1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 一维波动方程 Cauchy 问题解的适定性 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 - 1 - 摘要： 在常微分方程课程里，我们已经认识到方程理论在刻画现实问题等方面的意义。但是，很多物理现象，如波的传播，热的传导等，却是 常微分方程无法刻画的。这就需要偏微分方程来描述。波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程。 对一维波动方程 Cauchy 问题解适定性的研究，对解决高维波动方程有重要意义。 本文主要是对一维波动方程 Cauchy 问题解的适定性进行一个综述，主要叙述用特征线法，Fourier 变换等研究一维波动方
2、程 Cauchy 问题解的适定性，并对一些具体的一维波动方程 Cauchy 问题进行求解。 关键词 ： 一维波动方程 Cauchy 问题；适定性；达朗贝尔公式；齐次化原理；特征线法 - 2 - The well-posedness of the solution for the Cauchy problem of the One-Dimensional Wave Equation Abstract:In the class of Ordinary Differential Equations,we have known the significance of the theory to equ
3、ations for depicting the realistic problems.But many Physical phenomena such as the Wave propagation , Heat conduction ,can not be depicted by Ordinary Differential Equations,which needs Partial differential equations to describe.The wave equation is an important hyperbolic Partial differential equa
4、tions.The research of the well-posedness of the solution of the Cauchy problem of the one-dimensional wave equation plays an important role in the research of the high-dimension wave equation. This paper is mainly to review the well-posedness of the solution for the Cauchy problem of the one-dimensi
5、onal wave equation,mainly using the method of characteristics and Fourier Transforms to research the well-posedness of the solution ,for which the Cauchy problem of the one-dimensional wave equation.In addition, to solve the solution for the Cauchy problem of the one-dimensional wave equation in exa
6、mples. Key words: Cauchy problem of the One-Dimensional wave equation ; the well-posedness ; DAlembert formula ; the homogeneous theorem ; the method of characteristics - 3 - 目录 1 序言 . 1 1.1 论文选题的背景、意义 . 1 1.2 相关研究的成果及动态 . 2 2 偏微分方程 . 4 2.1 什么是偏微分方程 . 4 2.2 偏微分方程的解 . 4 2.3 偏微分方程的阶 . 4 2.4 线性偏微分方程 .
7、4 3 一维波动方程 . 6 3.1 弦振动方程的导出 . 6 3.2 定解条件 . 6 4 一维波动方程 Cauchy 问题解的适定性 . 8 4.1 一维齐次波动方程的 Cauchy 问题 . 8 4.1.1 用特征线法求解一维齐次波动方程的 Cauchy 问题 . 8 4.1.2 利用 Fourier 变换求解一维齐次波动方程的 Cauchy 问题 . 9 4.2 一维齐次波动方程的 Cauchy 问题解的适定性 . 11 4.3 一维非齐次波动方程的 Cauchy 问题 . 12 4.3.1 利用齐次化原理求解一维非齐次波动方程的 Cauchy 问题 . 12 4.3.2 利用特征线法
8、求解一维非齐次波动方程的 Cauchy 问题 . 14 4.4 一维非齐次波动方程的 Cauchy 问题解的适定性 . 17 4.5 一维波动方程 Cauchy 问题广义解的结构 . 19 5 实例 . 20 总 结 . 22 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 23 1 1 序言 1.1 论文选题的背景、意义 在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；
