1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 实数完备理论简史 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 :实数集的完备性是实数集的一个基本特征 ,它是微积分学坚实的理论基础 .人们可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性 ,所以实数完备性有多个基本定 理 .实数的完备性在数学学科中有着广泛的应用 ,特别是在求极限中起着至关重要的作用 ,因此研究实数完备性是数学分析的重要环节 ,对未来数学研究的发展具有深远的意义 .本文介绍了研究实数完备性的背景、现状 ,归纳梳理了实数完备性各命题等价性的证明方法 .随着科学技术的发展 ,实数完备性作为数学分析中的一项
2、重要内容 ,会在更多的领域拥有广泛的应用 ,对其他的研究也将产生更加深入、透彻的影响 关键词 :实数系；实数完备性；等价性 The Brief History of the Completeness Theory of Real Numbers Abstract: The completeness of the set of Real Numbers is a basic property.It is the massy theoretical foundation of Calculous. People can describe and depict the completeness of
3、 the set of Real Numbers from different side. So there are several basic theorems about the completeness of Real Numbers. The completeness of Real Numbers is comprehensive applied into mathematics, especially play the important role in the Limits theory. The studying of the completeness is an import
4、ant part of mathematical analysis.It has the far-reaching significance for the future development of mathematics. This article introduce the background and current situation of the completeness of Real Numbers. We sum up the proof methods of the completeness of Real Numbers. With the development of
5、science and technology, the completeness of Real Numbers will be extensive applied into more fields,also be more deeply and thoroughly in other studies. Key words:Real Numbers； the completeness of Real Numbers； equivalence 目 录 1 实数系的建立 1 1.1 整数 1 1.2 分数 1 1.3 零 1 1.4 负数 1 1.5 有理数 1 1.6 无理数 2 1.7 实数
6、2 1.8 实数理论的完善 3 2 实数完备性的基本定理 5 2.1 确界原理 5 2.2 单调有界定理 6 2.3 区间套定理 6 2.4 有限覆盖定理 7 2.5 聚点定理 8 2.6 柯西收敛准则 9 3 实数完备性命题的等价性 11 3.1 实数完备性定理的循环推证 11 3.2 确界原理推证基本定理 13 3.3 戴德金划分论证 15 3.3.1 描述实数完备性的等价命题 15 3.3.2 等价命题的论证 16 4 总结 21 致谢 22 参考文 献 231 1 实数系的建立 数 ,是数学中的基本概念 .数的每一次扩充 ,都为数学学习提供了新的方法和理论 .随着时代的发展，数系理论得
