1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 数列、函数上下极限的性质及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 极限 是数学中的一个重要的基本概念，也是数学研究的一个重要 内容，极限思想在数学中也起着非常重要的作用。 上、下极限的概念是极限概 念的延伸，在极限概念中占有重要的位置。 本文首先介绍了数列、函数的上下极限的定义，并给出了几个等价定义的证明过程；然后介绍了数列、函数的上下极限的性质定理并给出了相应的证明过程；最后通过实例给出了数列、函数 上下极限的相关理论在证明数列和函数极限存在性等方面的应用。 关键词： 上极限；下极限；数列；函数
2、。 Applying and properties of upper and lower limits in sequences and functions Abstract: Limits is one of the most important basic mathematical concepts, is also an important tool of mathematical research. The concepts of upper and lower limits are the extension of the concept of limits, possesses t
3、he very important position in the concept of limits. This manuscript deals with the definitions of upper and lower limits in sequences and functions and the process of the proof for some equivalent definitions at first; secondly, we introduce the theorems on properties of upper and lower limits in s
4、equences and functions and also give the process of corresponding proof. At last, we present many examples to illustrate that the theory of upper and lower limits in sequences and functions play an important role on proving the existence of limits. Key words: upper limits ; lower limits ; sequence ;
5、 function . 目 录 1 引言 . 1 2 数列、函数的上、下极限的定义 . 3 2.1 数列的上、下极限的定义 . 3 2.1.1 数列的上、下极限的定义 . 3 2.1.2 数列的上、下极限的几个定义的等价性 . 4 2.2 函数的上、下极限的定义 . 5 2.2.1 函数的上、下极限的定义 . 5 2.2.2 函数的上、下极限的几个定义的等价性 . 6 3 数列、函数的上、下极限的性质 . 8 3.1 数列的上、下极限的性质 . 8 3.1.1 数列的上、下极限的性质 . 8 3.1.2 性质的证明 . 9 3.2 函数的上、下极限的性质 . 10 3.2.1 函数的上、下极限
6、的性质 . 10 3.2.2 性质的证明 . 12 4 数列、函数的上、下极限的应用 . 14 4.1 上、下极限性质的应用举例 . 14 4.2 上、下极限的应用在极限运算及证明中的作用 . 15 4.3 上、下极限来刻画数列收敛的充要条件 . 17 4.4 上、下极限概念在数列与级数论中的作用 . 18 5 结束语 . 20 致 谢 . 错误 !未定义书签。 主要 参考文献 . 21 1 1 引言 众所周知，极限理论是高等数学的基础，其地位的重要性毋庸多言。极限思想在数学中起着非常重要的作用。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的
7、数学分析著作中 ， 都是先介绍函数理论和极限的思想方法 ， 然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数 ， 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法 ， 也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学家拉夫伦捷夫曾说： “ 数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的 顽强探索的结果。 ” 极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。提到极限思想，就不得不提到由古希腊的著名哲学家芝诺提出的著名的阿基里斯悖论 一个困扰了
