1、 毕业论文 开题报告 数学与应用数学 不等式证明的教学研究 一、选题的背景、意义 不等式的理论很早就被 Gauss, Cauchy等人关注并研究过，但是不等式作为一门系统的学科出现始于 1934年， Hardy, Littlewood和 G.Polya合作出版不等式（ Inequalities）之后。在此之前不等式只是出现于数学家们研究领域中所使用的引理，证明及研究得到的副成果而已。直到 Hardy等人对不等式做了系统的研究和总结之后，不等式才真正成为了一门系统学科。 20世纪数学已经确认数学不等式的力量上升到巨大 的新结果和问题以及产生的新领域的数学。对不等式研究所得到的一些成果被广泛运用到
2、其他领域中去，比如经济学，游戏理论，数学规划，控制理论，变分理论，运筹学，概率统计等。由此可以看出不等式的有用性，研究不等式的重要性。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 不等式是数学中被广泛运用的工具， 在很多数学问题的分析与解答中 ,我们都需要用到不等式 ， 然而要想能够在问题中运用一些不等式的定理或推论，我们首先要证明所用不等式的可行性，尤其是在数学教学中 。 因此对一些不等式的证明深入的讨论就显得很重要，也具有一定的教育意义。首先在 这给出一些常见的不等式，以及比较常用到的几个定理，同时给出其中一部分不等式的证明。 Cauchy（柯西）不等式 设有两组实数 12, ,. n 和 12
3、, ,. n ，则有 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( . . . ) ( . . . ) ( . . . )n n n n 或写成 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )n n ni i i ii i i 。 当且仅当 ( 1, 2 , ., )iik i n 时等号成立。 推论 2 2 221 2 1 2. . . . . .() nnnn 当 且仅当 12. n 时，等号成立。 Jensen 不等式 1 如果 ()fx为连续实值凸函数，且 12 1. . . , 1 , 0 , 1 , 2 , . . . ,nn i iix x x i n ， 则有 11(
4、 ) ( )nni i i iiif x f x。 注 1：经典的 Jensen 不等式 2 ：设 :f R R 是凸函数， u 是 , ab 上的可积函数，则 11( ( ) ) ( ( ) )bbaaf u t d t f u t d tb a b a 几何与算术平均 不等式： 1121 2 1 2. ( . . . ) , ( , , . . . , 0 )n nnnx x x x x x x x xn 贝努利 不等式 3 ：设 2n ，实数 12, ,., nx x x 都 大于 -1，并且它们都有着相同的符号，则成立 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 ) 1
5、. . .nnx x x x x x ； 特别地，当 12 . 1nx x x ，且 0x ，成立 (1 ) 1 , ( 1 , 0 )nx n x x x 。 Young 不等式 3 ：设 111, 1, 1pqpq ，则对任意 ,0ab ，成立 pqababpq ，其中等号成立的充要条件是 pqab 。 证 当 0ab ，不等式显然成立；设 ,0ab ，注意到当 0,0 1ym 时，有1 ( 1)my m y ，等号成立当且仅当 1y 。设 ,0AB ，令 Ay B ，代入上式，且同乘以 0B ；得 1 ()mmA B m A B ，即得 1 ( 1 )mmA B m A m B ； 在
6、上 式 中 取1 1, ,pqm A a B bp ，于是得到 pqabab pq 。 Young 逆不等式 3 ：设 110 1, 1ppq ，此时 0( 1)pq p ，则对0, 0xy，成立 pqxyxypq，等号成立当且仅当 pqxy 。 证 注意到当 0, 1ym时，有 1 ( 1)my m y ，等号成立当且仅当 1y 。设,0AB ，令 Ay B ，代入上式，且同乘以 0B ；得 1 ()mmA B B m A B ，即得1 (1 )mmA B m A m B ；在上式中取 1 1, ,pqm A x B yp ，于是得到 pqxyxypq。 注 2 ： 带 的 Young 不等
7、式 2 ：设 , , 0; , 1a b p q 且满足 111pq，则qppqab a bpq 1 1 = ( ) ( ) qppqppba b a a bpq 伯努利不等式 对 10x ，（ i）若 1r 或 0r ，则 (1 ) 1rx rx 。 （ ii）若 01r，则 (1 ) 1rx rx 。 Cauchy-schwarz 不等式 4 ：设 ( ), ( )f x g x 均在 ,ab 上可积，则有以下不等式2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x ，并且当存 在一组不全为零的数 12,kk使得12( )
8、( ) 0k f x k g x时等号成立。 证 利用变上限的积分函数构造辅助函数，令2 2 2( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t d t f t d t g t d t 则显然有 ( ) 0Fa ，所要求证明的 Cauchy-schwarz 不等式也即要证明 ( ) 0 ( )F b F a ，从而可以转化为证明 ()Fx在 , ab 上为单调不增的函数即可。 由于 ( ), ( )f x g x 在区间 , ab 上均连续，所以由变上限的积分函数的性质可以知道 ()Fx在区 间 , ab 上可导，并且可以由求导法则计算得到 2 2 2
