1、 1 毕业论文 开题报告 数学与应用数学 二项式定理及其应用 一、选题的背景、意义 二项式定理是初等数学中的一个重要定理 ,其形成过程是组合知识的应用 ,同时也是进一步学习概率统计的准备知识 ,在高等数学中更是许多重要公式的共同基础。 而二项式定理以及它的各种推广形式在初等数学和概率统计中都有重要的理论和应用价值。 提及二项式定理就不得不说杨辉三角， 中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。北宋人贾宪约 1050年首先使用 “ 贾宪三角 ” 进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在详解九章算法（ 1961年）
2、记载并保存了 “ 贾宪三角 ” ，故称杨辉三角。 杨辉三角在我国古代大多是用来作为开方的工具。直到现在，我们在代数学中学到的开平方的方法，仍然是从杨辉三角中得来的。可见，杨辉三角与二项式定理之间有着不同寻常的关系。文献 1就从杨辉三角出发，对与杨辉三角有关的基本理论进行了系统的论述与证明。经过多年的发展，人们还发现杨辉三角中数学奇偶性存在着某种特殊的关系，例如文献 2作者就以杨辉三角的行和列为单位，对杨辉三角中的素数和同余式进行了研究。 而 在 西方， 1665年，刚好 22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。 虽然当时无法给出 二项式定理的 证明，但可以肯定 二
3、项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。 随着社会的发展，二项式定理被人们最为广泛的应用于组合原理当中。组合原理又称组合数学或组合论。它所研究的中心问题是根据一定的规则来安排某些事物的有关数学问题，但组合原理中的许多问题都是数学中的精华。组合原理的应用也涉及到自然科学和社会科学的许多领域。例如，它在计算机科学、编码理论、通信网络、电子工程、实验 设计、交通运输、社会经济学、管理科学等领域中都有着广泛的使用价值，特别是在计算机科学中有着重要的应用。这不仅因为它是这门学科的重要基础，更为主要的原因是计算机科学的核心是算法的研究，而组合算法是算法的重要组成部分。由此可见，对
4、二项式定理的进一步研究和推广，拥有它无可替代的现实意义。 2 而近些年的研究主要集中在二项式定理的系数恒等式上，如文献 3中，作者在著名数学家陈景润研究结果的基础上，对自然数幂方和二项系数表示的系数公式作了进一步的推广，利用行列式和二项系数的性质，得到了自然数幂方和由二项系数表示的系数公 式和由排列数表示的系数公式。文献 4利用了几个微分型算子，找出其对应的正则基序列，然后研讨多项式型、二项式定理型的组合恒等式组，得到一批新结果。它推广了二项式定理。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 1、 本文研究的基本内容 : （一）总结并归纳二项式定理的各种证明方法，以及对其相关系数恒等式的证明。 二
5、项式定理：当 n 是一个正整数时，对任何 a 和 b ，有0() nn k n n knka b C a b （ 1） 式（ 1）右边的式子称为 ()nab 的二项式展开式，系数 knC 常称为二项式系数。为了方便，我们把 ()nab 的展开式的第 1k 项 (0 )kn 记为 1kT ，则有 1 k n k kknT C a b ，这个式子叫做二项式的通项公式。文献 1中给出了数学归纳法来证明此定理，而文献 5则利用了初等数学中构造递推方程的方法，给出了二项式定理的新证法。 恒等式的组合证明赋予了恒等式一定的组合意义，组合证明最常用的方法是分别用两种不同的方法对恒等式的两端进行计算。在文献
6、6和 7中，作者主要讨论了利用分析学，子空间集合和格路模型方法来证明组合恒等式。笔者研究的内容即把文献中所给出的证明方法，进行统一的归纳和整理。 （二）整理并归纳 二项式定理的各种推广形式。 从二项定理到多 项式定理的推广。多项式定理：设 n 和 k 为正整数，则有 12121 2 3 1 212() , , , kknnnnkkn n n n knx x x x x x xn n n ， 其中12 12!, , , ! ! !k kn nn n n n n n 并称其为多项式系数。 最主要的推广集中在系数恒等式上。例如，文献 8就讨论了二项式型多项式的性质和与 Bell 多项式的关系及其应用