8、数学界十几个世纪的问题。无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著庄子记载着惠施的一句名言 “ 一尺之锤，日取其半，万事不竭。 ” 这更是从直观上体现了极限思想。我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的 “ 割圆术 ” 则是极限思想的一种基本应用。以上诸多内容可以上溯到 2000 多年前，都是极限思想萌芽阶段的一些表现，尽管在这一阶段人们没有明确提 出极限这一概念，但大致在16、 17 世纪真正意义上的极限得以产生。从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触。到 18 世纪时，罗宾斯、达
9、朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做出了定义。然而他们仍然没有摆脱对几何直观的依赖。 直至 19 世纪，维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义。在这一静态定义中， “ 无限 ”“ 接近 ” 等字眼消失了，取而代之的是数字及其大小关系。它的 “ N ” 定义远没有建立在运动和直观基础上的描述性定义易于理解 。 这也体现出了数学概念的抽象性，越抽象越远离原型，然而越能精确地反映原型的本质。 而上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数收敛性的判别法的重要作用，成为数学分析中重要的理论部分。已有文献就上下极限的定义及性质的相关理论的研究已经取得了较为丰富的
10、结果（详见文献 1-13）；其中文献 1-4给出了数列、函数上下极限的定义以及等价定义的证明，文献 5-9 给出了数列、函数上下极限的性质以及证明，文 献 10-13给出了 数列 、 函数上下极限的相关 理论在证明数列和函数极限存在性的 一些推广应用。从这些文献的研究可以看出正确地理解和认识数列、函数的上下极限，有利于更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的2 内部结构形态。 本文将在上述文献的基础上，进一步研究总结数列、函数的上下极限的定义、性质及相关理论和应用， 借以加深对数学分析、实变函数等所学课程内容的理解，培养自己的学习和研究数学的能力。 3 2 数列、函数的上、下极限的定义 2
11、.1 数列的上、下极限的定 义 2.1.1 数列的上、下极限的定义 对于收敛数列 nx ，如果粗略地把 limnn x作为“ n 充分大时， nx 大小”的量度。那么，对于一般数列 nx ，可以提这样的问题“当 n 充分大的时候， nx 能有多大（小）？这就是上、下极限概念的朴素思想。 本文对数列 nx 的聚点的概念，是在如下意义之上的：对任意数列 nx ，当 ij 时，则认为ix 和 jx 是有序集 nx 的不同元素，如果 0x 的任何邻域中都含有无穷多个 nnxx ，则称为 0x 为nx 的聚点。 定义 1 设数列 nx 的聚点组成的集合为 E ，则称11 lim supnnx x E 为
12、 nx 的上极限，且12 lim in fnnx x E 为 nx 的下极限。 不难知道， lim maxnn xE ， lim minnn xE 。 定义 2 设 nx 为 数列，称21 l i m i n f : s u p n n knx x x x x 为 nx 的上极限，且22 l im s u p : in f n n knx x x x x 为 nx 的 下 极 限 ， 例 如 sup nkx 或者inf nkx ，则 21x 或者 22x 。 定义 3 设 nx 为 数列，如果 nx 无上界，则称31 lim nnxx 为 nx 的上极限；如果nx 无下界，则称 32 lim
13、nnxx 为 nx 的下极限； 如果 nx 有界，当 nx 为常数列时，称1lim limnnn nx x x 分别为 nx 的上极限和下极限；当 nx 为非常数有界数列时，设(1)1 inf nnax ， (2)1 sup nnbx ，取 (1) (2)11bb ， (2) (1)11aa ，设 ( 1 ) ( 1 )1 1 1( ) / 2c a b ，( 2 ) ( 2 )2 1 1( ) / 2c a b ；如果 (1)11 , nx a c 是无穷集，则令 (1) (1)21aa ， (1)21bc ，否则令 (1)21ac ，(1) (1)21bb ；如果 (2)21 , nx c
14、 b 是无穷集，则令 (2)22ac ， (2) (2)21bb ，否则令 (2) (2)21aa ， (2)22bc ；再分别取 (1) (1)22 , ab 和 (2) (2)22 , ab的中点这样，得到两个闭区间套 (1) (1) , nnab 和 (2) (2) , nnab ，且 (1) (1)lim ( ) 0nnn ba ， ( 2 ) ( 2 )lim ( ) 0nnn ba ，对任意 n ， (1)( , na 和 (2) , )nb 中最多只有有限个4 nx ，称： ( 2 ) ( 2 )31 lim , n n nn n Nx x a b 为 nx 的上极限， (1 )
15、 (1 )32 lim , n n nnNnx x a b 为 nx 的下极限。 2.1.2 数列的上、下极限的几个定义的等价性 上节中的定义 1、定义 2、定义 3 是等价的。下面给出证明： 定义 与定义 2 等价 （ 1） 11 21xx 如果 11 21xx ，据21 l i m i n f : s u p n n knx x x x x 式 ， 存 在 0nN 使011 : s u p nkkNx x x x ，即011 sup nkkNxx 。因 11 supxE ， 故 存 在 eE 使0 0sup nkkNe x e。取 0ee ，则由于0 0nkxe （对任意 k ），此与 e