9、2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f x g x f t g t d t g x f t d t f x g t d t 2 2 2 2( ) ( 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )xaF x f x g x f t g t g x f t f x g t d t 2( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )xaF x f x g t g x f t d t 所以当 , x ab 时， ( ) 0Fx 。故 ()Fx在 , ab 上单调非增，从而 ( ) 0 ( )F b F a 。
10、2、几个定理的表述 拉格朗日中值定理 如果函数 ()y f x 在闭区间 , ab 上连续， 在开区间 (, )ab 内可导，那么在 (, )ab 内至少有一点 c ，使 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a b a f c （这个定理的特殊情形称罗尔定理）。 推论 ： 1、 ( ) ( ) ( ) ( ) ,f b f a f b a a b 2、 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) , 0 1f b f a f a b a 3、 ( ) ( ) ( ) , 0 1f a h f a f a h h 。 柯西中值定理 7 设 (),fx ()Fx 都在区间 ,ab 上连续，在 (
11、,)ab 内 可导且( ) 0Fx ，则存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fF b F a F 成立。 泰勒定理 （ 1）函数 ()fx在闭区间 , ab 上存在直到 n 阶连续导数。 （ 2） ()fx在开区间 (, )ab 内存在 ()fx的 1n 阶导数， 则对任何( , )x ab ，至少存在一点 ( , )ab ，使得( ) ( 1 )21( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( )2 ! ! ( 1 ) !nn nnf a f a ff x f a f a x a x a x a x
12、 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 研究方法： 阅读了一些有关中学数学、大学数学的不等式证明这方面的文献资料和教育理论资料，本文整理出了一些平时学习中比较常见、常用的不等式的表述，同时也列举了一些不等式的证明，不等式的应用的例题以及不等式在教学中的教育价值。 技术路线： 通过查阅资料，分析、总结有关不等 式证明以及不等式应用，不等式的教育价值等方面的文献，并在此基础上进行总结及其归纳。然后就不等式的几点应用进行实践证明其可行性。 研究难点： 1、 要想证明不等式，可以通过构造出辅助函数，运用函数的一些性质，达到简化证明 的过程，还可以运用已知的不等式去证明需求的不等式。而怎样
13、去找到合适的辅助函数与不等式是一个难点。 2、 在教学方面，运用不等式解题可以使问题简单化处理，而难点在于如何能在教学过 程中培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题的能力。 预期达到的目标： 不等式证明以及应用是数学教学中的一个非常最重要的一部分 。许多数学问题都需要借助不等式来解决。通过对一些不等式进行证明来了解其某些性质，从而可以运用来解决新的一些问题，还可以从中归纳出一些可行的方法来完善学生对不等式的理解，培养学生的创新精神和能力。 四、论文详细工作进度和安排 1.论文选题，查阅文献，收集信息，对材料进行加工整理，形成系统材料。（大四上半学期结束 寒假期间） 2.收集、整理、分析材料，
14、写出论文开题报告及文献综述。（开学第一周 第二周） 3.对外文资料进行整理、分析，翻译外文二篇，写出论文大纲。（开学第三周 第六周）4.再仔细研读、分析文献 、资料，写出初稿。（开学第七周 第八周） 5.根据导师意见，对论文进行反复修改。（开学第九周 第十一周） 6.对论文进行深入研究，弥补不足之处，最后定稿，并写出一篇 800 1000 字的论文摘要，准备好答辩。（开学第十二周 第十三周） 五、主要参考文献： 1崔小兵：概率论中不同条件下的 Jensen 不等式及应用，南阳师范学院学报， 2010，（ 09） 2江南：关于 Young 不等式的证明及其应用，连云港师范高等专科学校学报， 20
15、06，（ 12） 3刑家省：贝努力不等式的应用，河南科报， 2008，（ 02） 4陈思源：关于 Cauchy-schwarz 不等式的推广与应用，宜春学院学报（自然科学）， 2006，（ 08） 5柴云：高等数学中微积分证明不等式的探讨，现代商贸工业， 2009 6杨曲：浅谈常见不等式的证明，科教文汇（理工教研）， 2008，（ 12） 7马德炎：常见的代数不等式的证明，高等数学研究， 2006 8黄冬梅：关于不等式证明的若干方法的探究，内江师范学院学报， 2009 9毛巨根：证明不等式的一种巧妙方法 构造辅助函数法，绍兴文理学院学报， 2009，（ 09） 10任文龙 ：高观点下的初等数学不等式，甘肃联合大学学报（自然科学版） 2008，（ 05） 11龚谊承：基于变限积分函数的 Cauchy-schwards 不等式的证明，河池学院学报， 2010，（ 04） 12李军庄： Cauchy 不等式的教育价值，商洛学院学报， 2010，（ 08） 13张继宏：浅谈柯西不等式在中学数学教学中的应用，内蒙古教育学院学报， 1998，（ 12） 14杨红梅：试论柯西不等式的应用，山西广播电视大学学报， 2008（ 03） 15郝建华 .凸函数的性质 及其在不等式证明中的应用 J,山西经济管理干部学院学报 ,2003,(04) 16 Mathematical Inequalities