7、到了不断完善 ,成了科学技术和社会生活中的基本工具 ,是人类文明进程中不可或缺的组成部分 . 1.1 整 数 当人类能区别各类事物而无须加以描述 ,就好象区别五条鱼和五这个数时 ,便开始有了数系 .即使最原始的部落至少对一些数的概念也有文字记载 .巴比伦人的楔形文字记录有平方 ,有立方 ,还有一些级数 ,这表明在远古时代 ,整数系统就有 相当的发展 . 1.2 分数 这种类型的数是在整数的基础上 ,由于重分财产的实际需要而产生的 .3个人要分 4个苹果 ,每人分得一个以后还剩下一个 ,于是他们就把剩下的一个苹果切成相等的三份 ,每人再分得其中的一份 ,即 1/3 个苹果 .像 1 / 2,1
8、/ 3,1 / 4.这类分子为 1的分 数 ,对于简单的再分已经足够用了 ,当它们不能满足一些较为复杂的再分行为时 ,就产生了更为一般的分数 .公元前 1400年就有学者得出了将3/4 和 5/7 这类分数变换成以 1为分子的分数的方法 : 3 / 4 1 / 2 1 / 4 , 5 / 7 1 / 2 1 / 7 1 / 1 4 ,钟表上计时的分和秒是巴比伦人的六十分数法的残余 . 1.3 零 印度的数学家大约在公元 600年发明了符号“ 0” ,用它来代表原来在算盘上计算时产生的空位 .引进符号零和发明位置原则 ,从而使同一数的符号可以按其所占位置的不同而用于不同的意义 ,以致用符号计算比
9、用算盘计算要快得多 . 1.4 负数 印度数学家在研究代数方程的过程中引进了负数的概念 .例如 ,在已 被接受的数系中 ,方程35x 是一个可能的方程 ,因为它的根是整数 2,而方程 53x 则是一个不可能的方程 ,因为5+3 2x 不是一个已知的数 .这类称为负数的数在人们观察到它们能用来代表债务时而最终为人们所接受 .因此在数的概念的扩展中 ,在 数量大小的基础上又加上了方向的概念 .从负数的概念演化出称为向量分析的有向数量学说 ,已成为数学、物理学上的有力工具 . 1.5 有理数 两个整数的和与 积总是整数 ,即整数系对加法和乘法运算而言是封闭的 .但对整数进行减法和除法 ,并不总是产生
10、整数 .也就是说 ,在整数系中只能施行加、乘运算 ,而不能自由地施行其逆运算 .另外 ,整数系是一个离散的 ,非稠密的数系 ,因此 ,它只能限于去表示一个单位量的整数倍 ,而无法表2 示它的部分 .整数系的这种缺陷 ,就促使人们将它加以扩充 ,以便得到一个稠密的且在四则运算下封闭的数系 ,这就是后来人们得到的有理数系 .值得注意的是 ,可以证明 ,以下关于有理数系的三种描述是互相等价的 : 定义 1 正负整数、分数和零的总体称为有理数 . 定义 2 有理数由各式 各样的分数组成 .(这里所说的各式各样是指分数可正可负 ,可以是真分数也可以是假分数或带分数 ). 定义 3有理数由有限小数和无限循
11、环小数组成 . 1.6 无理数 数系发展的第三个阶段 (公元前五百年左右 )是发现有些线段不能用选定为单位长度的线段的整数或分数的倍数来表示 ,这种发现与直角三角形的研究有关 .勾股定律说 :直角三角形两边平方的和等于斜边的平方 .然而 ,如果直角三角形是等腰的话 ,古希腊的数学家则认为斜边的长度与其它任一边是不能公度的 .事实上 ,如果把两直角边的长度取作单位长度 ,那么斜边的长度 c 满足方程 2 2 21 1 2 . 1c 显然没有整数值 c 能满足方程 (1),实际上也没有分数值 c 能满足方程 (1).后来人们把满足 (1)的 c 值记作 2 .这就证明了有些数 (比如 2 )是不能
12、用整数和分数这 两类数字中的任何一种来表示的 ,也就是说“ 2 ” 不是有理数系中的成员 .后来人们把这种数叫做无理数 . 1.7 实数 无理数的发现向人们揭示了有理数系的缺陷 ,即有理数虽然处处稠密 ,但有理数与有理数之间还存在“孔隙 ” ,后来人们又知这种“孔隙 ” 简直是多得不可胜数 .正因为如此 .有理数系对极限运算不是封闭的 .为了克服有理数系的这种缺陷 ,迅速发展极其有用的变量数学 ,在有理数的基础上 ,承认上述所说有理数与有理数之间的那种“孔隙 ” 被一种叫做 “ 无理数 ” 的数占据着 .因为有理数由无 限循环小数组成 (按照某一规则有限小数均可写成无限循环小数 ),所以无理数
13、由无限不循环小数组成 .有理数与无理数一起构成了实数系 . 虽然如我们所看到的 :有理数集合 Q 对四则运算 (除数不为零 )封闭 ,又在 R 中处处稠密 ,有着无理数集 Ir 所不可比拟的地位 ,但也如前面我们已经指出的 ,Q 也有着很大的缺陷 ,在 Q 上无法研究数学分析 . 实数系的建立成功地克服了有理数系的缺陷 .实数系的性质非常优良 ,一方面 ,实数系是连续的 ,也就是说在实数与实数之间不再有“孔隙 ” 存在 ,换言之 ,实数可以与数轴上的点成一一对应的关系 .3 这样一来 ,一方面 , 我们可以通过建立坐标系 ,用代数的方法去研究几何问题 ； 另一方面 ,有了实数的连续性之后 ,实
