1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 凸集的 性质及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 本文首先介绍了凸集理论的研究背景和意义，然后给出了一般线性空间下凸集的定义及几个定义等价性的充要条件，探讨了凸集的 Minkowski 泛函的性质和一些几何性质，并给出了这些性质的详细证明， 同时利用凸集的性质和相关理论 证明了常微分方程初值问题解的存在性定理 除此之外，我们还结合一些实际问题的数学模型，探讨了凸集理论在数学规划问题上的应用 关键词 ： 凸集 ； 泛函分析；线性空间；常微分方程 The Properties and Applic
2、ations of Convex Sets Abstract: In this paper, we introduce the research rackground and meaning of convex set theory Meanwhile, we summarize the equivalent relations of several definitions for convex sets in the linear space, and discusses their minkowski functional and geometric properties, as well
3、 as the detail proof of these properties. Furthermore, by using the properties of convex set and correlation theory, we proof the existence theorem of solutions of initial value problem in ordinary differential equations. Besides, by combining some mathematical model of practical problem,we disscuss
4、 the applications of convex set theory in mathematical programming problem Keywords: convex set ； functional analysis ； linear space ； ordinary differential equation 目录 1 绪论 . 1 1 1 凸集的背景 . 1 1 2 凸集的意义 . 2 2 凸集的定义 . 4 2 1 凸集的一般定义 . 4 2 2 凸集定义的几个等价性充要条件 . 5 3 凸集的性质 . 7 3 1 一般线性空间下 Minkowski 泛函的性质 . 7
5、 3 2 线性赋范空间下的结论 . 8 3 3 凸集的一些几何性质 . 10 4 凸集理论的相关应用 . 12 4 1 Brouwer 与 Schauder 不动点定理 . 12 4 2 利用不动点定理证明常微分方程初 值问题解的存在性定理 . 14 4 3 凸集在平面几何中的应用 . 15 结束语 . 17 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 18 1 1 绪论 1 1 凸集的背景 凸集的产生与分析学有着密切的联系 .分析学包括微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分方程、变分法、泛函分析等数学分支，这些学科的总称也常常叫做数学分析，有时被用作是微积分的同义语 .可以说， 17
6、世纪到 19 世纪上半叶的数学史，几乎就是数学分析的历史 .17 世纪由牛顿和莱布尼茨创立的微积分，为数学的研究提供了强有力的工具 ，此后的大部分数学家的注意力，都被这有着无限发展前途的学科所吸引，开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了 .作为对一门新的数学分支的探索，伯努利家族的贡献尤为突出 .在 1691 年到 1692 年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性绳以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所成
