1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 高等代数对中学代数的指导作用研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 1 摘要： 高等代数在知识上是中学数学的继续和提高 ,在思想方法上是中学代数的因袭和扩张 ,在观念上是中学代数的深化和发展 .高等代数与中学数 学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面 .注意与中学代数的联系对比，不但可以降低高等代数课的学习难度 ,而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用。 关键 词 ： 高等代数；中学代数；指导作用；思想方法 2 Higher Algebra
2、for high school algebra study guide Abstract: Algebra Mathematics in knowledge is the continuation and improvement of methods of thought, is the iconic high school algebra and expansion, the concept is the deepening and development of high school algebra. Higher and Middle School Mathematics in the
3、way of thinking ties mainly in Abstract thinking, classification ideology, structure, thinking, analogical reasoning thought, axiomatic method and so on. Note the number of high school algebra with links contrast, not only can reduce the difficulty of learning advanced algebra class, but also enhanc
4、e the training course on Advanced Algebra Mathematics Teachers guide. Key words: advanced algebra; middle school algebra; guide; Thinking method 1 目录 引言 1 1 高等代数对中学代数的指导作用的意义 2 1.1 代数的发展史 2 1.2 高等代数与中学数学教育的教育目标 4 1.3 数学教育教学的新革 6 2 高等代数与中学代数的关系 6 2.1高等代数与中学代数的统一性 7 2.2高等代数与中学代数的连贯性 7 2.3从中学代数到高等代数研究对
5、象与方法的发展 9 2.4从中学代数到高等代数数学观的发展 10 2.5高等代数与中学代数之间的区别 10 3 高等代数对中学代数的指导 11 3.1向量线性关系的几何意义 12 3.2多项式理论的应用 13 3.3 Cauchy不等式的应用 14 3.4行列式方程的应用 15 3.5利用矩阵求最大公因式 17 3.6欧式空间的中学模型 18 3.7柯西 布涅柯夫斯基不等式在中学数学解题中的应用 18 3.8 矩阵与几何变换 19 3.9中学数学的“关系”题 20 4 结束语 21 致谢 21 参考文献 22 1 引言 在我国高等师范院校中，多数专业所开设的专业课程，都是中学相应课程内容的加深
6、和拓广，惟数学专业例外。在数学专业课程里，除微积分外，多数课程与中学数学在研究对象和研究方法两方面都有着本质的不同。以高等代数为例，高等代数抽象化、形式化的思想和符号化的表述使其对于中学数学，不是一种螺旋式的深入，而是一种阶梯式的跨越这就使得高等代数在表面上与中学数学严重脱节，学生面对高等代数时，已有的知识结构、思维结构几乎无法得以正向迁移，学生必须从两个相对断裂 的侧面去体会、去领悟、去学习，学习压力之大可想而知。更重要的是，由于高等代数与中学数学在学生眼里成了两个相互断裂的层面，部分学生认为，高等代数与其日后的中学数学教学联系不上，即使现在“居高”，将来也不能“临下”，因而学习的积极性、主
7、动性就明显不高如此，“学”慢而“忘”快现象普遍存在于高等代数课程的学习之中也就不足为奇了 1。 同时，中学数学的不少知识在高等代数得到了进一步的加深和拓展，或者成为了高等代数的例子，或者为高等代数提供了模型。中学数学知识在高等代数中的继续和提高，有效地解释了许多中学数学未能解读清楚地问题，这对于运用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学实际具现实意义的。 2 1 高等代数对中学代数的指导作用的意义 1.1 代数的发展史 代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。 初等代数是更古老的算术的推广和发展。
8、如果我们对代数符号不是要求像现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖 ，而真正创立代数的则是古阿拉伯帝国时期的伟大数学家默罕默德 伊本 穆萨（我国称为“花刺子密”，生卒约为公元 780-850年）。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。 “代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在 1859年。那年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做代数学。当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如九章算术中就有方程问题。古希腊数学家丢番图用文字缩写来
9、表示未知量，在公元 250年前后丢番图写了 一本数学巨著算术。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。故有“代数学之父”的称号。 代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分 2 。 1、算术 算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 -高斯（ Gauss,1777-1855） 算术是数学中最古老、最 基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学 算术。
10、 现在拉丁文的“算术”这个词是由希腊文的“数和数 (音属， sh三音 )数的技术”变化而来的。“算”字在中国的古意也是“数”的意思，表示计算用的竹筹。中国古代的复杂数字计算都要用算筹。所以“算术”包含当时的全部数学知识与计算技能，流传下来的最古老的九章算术以及失传的许商算术和杜忠算术，就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。算术 的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。 3 2、初等代数 作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方
11、程理论。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组（主要是一次方程组）；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的 主要内容在 16 世纪便已基本上发展完备了。 初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。 初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度
12、计算性的。 要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式 。 初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。 3、高等代数 在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代