14、数系关于极限运算是封闭的 .微积分从此有了坚实可靠的理论基础 (许文超 ,2005)1. 1.8 实数理论的完善 无理数的发现 ,击碎了毕达哥拉斯 (Pythagoras,572 497 B.C.)学派“万物皆数”的美梦 .同时暴露出有理数系的缺陷 :一条直线上的有理数尽管是“稠密” ,但是它却漏出了许多“孔隙” ,而且这种“孔隙”多得“不可胜数” .这样 ,古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想 ,就彻底地破灭了 .它的破灭 ,在以后两千多年时间内 ,对数学的发展 ,起到了深远的影响 .不可通约的本质是什么 ?长期以来众说纷纭 .两个不可通约量的比值也因此得不到正确的解释 ,而
15、被认为是不可理喻的数 .15世纪达芬奇 (Leonardo da Vinci,1452 1519)把它们称为是“ 无理的数” (irrational number),开普勒 (J.Kepler,1571 1630)称它们是“不可名状”的数 .这些“无理”而又“不可名状”的数 ,虽然在后来的运算中渐渐被使用 ,但是它们究竟是不是实实在在的数 ,却一直是个困扰人的问题 . 中国古代数学在处理开方问题时 ,也不可避免地碰到无理根数 .对于这种“开之不尽”的数 ,九章算术直截了当地“以面命之”予以接受 ,刘徽注释中的“求其微数” ,实际上是用 10进制小数来无限逼近无理数 .这本是一条完成实数系统的正
16、确道路 ,只是刘徽的思想远远超越了他的时代 ,而未能引 起后人的重视 .不过 ,中国传统数学关注的是数量的计算 ,对数的本质并没有太大的兴趣 .而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了 .既然不能克服它 ,那就只好回避它 .此后的希腊数学家 ,如欧多克斯 (Eudoxus,408 355 B.C.)、欧几里得 (Euclid,330 283 B.C.)在他们的几何学里 ,都严格避免把数与几何量等同起来 .欧多克斯的比例论 (见几何原本第 5卷 ),使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍 ,但就在这以后的漫长时期中 ,形成了几何与算术的显著分离 . 17、 18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家
17、的 注意力 ,恰恰是人们对微积分基础的关注 ,使得实数域的连续性问题再次突显出来 .因为 ,微积分是建立在极限运算基础上的变量数学 ,而极限运算 ,需要一个封闭的数域 .无理数正是实数域连续性的关键 . 无理数是什么 ?法国数学家柯西 (A.Cauchy,1789 1875)给出了回答 :无理数是有理数序列的极限 .然而按照柯西的极限定义 ,所谓有理数序列的极限 ,意即预先存在一个确定的数 ,使它与序列中各数的差值 ,当序列趋于无穷时 ,可以任意小 .但是 ,这个预先存在的“数” ,又从何而来呢 ?在柯西看来 ,有理序列的极限 ,似乎是先验地存在的 .这表明 ,柯西尽管是那个时代大分析学家 ,
18、但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为理论基础的传统观念的影响 . 变量数学独立建造完备数域的历史任务 ,终于在 19世纪后半叶 ,由 魏尔斯特拉斯 (Weier4 strass,1815 1897)、戴德金 (R.Dedekind1831 1916)、康托 (G.Cantor,1845 1918)等人加以完成了 . 1872年 ,是近代数学史上最值得纪念的一年 .这一年 ,克莱因 (F Kline,1849 1925)提出了著名的“埃尔朗根纲领” (Erlanger Programm),魏尔斯特拉斯 给出了著 名的处处连续但处处不可微的函数 .也正是在这一年 ,实数的三大派理论 :戴德金“分割”