7、形状的问题 .在解决这些问题的过程中，他们总结出了解微分方 程的变量分离法，还提出了著名的伯努利方程 ()( ) ( ) ndy P x Q x ydx . 到了 18 世纪，欧拉在前人的基础上做了大量的工作，从而使微分方程形成自身独特的理论体系 .之后法国数学家达朗贝尔将其方法加以整理，给出了求非其次线性微分方程的通解的一般方法；另一位法国数学家拉格朗日则又得出了通过变易常数求变系数常微分方程特解的方法，这些方法都是现今求微分方程的有效方法 .18 世纪后期不断出现的特殊的微分方程的求解问题，使数学家逐渐招架不住了，于是转向对解的存在性问题的思考，即给定一个微分方程，它在 给定的初始条件和边
8、界条件下是否有解？在这个过程中，许多著名的数学家、力学家开展了大量的研究工作，如柯西、利普西茨、皮卡、施图姆、刘维尔等人 .特别是法国数学家庞加莱使微分方程与函数论建立了密切的联系，从而产生了微分方程的解析理论 .虽然 18 世纪数学分析的发展已经达到空前灿烂的程度，然而数学家们在运用微积分方法的过程中并没能使无穷小这一概念的本质得到澄清，这就导致了微积分学理论缺乏严密的理论基础 .进入 19 世纪，捷克数学家波尔查诺、法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人为完善分析学的基础理论做出了卓越的贡献 . 凸性理论是数学的一个分支，随着数学规划，对策论，数理经济学和最优控制理论等学科发展的需要，
9、特别是在优化领域中发现了凸集的许多应用之后，凸集理论日益受到人们的 重视 .20 世纪 60年代以后发展迅速，凸集的概念通过不同的途径被推广，提出了吸收凸集、对称凸集、严格凸集、一致凸集、强凸集等概念 . 一般线性空间中的凸集概念是从平面凸集的特征性质中抽象出来的，而这个2 性质并不要求空间具有拓扑结构，所以这个概念可以扩充到一般的线性空间 .本文主要讨论的就是一般线性空间中的凸集 . 1 2 凸集的意义 凸集在近代数学中占有极重 要的地位，本文主要讨论的是一般线性空间中的凸集 .本文给出了凸集的几个等价命题和他们之间的推导，及凸集的有关性质和它在分析中的一些相关应用 . 凸集的产生与分析学有
10、着密切的联系，而数学分析理论的建立，极大地推动了数学的发展 . 利用 凸集的定义及其基本性质，能使一些过去较为复杂的平面几何问题 转化为比较容易简单的问题，从而 得到巧妙简捷的解决 一门科学的创立决不是某一个人的业绩， 它 必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的 凸集理论也是这样 直到二十世纪六十年代中期，由于数学规划 、对策论、数理经济学、变分学、最优控制理论等多方面的需要，诞生了一门新的数学分支 凸分析 .这一分支由于基本内容相当初等，而应用又十分广泛，因此许多结果很快就成为广大数学工作者手中的有力工具 .凸分析的基本研究对象是凸集和凸函数，基本
11、工具是凸集分离定理 .在很多数学问题的分析与 证明 中，我们都需要用到凸集 凸集有许多等价的定义和性质，这些定义和性质在分析学中有着广泛的应用不仅如此，在很多的科学领域中，凸集理论也能得到很好的应用 . 已有文献就 凸集 的定义及性质的相关理论的研究已经取得了较为丰富的结果（详见文献 1-10）； 其中文献 1-3给出了凸集的定义、性质，在此基础上介绍了它在一些方面的应用 ，文献 4 主要讨论了具有非空内部的紧凸集与其重心之间的关系，并进而给出了紧凸集的广义重心以及关于函数的重心与紧凸集的关系 ，文献 5 给出了一个闭集 nAE 是凸集的几个等价充分条件，并对结果进行了证明 ，文献 6 给出了
12、线性空间中凸集的六个等价形式，并在一定的约束条件下给出了凸集的两个充要条件 ，文献 7 讨论了线性拓扑空间中的凸集和它的端点集之间的关系，给出了局部凸空间一 个凸集为严格凸集的充要条件 ，文献 8 借助可分空间的共轭空间中有界闭球的弱星序列紧性，证明了在无穷维数列空间 l 中有限个闭球之并的凸包仍为闭集 ，文献 9 讨论了凸集的性质、凸集与李普希兹函数类、凸函数间的关系，给出了凸集在赋范线性空间、希尔伯特空间最佳逼近中的应用 ，文献 10介绍了凸集理论在平面几何中的一些应用 . 本文将在上述文献的基础上，进一步研究总结 凸集 的定义以及等价定义、性质以及应用 ， 借以加深对数学分析、 泛函分析