16、E 是聚点矛盾。所以必有 11 21xx 。 （ 2） 11 21xx 任取 0 ，设 21xx，因 _ : s u p nknN kNx x x x 。 即 对 任 意 nN ，_ : su p nkkNx x x x 。所以，对任意 nN ， sup nkkNxx 。易知，11in f s u p nknN kNx x x 。由 0 的任意性，可得 11 21xx 。 由（ 1）和（ 2）可得 11 21xx 。同理可得 12 22xx 。 2 定义 3 与定义 1 等价 不妨只在 31 32xx ，且 31x 和 32x 都有限的情况下来证明。 E 为定义 1 所设，显然， 31x E
17、。 任取 31xx ，由 (2) (2) , nnab 的构造特点可知存在 0nN ，当 0nn 时， _ (2) (2) , nnx a b ，且在0(2)1 , )nb 中最多只有有限个 nx ，所以 ， _xE ，由 lim maxnn xE ， lim minnn xE 式，31 maxxE ，即 31 11xx 。 同理可证， 32 12xx 。 5 2.2 函数的上、下极限的定义 2.2.1 函数的上、下极限的定义 设 I 是区间， 0xI ，函数 ()fx是对所有 xI ， 0xx 有定义的实值函数，为了方便只讨论在 0x 的某空心邻域有上（下）界的函数。 0，记： 00( ,
18、) : 0 | | V x x x x ； 0( ) s u p ( ) : ( , ) M f x x V x I ； 00 : , l im , l im ( ) n n n nnnA a x I x x x x f x a 且； 00 : , l i m , l i m ( ) n n n nnnB b x I x x x x f x b 且； 00 : , l i m , l i m ( ) n n n nn nC c x I x x x x f x c 且； 定义 4 数 in f ( ) : 0lM，称为函数 ()fx在 0x 的上极限，记作： 0lim ( )xxf x l ；
19、数 su p ( ) : 0lM，称为函数 ()fx在 0x 的下极限，记作： 0lim ( )xxf x l 。 定义 5 若数 l 满足： 0， （ 1） 0， 0( , )x V x ，有： ()f x l ； （ 2） 0， 0( , )x V x ，有： ()f x l ； 则称数 l 为函数 ()fx在 0x 的上极限，记作：0lim ( )xxf x l 。 若数 l 满足 ： 0， （ 1） 0， 0( , )x V x ，有： ()f x l ； （ 2） 0， 0( , )x V x ，有： ()f x l ； 则称数 l 为函数 ()fx在 0x 的下极限，记作：0lim
20、 ( )xxf x l 。 定义 6 数 suplA 称为函数 ()fx在 0x 的上极限，记作：0lim ( )xxf x l ； 数 inflA 称为函数 ()fx在 0x 的下极限，记作：0lim ( )xxf x l 。 6 定义 7 数 suplB 称为函数 ()fx在 0x 的上极限，记作：0lim ( )xxf x l ； 数 inflC 称为函数 ()fx在 0x 的下极限，记作：0lim ( )xxf x l 。 2.2.2 函数的上、下极限的几个定义的等价性 上节中的定义 4、定义 5、定义 6、定义 7 是等价的。下面给出证明： 定义 4 与定义 5 等价 （ 1）定义
21、4 定义 5，只须证明定义 4 之中的数 l 能使定义 5 中的条件（ 1,2） 成立即可。 用反证法：若定义 4 中的数 l 使条件（ 1）不成立，则 0 0， 0， 0( , )x V x ，有： 0()f x l 。 因此 ()Ml ，故 0in f ( ) : 0 M l l ，这与 in f ( ) : 0Ml相矛盾。 若定义 4 中的数 l 使条件（ 2）不成立，则 0， 00( , )x x V x 有： 0()f x l 。 从而 0()Ml ， 又 因 当 00 时 ， 有 0( ) ( )MM ，故：0in f ( ) : 0 M l l ，这也与 in f ( ) : 0
22、Ml相矛盾。因此定义 4 中数 l 可使定义2 中的条件（ 1， 2）成立。 （ 2） 定义 5 定义 4，只须证明定义 5 之中的数 in f ( ) : 0lM， ，由条件 (1)可知： 0 0， 0( , )x V x ，有： ()f x l ，从而 0()Ml 。 又因当 00 时，有： 0( ) ( )MM ，从而 0(0, ，有 ()Ml 。由条件（ 2）知： 0， 0( , )x V x ，有： ()f x l ；从而 ()Ml ，因此， 0(0, ，有：()l M l ；故： i n f ( ) : 0 l M l ；由 的 任 意 性 可 知 ：in f ( ) : 0Ml。 综上所述可知，定义 4 和定义 5 是等价的。 2 定义 5 与定义 6 等价 （ 1） 定义 5 定义 6，只须证明定义 5 中的 suplA 。 0，由条件（ 1）可知， 0， 0( , )x V x ，有： ()f x l ； aA ，则 nxI
