程 . 因为二元函数 ( , )uxy 、 ( , )vxy 在区域 D 内可微等价于其在 D 内偏导存在且连续，所以这两个定理本质上讲的内容是一样的 .结合 C-R 方程来判定一个函数是否解析或可导是
12、常采用的比较方便的方法 .还要注意的是，在利用 C-R 方程来判定 ()fz的可导或解析性时，不能忽视对实部( , )uxy 、虚部 ( , )vxy 的可微性的考察 . 3 例 2.1 设 z x iy ，且 2 2 2 2( ) ( c o s s i n ) ( s i n c o s )x x x xxyf z x e y y e y i x e y y e yx y x y 试指出 ()fz的解析区域，并求出其导数 . 解 因 22( , ) c o s s i nxx xu x y x e y y e y xy 22( , ) s i n c o sxx xv x y x e y
13、y e y xy 则有 222 2 2( 1 ) c o s s i n ()xxu x yx e y y e yx x y 2 2 22( 1 ) s i n c o s ()xxu x yx e y y e yy x y 2 2 22( 1 ) s i n c o s ()xxv x yx e y y e yx x y 222 2 2( 1 ) c o s s i n ()xxv x yx e y y e yy x y 故当 220xy时， uvxy， uvyx，即 C-R 条件成立，且 ux ， uy， vx ， vy在 220xy的点都连续，因而可知 ()fz在 0z 的点解析，且 2
14、22 2 2( ) ( 1 ) c o s s i n ()xxu v x yf z i x e y y e yx x x y 2 2 22+ i ( 1 ) sin c o s ()xx xyx e y y e y xy （ 0z ） 本 题 是 利 用 可 导 与 解 析 的 判 别 方 法 确 定 解 析 区 域 ， 然 后 用 求 导 公 式( ) u v u u v u v vf z i i i ix x x y y y y x 求其导数 .值得注意的是，求解析区域时必须同时满足以上任一定理中的两个条件 .下面这个例题告诉我们只满足 C-R 方程是不足以说明一个复变函数是否解析的 .
15、 4 例 2.2 设3 3 3 322( ) ( ) ,0()0 , 0x y i x y zfz xyz ，试证 ()fz在原点满足柯西 -黎曼方程，但不可导 . 证明 令 ()f z u iv ，则 33 222222,0( , )0 , 0xy xyxyu x yxy ；33 222222,0( , )0 , 0xy xyxyv x yxy 因为 3300( , 0 ) (0 , 0 )(0 , 0 ) l i m l i m 10x xxu x u xu xx 3300(0 , ) (0 , 0 )(0 , 0 ) l i m l i m 10y yyu y u yu yy 3300(
16、 , 0 ) (0 , 0 )(0 , 0 ) l i m l i m 10x xxv x v xv xx 3300(0 , ) (0 , 0 )(0 , 0 ) l i m l i m 10y yyv y v yv yy 所以 (0, 0) (0, 0)xyuv ， (0, 0) (0, 0)yxuv ，即柯西 -黎曼方程在 原点（ 0,0）处成立 .但当 z 沿直线 y kx 趋于 0 时，有 3 3 3 3 3 32 2 2( ) (0 ) ( ) ( ) 1 ( 1 )0 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )f z f x y i x y k i kz x iy x y k i k
17、显然极限0 ( ) (0)lim 0z f z fz 不存在，故函数 ()fz在 0z 处不可导 . 复变函数 ()fz在区域 D 内可导等价于 ()fz在区域 D 内解析 .但复变函数 ()fz在点 0z 处解析，不仅要求在该点处的导数存在，而且存在 0z 的一个领域，该领域内所有的点处， ()fz都可导 .由此可见，函数 ()fz在一点 0z 处解析的要求要比可导的要求严格得多 . 2.2 柯西积分定理 首先这里要叙述一些相关定义和定理 . 定义 2.1 逐段光滑的简单闭曲线叫周线 1. 柯西积分定理：设函数 ()fz在 z 平面上的单连通区域 D 内解析， C 为 D 内任一条周线，则5
18、 ( ) 0c f z dz . 摩勒拉定理：若函数 ()fz在单连通区域 D 内连续，且对 D 内的任一条周线 C ，有( ) 0c f z dz ，则 ()fz在 D 内解析 3-5. 下面我们着重指出从柯西积分定理出发刻画的解析函数的等价定理 . 定理 2.3 函数 ()fz在区域 G 内解析的充要条件是 : （ 1） ()fz在区域 G 内连续； （ 2） 对任一周线 C ，只要 C 及其内部全含于 G 内，就有 ( ) 0c f z dz. 这个定理一般很少拿来判定复变函数 ()fz是否在某个区域内解析，更多的是用于计算或者证明跟复变函数的积分有关的问题 .之后在解析函数的性质和相关
19、应用两个部分还将对此做进一步的了解 . 2.3 调和函数 设 ()f z u iv 在区域 D 内解析，则由 C-R 方程 uvxy ， uvyx 得 222uvx x y ， 222uvy y x 因 2vxy和 2vyx在 D 内连续，它们必定相等， 故在 D 内有 220uuxy，同理，在 D 内有220vvxy，即 u 及 v 在 D 内满足拉普拉斯方程： 0u， 0v . 这里 22xy 是一种运算记号，称为拉普拉斯算子 6. 定义 2.2 如果二元实函数 ( , )Hxy 在区域 D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程0H，则称 ( , )Hxy 为区域 D 内的调和函数 6.
20、 定义 2.3 在区域 D 内满足 C-R 方程 6 uvxy ， uvyx 的两个调和函数 u ， v 中， v 称为 u 在区域 D 内的共轭调和 函数 6. 有了以上两个定义就可以得出刻画解析函数的又一等价定理 . 定理 2.4 函数 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y在区域 D 内解析的充要条件是：在区域 D 内 ( , )vxy是 ( , )uxy 的共轭调和函数 . 值得注意的是， v 是 u 的共轭调和函数，其中 u 和 v 并不能任意交换顺序 .因为如果 v 是 u 的共轭调和函数，那么根据 C-R 方程可得 ()vuxy ， ()vuyx ，即 v
21、 的共轭调和函数 为 uC（其中 C 为任意常数） . 例 2.3 设 u 为区域 D 内的调和函数及 uufixy.问 f 是不是 D 内的解析函数？为什么？ 解 f 是 D 内的解析函数 .这是因为由 u 为 D 内的调和函数知 u 具有二阶连续偏导，且满足拉普拉斯方程 0xx yyuu，这就意味着 Re ( ) ufz x ， Im ( ) ufz y 存在一阶连续偏导， 即 Re ( )fz 和 Im ( )fz 在区域 D 内可微，而且 ( R e ( ) )xxuf z ux x x ， ( Re ( ) )xyuf z uy y x ， ( I m ( ) ) yxuf z ux x y ， ( I m ( ) ) yyuf z uy y y ， 故有 C-R 方程 ( R e ( ) ) ( I m ( ) )( R e ( ) ) ( I m ( ) )f z f zxyf z f zyx 成 立 .因而 () uuf z ixy在区域 D 内解析 .