9、物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。 应该指 出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小时的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。 偏微分方程的兴起已有两百多年的历史，由起初研究物理与几何的问题发展到一个独立的数学分支，它内容庞杂，方法多样。偏微分方程讨论的问题不仅来源于物理、力学、生物、
10、几何和化学等学科的古典问题，而且在解决这些问题时 应用了现代数学的许多工具。近几十年来，该领域的研究工作，特别是对非线性方程的理论、应用以及计算方法的研究，十分活跃。偏微分方程作为大学的一门基础课，无论是对数学专业还是非数学专业的理工科学生都十分重要，他的任务是建立模型，寻求求解方法，进行理论分析，从而达到解释物理现象的目的。 偏微分方程有很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。 波动方程 或称波方程是一种重要的 偏微分方程 ,它通常表述所有种类的波，例如 声波 ，光波 和水波。它出现在不同领域，例如 声学 ,电磁学 和 流体力学 。波动方程的变种可以在 量子
11、力学 和 广义相对论 中见到 。 早在 18世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法。随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性 1 。 在数学物理方程的学习及教学中，波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程。对一维波动方程Cauchy问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。 2 1.2 相关研究的成果及动态 达朗贝尔、欧拉、伯
12、努利、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、傅里叶等人的工作为这一学科分支奠定了基础。他们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础 2 。 十九世纪，偏微分方程发展的序幕是 由法国数学家傅里叶拉开的，他于 1822年发表的热的解析理论是数学史上的经典文献之一。傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。在对物体的物理性状作出一定的限制后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程 222 22 2 2T T T Tkx y z t 其中 k 是一个参数，其值依赖于物体的质料。事实上，傅里叶的主要思想早
13、在 1807年他提交巴黎科学院的一篇关于热传导的论文中就出现了 2 。 十九世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家。位势方程也称拉普拉斯方程： 2222 2 2 0VVVV x y z 拉普拉斯曾采用球面调和函数法解这个方程，不过他得到一个错误的结论，认为这个方程当被吸引的点（ x,y,z）位于物体内部时也成立。这个错误由泊松加以更正。拉普拉斯和泊松的方法都只适用于特殊的几何体，格林则认识到函数 V 的重要性，并赋予它“位势”的名称，与函数的级数方法相反，称为奇异点方法。他在 1828年私人印刷出 版的小册子关于数学分
14、析应用于电磁学理论的一篇论文中，建立了许多推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中以格林公式 ( ) ( )VUU V V U d v U V dnn （ n 为物体表面指向外部的法向， dv 是体积元， d 是面积元）和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远 3 。 对 18、 19世纪建立起来类型众 多的微分方程，数学家们求显示解的努力往往归于失败，这种情况促使他们转而证明解的存在性。最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西。他指出：在求显示解无效的场合常常可以证明解的存在性。他在 19世纪 20年代对形如 ( , )y f x y 的常微分方程给出了第一个存在性
15、定理，这方面的工作被德国数学家李普希茨、法国数学家刘维尔和皮卡等3 追随。柯西也是讨论偏微分方程解的存在性的第一人，他在 1848年的一系列论文中论述了如何将在任意阶数大于 1的偏微分方程化为偏微分方程组，然后讨论了偏微分方 程组解的存在性并提出了证明存在性的强函数方法。柯西的工作后来被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅独立地发展为包括拟线性方程和高阶组在内非常一般的形式。有关偏微分方程解的存在唯一性定理在现代文献中就称为“柯西 -柯瓦列夫斯卡娅定理” 4 。 总之 ,偏微分方程是一门历史悠久学科 ,在它的发展过程中，具有紧密联系实际的特点。生产和科学技术的不断发展，不仅丰富和更新了偏微分方程的研究内