13、 函数等所学课程内容的理解，培养自己 的学习和研究数学的能力 . 按照传统的、经典的说法，数学是研究“现实世界的数量关系和空间形式”的科学，或者简略地说，是研究数和形的科学 .然而到了现代数学分析的时代，已经很难区分哪些属于数的范畴，哪些属于形的范畴 .凸集与凸函数有着很好的性质，我们考虑微分方程时，考虑的集值映射其像集一般情况3 下是紧凸集，因此弄清楚凸集的一些性质对我们分析问题很重要 .通过借助可分空间的共轭空间中有界闭球的弱星序列紧性，可以证明在无穷维数列空间 l 中有限个闭球之并的凸包仍为闭集 . 4 2 凸集的定义 2 1 凸集的一般定义 一般线性空间中的凸集概念是从平面凸集的特征性
14、质中抽象出来的 .这性质是：若 E 是一个平面凸集，则对于 E 中任意两点 x ,y ,联结这两点的线段也在 E 内，即 (1 )x y E （ , , 0 1x y E ） . 将这个概念扩充到一般线性空间后就是 定义 1 设 X 是线性空间， EX ，称 E 为一凸集，如果 (1 )x y E （ , , 0 1x y E ） . 由凸集的定义我们可以得到下面的命题： 命题 1 若 | E 是线性空间 X 中的一族凸集，则 E也是凸集 . 证明 对 ,x y E，有 ,x y E ，由于 | E 是线性空间 X 中的一族凸集，则根据定义 1， (1 )x y E , , 0 1 所以 (1
15、 )x y E , 01 从而由定义 1 知， E也是凸集 . 下面我们引进凸包和凸组合的概念 . 定义 2 设 X 是线性空间， AX .若 | E 为 X 中包含 A 的一切凸集，那么称 E为A 的凸包，并记作 ()coA .又对 12, , , , nn N x x x A ，若 0i ,1 1nii ，则称1niii x为12, , , nx x x 的凸组合 . 命题 2 设 X 是线性空间， AX ,那么 A 的凸包是 A 中元素任意凸组合的全体 .即 11( ) | 1 , 0 , , 1 , 2 , , , nni i i i iiic o A x x A i n n N （
16、1） 证明 令 S 表示（ 1）式的右端，则 kxA, 1,2, ,kn ，有 5 1nk i iix x S, 其中 0,1,i ikik 即 AS . 又 ,ab S，有1niiiax,1niiibx,其 中1 1nii ,1 1nii .则 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) n n ni i i i i i ii i ik a k b k x k x k k x . 而 1 1 1( 1 ) ( 1 ) 1 1n n ni i i ii i ik k k k k k 所以 S 是凸集 .从而 ()co A S . 反之，设 F 为包含 A 的任一凸集，那么 ixF ， 1,2
17、, ,in ,有1niii xF ,即得 SF .又()co A A ，且由命题 1 知 ()coA 为凸集，故 ()S co A .从而（ 1）式成立 . 2 2 凸集定义的几个等价性充要条件 命题 3 T 是线性空间 X 到线性空间 Y 的线性算子，且为单射，则 E 是 X 中凸集的充分必要条件是 : TE Tx x E为 Y 中的凸集 . 证明 必要性 ,x y TE, 0,1 ,则 11,x y E,使得 1x Tx , 1y Ty ,由 E 为凸集有11(1 )x y E ,又 T 为线性算子，则 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) x y T x T
18、y T x y T E 故 TE 为 Y 中的凸集 . 充分性 ,x y E， 0,1 ,则 ,TxTy TE ，令 (1 )xy ,由 TE 为 Y 中的凸集有 ( 1 ) ( 1 )T T x y T x T y T E , 又 T 为单射，故 (1 )x y E ，所以 E 为凸集 . 推论 1 E 是线性空间 X 中的凸集的充分必要条件是 ( , 0)kE k K k为凸集 . 证明 作线性空间 X 到 X 的映射 :,T x kx x X .则 T 是 X 到 X 的线性算子，且为单射，KE TE ，由命题 3 即得 . 6 命题 4 E 是线性空间一含有 的凸集的充分必要条件 是 ixE ， 0,1i ，1 1nii ，有1niii xE . 证明 充分性 ,x y E，取 1 0,1 ， 2 1 0,1 ，则 121，有 12(1 )x y x y E 故 E 是凸集 . 必要性 ixE ， 0 ,1( 1, 2 , , )i in ，当1 0nii 或 1 时，显然有1niii xE . 当101nii 时，记1nii，则1 1n ii ，由 E 为一含有 的凸集知，1n iiiy x E，从而11 ( 1 )nn ii i iiix x y y E .