19、理论；康托的“基本序列”理论 ,以及 魏尔斯特拉斯 的“有界单调序列”理论 ,同时在德国出现了 . 努力建立实数的目的 ,是为了给出一个形式化的逻辑定义 ,它既不依赖几何的含义 ,又避免用极限来定义无理数的逻辑错误 .有了这些定义做基础 ,微积分中关于极限的基本定理的推导 ,才不会有理论上的循环 .导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来 ,免去任何与感性认识联系的性质 .几何概念是不能给出充分明白和精确表述的 ,这在微积分发展的漫长岁月中已经被证明 .因此 ,必要的严格性只有通过数的概念 ,并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到 .这里 ,戴德金的工作受到了崇高的评价 ,这是
20、因为 ,由“戴德金分割”定义的实数 ,是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物 . 实数的三大派理论本质上是给出了无理数的严格定义 ,从而建立了完备的实数域 .实数域的构造成功 ,使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平 ,无理数不再是“无理的数”了 ,古希腊人的算术连续统的设想 ,也终于在严格的科学意义下得以实现 (纪志刚 ,2003)2. 5 2 实数完 备性的基本定理 对数系有了认识之后 ,人们构建了完备的实数域 ,并系统严密地给出了实数域的定义 ,经过许多数学家和学者的探索研究 ,归结了六个实数完备性的基本定理 ,这六个基本定理以不同方式反映了实数集的一种特性 ,通常
21、称为实数的完备性或实数的连续性 . 2.1 确界原理 定理 1 设 S 为非空数集 .若 S 有上界 ,则 S 必有上确界；若 S 有下界 ,则 S 必有下确界 3. 证 不妨设 S 含有非负数 ,由于 S 有上界 ,故可找到非负整数 n ,使得 1) 对于任何 xS 有 1xn； 2) 存在 0aS ,使 0an . 对半开区间 , 1)nn 作 10等分 ,分点为 .1, . 2, , . 9n n n ,则存在 0,1,2, ,9中的一个数 1n ,使得 1) 对于任何 xS 有1 1. 10x n n； 2) 存在 1aS ,使 11.a n n . 再对半开区间111 . , . )
22、10n n n n 作 10等分 ,则存在 0,1,2, ,9中的一个数 2n ,使得 1) 对于任何 xS 有12 21. 10x n n n； 2) 存在 2aS ,使 2 1 2.a n nn . 继续不断地 10等分在前一步骤中所得到的半开 区间 ,可知对任何 1,2,k ,存在 0,1,2, ,9中的一个数 kn ,使得 1) 对于任何 xS 有12 1. 10k kx n n n n； (1) 2) 存在 kaS ,使 12.kka n n n n . 将上述步骤无限 地进行下去 ,得到实数 12. kn n n n .以下证明 supS .为此只需证明 : (i)对一切 xS 有
23、 x ； (ii)对任何 ,存在 aS 使 a . 倘若结论 (i)不成立 ,即存在 xS 使 x ,则可找到 x 的 k 位不足近似 kx ,使 6 12 1. 10k k k kx n n n n , 从而得 12 1. 10k kx n n n n, 但这与不等式 (1)相矛盾 .于是 (i)得证 . 现设 ,则存在 k 使 的 k 位不足近似 kk ,即 12. kkn n n n . 根据数 的构造 ,存在 aS 使 ka ,从而有 kka , 即得到 a .这就说明 (ii)成立 . 2.2 单调有界定理 定理 2 在实数系中 ,有界的单调数列必有极限 3 证 不妨设 na 为有上
24、界的递增数列 .由确界原理 ,数列 na 有上确界 ,记 sup naa .下面证明 a 就是 na 的极限 .事实上 ,任给 0 ,按上确界的定义 ,存在数列 na 中某一项 Na ,使得 Naa .又由 na 的递增性 ,当 nN 时有 Nna a a 另一方面 ,由于 a 是 na 的一个上界 ,故对一切 na 都有 na a a .所以当 nN 时有 na a a 这就证得 limnn aa .同理可证有下界的递减数列必有极限 ,且其极限即为它的下确界 . 2.3 区间套定理 定理 3 区间套定理 若 , nnab 是一个区间套 ,则在实数系中存在唯一的一点 , 使得 ,2,1, nba nn ,即 ,2,1, nba nn 3. (2) 证 na 为递增有界数列 ,依单调有界定理 ,na 有极限 ,且有 ,2,1, nan . (3)
