1、 本科 毕业 论文 （ 20 届） 中值定理的分析性质研究 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要 ： 中值 定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论 ，是 反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要 的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用 本文主要讨论 拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及积分第一中值定理中值点处的单调性、连续性、可导性等分析性质并给出相应的充分条件，完善中值定理的分析性质 关键词 ： 分析性质 ；单调性；连续性；可导性 - 3 - The Analysis Properties
2、 of MeanValue Theorem Abstract: Mean-value theorem is mathematical analysis and even the entire the higher mathematics the important theory, which is a reflection of the function and derivative connections between important theorem, also is the theoretical basis of calculus, in many ways it has impo
3、rtant role in some formulas and theorem proving there are many applications. This article focuses on the Lagrange mean value theorem, Cauchy Mean Value Theorem and the First Integral Mean Value Theorem in the value point, monotonicity, continuity, differentiability and so analysis of the nature of d
4、erivative， and give some sufficient conditions to improve the analysis of the nature of the mean value theorem. Key words: analysis properties; monotonicity; continuity; differentiability - 4 - 目 录 1 引言 1 2 微分中值定理中间点的 分析性质 2 2.1 拉格朗日中值定理中间点的分析性质 2 2.1.1 拉格朗日中值定理中间点的单调性 2 2.1.2 拉格朗日中值定理中间点的连续性与可导性 4
5、2.2 Cauchy 中值定理中间点的分析性质 5 2.2.1 Cauchy 中值定理中间点的连续性与可导性 5 2.2.2 Cauchy 中值定理中间点的单调性 6 3 积分第一中值定理中间点的分析性质 7 3.1 积分第一中值定理中间点的单调性 7 3.2 积分第一中值定理中间点的连续性 8 3.3 积分第一中值定理中间点的可导性 8 4 结束语 10 5 致谢 11 6 参考文献 12 - 1 - 1 引言 人们对中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，它首先是法国著名的数学家费马于 1637 年给出了费马定理，有的教材中把它作为中值定理，有的则当作中值定理引理 1691年，法国数学家
6、罗尔在方程的解法中给出了多项式形式的罗尔定理；拉格朗日定理是由法国数学家拉格朗日于 1797 年在解析函数论一文中给出的，并给出初步证明；对微分中值定理进行系统研究是法国数学家 柯西，他首先赋以中值定理重要的作用，使其成为微分学的核心定理，并给出了广义的中值定理 柯西定理 (1)费马定理：费马应用“虚拟等式法”解出关于极大值与极小值的问题，从而得出原始形式的费马定理因为当时微积分还处于初创阶段，费马给出的结论其断论不严格现在见到费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新创造的 (2) 罗尔定理：罗尔当时提出这个结论，主要是针对多项式函数，现在所看到的罗尔定理则适用一般函数，而且证明方法也
7、与罗尔的有所不同罗尔是利用纯代数方法加以证明的，后人则是以微 分理论证明的罗尔定理这个名字是由德罗比什在 1834 年给出的罗尔在方程的解法论著中给出了“多项式公式的两个相邻实根中，方程公式至少有一根”的论断正好是定理的一个特例，这也是此定理成为罗尔定理的原因 (3)拉格朗日定理：该定理是微分中值定理中最主要定理历史上对拉格朗日定理的证明有三种，最初的证明由拉格朗日在解析函数论中给出从这个定理条件和结论可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一种特殊情况正因为如此，可以借助罗尔定理，证明拉格朗日定理，这种现代的证明方法是由法国数学家 O. 博内给出的 (4)柯 西定理：对于定理中的函数 g ，当 ()g
8、x x 时，柯西定理就是拉格朗日定理所以柯西定理可以看做是拉格朗日定理的推广，关于该定理的证明方法也与拉格朗日定理证明方法类似 以下是有关定理的几个基本概念 罗尔中值定理 如果函数 ()fx在闭区间 , ab 上连续，在 (, )ab 内可导，且在区间 端点处函数值相等，即 ( ) ( )f a f b ,那么至少存在一点 使得 ( ) 0f ( ( , )ab 柯西中值定理 如果函数 ()fx , ()gx 在区间 ,ab 上连续，在 (,)ab 内可导，且( , )x ab ，有 ( ) 0gx ，则在 (, )ab 内至少存在一点 ，使得： - 2 - ( ) ( ) ( )( ) (