16、容，而且随着问题的解决，也产生了许多新的数学方法，从而发展了偏微 分方程的理论，同时，也促进了偏微分方程与数学的许多分支及自然科学各部门之间的联系 5 。 4 2 偏微分方程 2.1 什么是偏微分方程 所谓偏微分方程，是指关于多元函数 ( , ,.)ux y 及其偏导数的关系式 ( , , . . . , , , , . . . , , , , . . . ) 0x y x x x y y yF x y u u u u u u （ 2.1） 其中 F 是自变量 x,y, ,未知函数 u 及 u 的有限多个偏导数的已知函数。例如关系式 ( , ) ( , ) ( , ) ,xya x y u b
17、 x y u f x y （ 2.2） 2 2 2( 1) 1,xyu u u （ 2.3） 0,xx yy zzu u u （ 2.4） 22(1 ) 2 (1 ) 0 ,y x x x y x y x y yu u u u u u u （ 2.5） 3 0,tt xxu u u （ 2.6） 0,t x xxxu uu u （ 2.7） 等都是偏微分方程 5 。 2.2 偏微分方程的解 如果给定一个函数 ( , ,.)u x y ，将它及它对自变量的各阶偏导数代入方程（ 2.1），能使（ 2.1）成为恒等式，则称函数 是偏微分方程（ 2.1）的解 5 。 例 1 求偏微分方程 0uy （
18、2.8） 的通解。 解 关于 y 积分方程（ 2.8），可得其通解为 ()ux ，其中 是 x 的任意连续可微函数 5 。 2.3 偏微分方程的阶 在偏微分方程的研究中，“阶”是一个非常基本的概念，所谓偏微分方程的阶，就是方程中实际所含未知函数的偏导数中的最高阶数，如上例中方程（ 2.2）、（ 2.3）是一阶偏微分方程，（ 2.4）、（ 2.5）和（ 2.6） 是二阶偏微分方程，（ 2.7）是三阶偏微分方程 5 。 2.4 线性偏微分方程 如果方程关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的，则称它为线性偏微分方程。例如方程5 （ 2.2） 和 （ 2.4） 都 是线性偏微分方程。在线性偏微分方程中，
19、不含有 u 及它的偏导数的项称为自由项；当自由项为零时，称方程为齐次方程，如 （ 2.4） ；否则就称为非齐次方程，如方程 （ 2.2） 。 一般的线性齐次偏微分方程可写为 0uL ， （ 2.9） 线性非齐次偏微分方程可写为 12( , , ., ),nu f x x xL （ 2.10） 其中 L 是 u 的某一偏微分线性算子，例如 2 2 2 222 2 2 2122 2 222 2 2122 2 22 2 212( . . ) ,( . . ) ,. . ,nnnat x x xat x x xx x x LLL等等。所谓线性算子，是指对任意的函数 u， v 及常数 c，总有 ) )
20、) , ) ) .u v u v u c u L ( L ( L ( L (c L ( （ 2.11） 由方程（ 2.11），我们可以得关于线性方程的如下 叠加原理 。 定理 1 5 若 12, ,., mu u u 是线性齐次方程（ 2.9）的解，则 1 1 2 2 . mmu c u c u c u 也是（ 2.9）的解；若 12, ,., mu u u 是线性非齐次方程（ 2.10）的解，则 1 1 2 2 . nnu c u c u c u 是如下线性非齐次方程 1niiu f c L的解，其中 12, ,., nc c c 是任意常数。 6 3 一维波动方程 3.1 弦振动方程的导出
21、 给定一根两端固定拉紧的均匀柔软的细弦，其长为 l，当弦作微小横振动时，求弦上各点的运动规律。 将实际问题归结为数学模型时，要作一定理想化假设： 1) 假设弦可以视为一根曲线，其线密度 为常数； 2) 弦的位置始终在一直线段附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线方向作微小振动； 3) 弦上各质点 间的张力与弦的切线方向一致，且弦的形变与张力服从胡克定律。 求解此物理问题（具体求解过程见 1）得 1） 当弦不受外力作用时，弦振动方程是 222uuatx （ 3.1） 式 (3.1)称为齐次一维波动方程。 2） 当弦受外力作用时，弦振动方程是 222 ( , )uua f x ttx (3.2
22、) 其中 ( , )( , ) F x tf x t表示单位质量在 x 点处所受的外力， ( , )Fxt 为力密度。式 （ 3.2） 称为非齐次一维波动方程。 3.2 定解条件 一根弦线的特定的振动状况，还依赖于初始时刻的弦线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响。因此为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外还必 须写出它适合的初始条件和边界条件。 下面给出初始条件及边界条件的概念。 初始条件 即必须给出弦上各点在初始时刻 t=0 的位移和速度： ( , 0 ) ( ) ( 0 )( , 0 ) ( ) ( 0 )tu x x x lu x x x l （ 3.3） 这里 ( ), ( )xx为已知函数。
