1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 若干重要不等式的推广及应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 ： 在数学研究领域里，不等式问题占有广阔的天地。 因此 本文综述了几类重要不等式 的 推广 及证明 ，如 Hadmard 不等式、 Cauchy 不等式 、 Abel 不等式、 Janous不等式等，同时举例说明重要不等式在各个方面的具体应用。 关键词 ： 重要不等式； Hadmard 不等式； Cauchy 不等式； II The popularization and application of some important in
2、equations Abstract： Inequalities hold vast world in mathematics researches.This paper mainly introduces the basic form and proofs of Cauchy inequality, Hadmard inequality, Abel inequality and Janous inequality.Moverover,the the paper also gives a summary of the promotion of these inequalities system
3、atically,while discussing emphatically the specific applications of these important inequations in all aspects. Key words： Important inequation; Hadmard inequality; Cauchy inequality; III 1 前 言 . 1 2 常用重要不等式的推广 . 2 2.1 HADMARD不等式及推广 . 2 2.1.1 Hadmard 不等式 . 2 2.1.2 Hadmard 不等式的推广 . 3 2.2 CAUCHY不等式及推广
4、 . 5 2.2.1 Cauchy 不等式 . 5 2.2.2 Cauchy 不等式的推广 . 6 2.3 ABEL 不等式及推广 . 8 2.3.1 Abel 不等式 . 8 2.3.2 Abel 不等式的推广 . 8 2.4 JANOUS不等式及推广 . 10 2.4.1 Janous 不等式 . 10 2.4.2 Janous 不等 式的推广 . 11 3 常用重要不等式的应用 . 14 3.1 在代数中的应用 . 14 3.2 在几何中的应用 . 15 3.3 最值极值问题中的应用 . 17 3.4 不等式之间的相互推导 . 18 3.5 在概率论中的应用 . 19 4 总 结 . 2
5、1 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 22 1 1 前 言 众所周知不等式作为数学的组成部分以及重要的推理工具，被广泛地应用 到数学的各个领域。在分析学中不等式的作用更是不可替代。而其中一些常用不等式如Hadmard 不等式、 Abel 不等式、 Janous 不等式、 Cauchy 不等式更在数学基础理论的创建、延伸、和应用上起着非凡的作用，这使得不等式的研究成了当前数学研究的一个热点。 近年来这些重要不等式一直受到广泛的关注，不少学者对他们进行了较深入的研究与推广。本文主要是综合归纳相关的研究成果，如 Hadmard 不等式、 Abel 不等式、 Janous 不等式、 Ca
6、uchy 不等式的基本形式和相关证明，并对以上四个重要不等式的推广做了较系统综述，并举例说明了它们在各方面的具体应用。 在数学领域中灵活运用不等式可以使一些较为复杂的问题迎刃而解，一套数学理论最终甚至可以归结为一个不同寻常的不等式。但是在部分情况下不等式还存在一定的局限性，因此探讨重要不等式能够在哪些情况下发挥作用，是否能够得到进一步的推广等问题就显得非常有必要。 大量的学者对于不等式的研究已经趋于 完善 ，但是仍旧缺少系统性地归纳和梳理。本文希望通过对现有研究进行总结与归纳，强化不等式作为数学领域的一个组成部分和一项推理工具的作用，以期更快捷有效地解决部分数学问题，并为今后相关的生活、工作
7、、学习提供一定的参考价值。 2 2 常用重要不等式的推广 重要不等式是指在 数学的 计算与证明问题 中常见的 不等式。包括排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、冥平均不等式、权方和不等式、 Cauchy 不等式、切比雪夫不等式 和琴生不等式等 等。 鉴于 不等式 在科学研究中的重要地位，众多学者对 重要不等式 继续进行研究，获得了一些更好的结果。 2.1 Hadmard 不等式及推广 2.1.1 Hadmard 不等式 定理 2.11 ： 设 xf 是 ba, 是的连续凸函数，则对每一对 2121 , xxbaxx 有： 21 212 211221 xxxxfdttfxxxxf 1.1 证