9、) ( )f a f b fg a g b g ，如果去掉条件 ( , )x ab 有 ( ) 0gx 则得到如下结论： 推论：如果函数 ()fx, ()gx在闭区间 , ab 上连续，在 (, )ab 内可导，则在 (, )ab 内至少存在一点 ，使 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )f b f a g g b g a f 证明：令 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )F x f b f a g x g b g a f x ，由条知函数 ()Fx在区间 , ab 上连续，在 (, )ab 内可导， ( ) ( ) ( ) ( )
10、( ) ( )F a f b g a g b f a F b，由此根据罗尔定理，在 (, )ab内至少存在一点 ，使得 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) 0F f b f a g g b g a f ， 即有： ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )f b f a g g b g a f 拉格朗日中值定理 如果函数 ()fx在在区间 , ab 上连续，在 (, )ab 内可导，那么在(, )ab 内至少存在一点 ，使得 ( ) ( )() f b f afx ba 2 微分中值定理中间点的分析性质 2.1 拉格朗日中值定理的单调性、
11、连续性、可导性等分析性质 在一元函数微分学中，拉格朗日中值定理是核 心，因此对 Lagrange中值点的研究就成了一项重要内容 设函数 ()fx在 , ab 上满足 Lagrange中值定理 的条件，对于任意 ( , x ab ，则当 a 固定时，满足式 ( ) ( )( ) f x f af xa （ 2 1） 的“中间点” 随 x 而变化，并且具有下述性质 2.1.1 拉格朗日中值定理的单调性 定理 1 设函数 ()fx在闭区间 , ab 上连续，在开区间 (, )ab 内可导，且 ()fx在 (, )ab 内严格单调，则 （ 1）满足 (2 1)式的 点 是 x 的单值函数 (简称函数
12、)，记 ()x ； （ 2）满足 (2 1)式的点 ()x 是 x 的单调增加的函数 - 3 - 证明 由已知条件 ()fx的单调性易证结论（ 1） .结论（ 2）的证明如下： 不妨设 ()fx在 (, )ab 内单调增加（若 ()fx为单调减少类似可证），对于任意12, ( , )x x a b 且 12xx ，有 2 2 2( ) ( ) ( ( ) ) ( )f x f a f x x a ， 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ) ( )f x f a f x x a ， 2 1 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )f
13、x f x f x f x x a f x x x . 又因为 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x , 故 2 2 1 2 1 1 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )f f x x x f x f x x a ， 其中 1 2 1 1 2 2 1 2, ( ) , ( ) ,x x a x x a x x a x x b . 因为 ()fx单调增加，所以 1( ) ( ( )f f x ，则 222 1 1 2 22 1 1 1 2 2 ( ) ( ( ) ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )(
14、 ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )f f x x af x x f x a f x x af x x f x x a f x x a 而 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x x f x f x ， 1 1 1( ( ) ) ( ) ( ) ( )f x x a f x f a ， 2 2 2( ( ) ) ( ) ( ) ( )f x x a f x f a ， 所以 22 ( ) ( ( ) ) ( ) 0f f x x a ， 2 ( ) ( ( ) 0f f x， 21( ( ) ( ( ) 0f x f x. - 4 - 由 ()fx得单调性增
15、加性可知， 21( ) ( )xx . 2.1.2 拉格朗日中值定理的连续性与可导性 定理 2 设函数 ()fx在闭医间 , ab 上连续，在开区间 (, )ab 内可导，又设 ()fx在 (, )ab内具有二阶连续导数且 ()fx在 (, )ab 内保号 (恒正或恒负 )，则 (1) 满足 (2 1)式的点 ()x 是 x 的连续函数； (2) 满足 (2 1)式的点 ()x 是 x 的可导函数，其导数为 ( ) ( ( )( ) ( ) “ ( ( )f x f xx x a f x 证明 先证结论（ 1），由条件可得 ( ) ( )( ( ) f x f afx xa ， ( ) ( )