13、数，只研究它们的基础。 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然在数学上不过是一个符号，表示包括的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩 阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供
14、钥匙。 4、数论 以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，数论4 是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。 数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。 17 世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论（研究整系数多项式的根 “代 数数”）、几何数论（研究直线坐标系中坐标均为整数 的全部“整点” “空间格网”）。 19 世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。 二十世纪出现了
15、完备的数论理论。 5、抽象代数 抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环 论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。 到现在为止，数学家们已经研究过 200多种代数结构，其中最主要的若当代数和李代数是不
16、服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于 20 世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。 现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字 母则表示向量（或 n元有序数组）、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学。 1.2 高等代数与中学数学教育的教育目标 一、高等代数： （ 1）按照循序渐近的原则，在中学代数的基础上的逐渐提高，在完成与中学代数教学衔接
17、工作的同时，做好理论上的提高和深入的工作。（ 2）掌握行列式、矩阵和多项式等基本知识，能熟练进行基本运算（求行列式的值，求矩阵的逆，多项式的带余除法等）。（ 3）掌握线性空间、线性变换，欧氏空间的理论和思维方法，并能熟练掌握线性变换和化二次型的技巧。（ 4）通过本课的学习，使学生对初等代数有更加的深入了解，并能更好地处理中学数学教学中的有关问题。（ 5）培养学生的科学思维、逻辑推理的能力，特别是使学生学会从直观到抽象的思维方法。 二、初中数学： 5 初中代数是使学生在小学数学的基础上，把数的范围从非负有理数扩充到有理数、实数；通过用字母表示数，学习代数式、方程和不等式、函数等，学习一些常用的数
18、据处理方法和科学计算器或算表的使用方法；发展对于数量关系的认识和抽象 概括的思维，提高运算能力。 初中代数的教学要求是：（ 1）使学生了解有理数、实数的有关概念，熟练掌握有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算；会用计算器或算表计算平方、立方、平方根与立方根。 （ 2）使学生了解有关代数式、整式、分式和二次根式的概念，掌握它们的性质和运算法则，能够熟练地进行整式、分式和二次根式的运算以及多项式的因式分解。（ 3）使学生了解有关方程、方程组的概念；灵活运用一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程的解法解方程和方程组，掌握分式方程和简单的二元二次方程组的解法，理解一元二 次方程的根的判别式。能够
19、分析等量关系列出方程或方程组解应用题。使学生了解一元一次不等式、一元一次不等式组的概念，会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。（ 4）使学生理解平面直角坐标系的概念，了解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数的概念和性质，理解二次函数的概念，会根据性质画出正比例函数、一次函数的图象，会用描点法画出反比例函数、二次函数的图象。（ 5）使学生了解统计的思想，掌握一些常用的数据处理方法，能够用统计的初步知识解决一些简单的实际问题。（ 6）使学生掌握消元、 降次、配方、换元等常用的数学方法，解决某些数学问题，理解“特殊 一般 特殊”、“未知已知”、用字母表示数
20、、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法。（ 7）使学生通过各种运算和对代数式、方程、不等式的变形以及重要公式的推导，通过用概念、法则、性质进行简单的推理，发展思维能力。（ 8）使学生了解已知与未知、特殊与一般、正与负、等与不等、常量与变量等辩证关系，以及反映在函数概念中的运动变化观点。了解反映在数与式的运算和求方程解的过程中的矛盾转化的观点。同时，利用有关的代数史料和社会主义建设成就，对学生进行 思想教育。 三、高中数学： 高中数学是义务教育后普通高级中学的一门主要课程。它是学习物理、化学、计算机和进一步学习的必要基础，也是参加社会生产、日常生活的基础，对于培养学生的创新意识和应
21、用意识，认识数学的科学和文化价值，形成理性思维有积极作用。因此，使学生在高中阶段继续受到数学教育，提高数学素养，对于提高全民族素质，为培养社会主义现代化建设所需要的人才打好基础是十分必要的。 高中数学的教学目的 :(1）使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何、概率统计、微积分初 步的基础知识、基本技能，以及其中的数学思想方法。（ 2）在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意6 识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。（ 3）努力培养学生数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜
22、想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断。（ 4）激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学 的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义的世界观。 1.3 数学教育教学的新改革 3 在新一轮数学课程改革中，我国原有的数学教学大纲正在逐步隐退，取而代之的是数学课程标准。新数学课程标准是在总结和反思以前数学教育的基础上研制而成的，保留了数学教学大纲的一些特色，是大纲的继承与发展。 无论大纲的修订还是标准的研制，都试图更好地指导学校数学教学工作的开展，标准与大纲
23、相比，既有继承方面，也有发展与创新，可概括为以下四点： （ 1）大纲与标准所体现的课 程理念有很大的差异。前者注重教师的教学，重视改进教学方法；后者注重学生的学习，重视改变学生的学习方式。 （ 2）大纲与标准的课程目标同中有异。两者都重视知识与技能的培养，但后者更加关注学生的学习过程、情感、态度与个性的发展。 （ 3）大纲与标准的课程内容同中有异。后者继承了前者重视学生对必要的基础知识和基本技能的熟练掌握的优点，但标准对有些内容进行了加强或削弱，设置现实的、富有挑战性和很大弹性的内容，提供广阔的发展空间，让学生在自主探索、合作交流中体验“做数学”的乐趣。 （ 4）大纲与标准的评价理念存在很大的
24、差异。前者提倡终结性评价，注重评价的筛选功能，如设置分数与等级；后者强调过程性评价和评价的教育功能，评价不仅考察学生对知识的掌握，而且重视学习过程与体验。 总之，标准是在总结和反思以前数学教育的基础上研制出来的，保持了大纲的一些特色，同时也修正了一些不足之处，这是一种继承基础上的创新，在创新的前提下继承，而不是一种简单的否定。事实上，大纲恰恰局限于教学上的目标和要求、知识要求、能力要求和德育要求等方面，在这些方面的要求似乎过于具体，反而有时 限制了教师的创造性，而且难以兼顾到不同地区的不同要求。而标准呈现出一个开放性体系，为教材编写者、教师教学、学生学习及学业评价提供了较为广阔的发展空间。 2 高等代数与中学代数的关系 结合教学实践 ,从教材的结构、体系 ,数学思想方法和解题教学三个方面浅谈高等数学对中学数学教学的指导作用 4。中学数学主要是常量数学，同时也包括变量数学的一些初步知识，而现代