8、明 ：因为 xf 是开区间 ba, 上的连续凸函数，所以 xf 是连续的，因此可积。因为 2121 xx 不仅是 21,xx 的中点，同时也是 121 xxx 和 122 xxx 的中点，其中 ,1,0 利用 xf 为连续凸函数，则就有不等式 221 12122121 xxfxxxfxxxf 上式两边对 从 0 到 1积分，经计算后就可以得到： 21 211221xxfdttfxx xx另一方面由于是连续凸函数又可以得到： 10 121211 21 dxxfdttfxx xx 10 121 dxxfxf 3 .2 12 xfxf 证毕。 Hadmard 不等式 （ 1.1） 在不等 式理论中占
9、有重要地位，它不仅用来为证明其他不等式提供理论依据，还在其他问题的求解中有着广泛的应用，例如求最值问题和求范围问题等 2.1.2 Hadmard 不等式的推广 引理 12 ：设 Rbaf ,: 是中点凸函数，即 yfxfyxf 212 ， ., . . .2,1, nibaxbayx i 记 niiiiknkkkxxfknf . . .1, 1 1. . .1 ， 则有 nnknnn ffff ,2,1, . ，其中 ! ! knk nkn 。 引理 22 ：设 Rbaf ,: 为连续凸函数， ., badc i 如果 ,badc 那么 dcbadxxfabdxxfcd .11 ii 如果 x
10、f 为 ba, 上的递增（减 ）函数，且 badc ，那么 i 成立。 引理 33 ：设 Rbaf ,: 为连续凸函数，且 . . .,. . ., 2211 kk babababa 记 kjbaba kkjjk kkxdxk xxfabG 1 111 11. . . . . . .。 i 如果 . . . . .2211 kk bababa ，那么 badxxfabbafbfaf 12241 4 ki ik bakfGG 1 11 21. . . 2.1 ii 如果 xf 在 ba, 递增（减），且 . . . . . .2211 kk bababa ，那么 i 也成立。 引理 44 ：设
11、Rbaf ,: 为连续函数，则有 kj baba kkkjk dxdxk xxfk bjkjafjkk0 11 . . . . . . .1 ， 其中函数 xfk 满足： ., baxxfdx xfd kkk 定理 2.2： 设 Rbaf ,: 是连续凸函数，函数 xfk 满足 ,. . . . .3,2,1, kbaxxfdx xfd kkk 记 kj kjkkkk k bjkjafjabkbaG 0 ,1, 则有 2241 bafbfaf baGdxxfab ba,11 2. . . . . .,. . . . . . bafbaG k。 3.1 由于 bfafbafbfaf 212241
12、 所以 3.1 式是 1.1 式的又一推广。 证明 ：在引理 3 中令 ,.2,1, kbaba kk 再由引理 4 知不等式 2.1 则变为不等式5 3.1 ，证毕。 2.2 Cauchy 不等式及推广 Cauchy 是法国数学家， 1789 年 8 月 21 日出生于巴黎，他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入的研究，并获得了许多重要成果，著名的 Cauchy 不等式就是其中之一。 Cauchy 不等式是著名的不等式之一，且不失为一个十分完善的重要不等式。它不仅是数学分析的重要工具，还与物理学中的矢量、高等数学中的内积空间和赋范空间有着密切的联系。在以上相关解题过程中
13、， 适当、巧妙地引入 Cauchy 不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的效果。 2.2.1 Cauchy 不等式 定理 2.3：若 niba ii ,.,2,1, 是任何实数， 则有 ni ni ni iiii baba1 1 2122 . 4.1 (当且仅当nnbababa .2211 时，等号成立 ) 证明 ：（数学归纳法） 当 1n 时，等号显然成立。 假设当 kn 时，结论成立，即有： ki iiki ii baba 1 2221 . 则当 1kn 时， 21 1121 ki kkiiki ii bababa6 ki kkkkiiki ii babababa 12 12 11121
14、 2 ki kkki ikkiki ii babababa12 12 1122 12 12122 2 11 22 11 2 11 22 kki ikki kki ii bbabba 111122kiki ii ba证毕。 2.2.2 Cauchy 不等式的推广 1 指数形式 引理 55 ：设 kn, 为不小于 2 的自然数，则对于 kjniRa ij , . . ,2,1;, . . ,2,1, 和 kom , 有， kj ni mijmni kj ij aa 1 11 1 ， 等号成立的充要条件是，下面的 iii, 成立 ； j 使 ;0.21 njjj aaa 若对每个 ,.,2,1 kj 至少有一个 0ija 时，则 km ，,rijrij aKa （ jrkkj , 为与 i 无关的正值常数），且对于 ni ,.2,1 ，恒有 kj ija1 0 或 .01 kj ija 引理 65 ：设 kn, 为不小于 2 的自然数，对于 Raij 和 km 有 kj mni ijkmmni kj ij ana 1 11 1 等号成立的充要条件是，下面的 iii, 成立； iii