16、( ( ) ) f x h f af x h x h a ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )x a f x h f a h f x f af x h f x x h a x a . 由定理 1 知 ()x 为 x 的单调函数 .当 0h ，有 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) f x h f x f x h x ， 其中 介于 ()xh 与 ()x 之间，从而有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( )x a f x h f x h f x f ax h x f x h a a
17、 ， ( 0)h . 故 ()x 在 (, )ab 内连续 . 证明 （ 2） 0 ( ) ( )( ) limh x h xx h 0( ) ( )( ) ( ) ( ) l i m ( ) ( ) ( )hf x h f xx a f x f ahf x h a x a 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) )x a f x f x f a f x f xf x x a x a f x . - 5 - 2.2 柯西中值定理的单调性、连续性、可导性等分析性质 下面给出了 Cauchy中值定理 “中间点” 的渐近性态 ,设 ()ft
18、 ， ()gt 在 , ax 上连续，在 (, ax 内可导，且 () 0gt ，则在 (, )ax 内至少存在一点 ， 使 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f a fg x g a g （ 2.2） 其中 “中间点” 随 x 而变化，并且具有下述性质 2.2.1 Cauchy中值定理中间点的连续性与可导性 定理 3 设函数 ()fx 和 ()gx 是 , ab 上 二 阶 连 续 可 导 ， 且 ( ) 0gx ，( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 在 (, )ab 内保号 (恒正或恒负 )，则 (1)满足 (2 2)式的“中间点” ()x 是
19、x 的单值连续函数； (2)满足 (2 2)式的“中间点” ()x 是 x 的可导函数，其导数为 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) f x g x f x g xx x a f x g x f x g x ()x （ 2.3） 证明 记 ( )()( )fxx gx ， a x b，于是 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) f x g x f x g xx gx . 由已知条件知 ()x 是 x 的单调函数，从而得知满足（ 2.2） 式的“中间点” ()x 为 x 的单值函数 . ( ) (
20、 ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x x f a f x f ag x x g a g x g a ( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )f x x f xg x x g x 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )( ( ) )f g f g x x xg ( 0)x ， 其中 介于 ()x 与 ()xx 之间 .当 0x时，显然有0lim ( ( ) ( ) ) 0x x x x ，- 6 - 即结论（ 1）得证 . 此外 0 ( ) ( )( ) li mx x x xx x 20( ( ) )l im( ) ( ) ( ) (
21、) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xgf g f gf x x f a g x g a f x f a g x x g ax g x x g a g x g a 22 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) g x f x g x g a g x f x f ag x g a f x g x f x g x ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ( ) )( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )
22、 ( ( ) ) f x g x g x f xx a f x g x f x g x 结论（ 2）得证 . 2.2.2 Cauchy中值定理中间点的单调性 定理 4 Cauchy中值函数 ()x ， ()x 在 , ab 上单调增加 . 证明：我们仅证明函数 ()x 的单调性，同理可证函数 ()x 的单调性 . 对任意 12, ( , x x a b 且 12xx ， 记 1111( ) ( ) ( )( ) , ( , ) ( ) ( ) ( )f x f a fD x a xg x g a g ， 2222( ) ( ) ( )( ) , ( , ) ( ) ( ) ( )f x f a fD x a xg x g a g . 下面证明，对任意 11()Dx ，存在 22()Dx ，有 12 . 因为 2 2 1 10 12 1 101( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f x f x f x f af fg x g x g x g agg 其中 0 1 2 1 1( , ), ( )x x D x. 所以 22( ) ( )( ) ( )f x f ag x g a 介于 00( )( )fg 与 11( )( )fg 之间，故存在 2 1 0 2 , ( , )ax ，使