7、，给出了一个二项式型多项式的递推公式，推广了现有文献3 的结果，得到了一些组会恒等式。为日后的组合序列的研究起到了积极的作用。 （三）总结二项式定理的应用。 在初等数学当中，对二项式定理的运用，主要涉及二项式定理的直接 应用、二项式定理的通项的应用和二项式系数的性质的应用三个方面。例如文献 910中所罗列的问题：今天是星期一，再过 20042 天是星期几？求 5(0.997) 的近似值等等。这些问题在日常的生活和学习中有比较现实的意义，也因此使得二项式定理在初等数学当中被广泛运用。 二项式定理是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数字分支中都可见其踪影。引入微分算子
8、后，微积分的牛顿 -莱布尼兹公式可以用二项式定理 来表述等。二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，则可能 导致无法预测的结果。在求复数方幂的过程中，如果直接用二项式定理计算，则会使计算量增大且容易出错，因此才出现了复数计算的狄莫弗定理，对于二次根式和初等超越数方幂的计算，同样也会面临此尴尬，所以需要另辟蹊径。从另一个角度，形象地说就是“从二项式到二项式”来重新审视二项式定理，给出了数环中一类数的 n 次幂计算的递推公式法。有鉴于此，费尔马小定理是初等数论中的一个著名定理，虽然它的证明方法各异，但其共同的特点是不够直观，需要很多背景知识作基础。文献 11从二项式定理的推广形式 -多
9、项式定理入手，给出费尔马小定理的一个更加初等的证明。 2、拟解决的主要问题： 通过对现有文献的整理和归纳，对二项式定理的各种证明方法、相关系数恒等式的证明、二项式定理的各种推广形式和二项式定理的应用这三个方面进行完整的综述。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1、 研究的方法与技术路线： 先采用文献研究法，搜集和阅读大量的相关文献，了解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。再通过对文献中的主要研究结果进行分析和总结。如文献 12中利用二 项式定理推导勾股数组公式和三角函数的倍角公式，可以看出数学各分支之间的丰富联系。这对我们研究数学要开阔思路、纵横联系、简化优化
10、有作很好的启迪和示范作用。 2、 研究的主要难点 : 4 由于搜索文献资料的方法和途径有限，无法对所有相关的文献进行有效的整理和归纳，因此如何在利用有限资源的基础上，对此课题进行尽可能完整的论述成为了研究的主要难点。 3、 预期达到的目标： 通过本课题的研究， 系统地学习用二项式定理去解决初等数学和高等数学中相关的问题，提高对数学知识联系性的同时，也提高自身的数学素养。并使读者能通过这篇文章 ，对二项式定理有通盘的认识。 四、论文详细工作进度和安排 第七学期第 9 周第 11 周：收集与二项式定理相关的各种文献资料，进行分类加工整理。查找相关的外文文献； 第七学期第 12 周第 13 周：针对
11、课题收集资料，阅读相关文献，对重要文献进行研读。并完成外文翻译； 第七学期第 14 周第 17 周：在大量阅读文献资料基础上，归纳总结，形成文献综述初稿，供指导老师审阅，并开始撰写开题报告； 第七学期第 18 周：完成网上确认；上传外文翻译，文献综述、开题报告； 第八学期第 1 周第 3 周：全面开展课题研究，按照研究方案和路 线撰写论文提纲。在与导师充分交流研讨后，开始撰写论文初稿，并完成论文初稿； 第八学期第 4 周第 10 周：对论文进行修改。继续完善论文初稿，完成研究任务； 第八学期第 11 周第 12 周 : 对论文进行修改完善，定稿； 第八学期第 13 周第 14 周 : 做好毕业
12、论文答辩准备事项，进行答辩。 五、主要参考文献： 1 华罗庚 .从杨辉三角谈起 M.北京 :科学出版社， 2002:6-21. 2 盛志荣 .杨辉三角与素数的关系 J.湖南理工学院学报 (自然科学版 ).2009,22(4):6-9. 3 孟凡申 ,朱益 民 ,徐礼卡 .自然数幂方和二项系数表示的系数公式 J.梧州学院学报 .2008,18(3):4-8. 4 李亚兰 .微分型算子与二项式定理的推广 J. 渭南师范学院学报 ,2009,24(5):3-5. 5 5 张世新 ,张先迪 .组合原理及其应用 M.北京 :国防工业出版社， 2006:15-24. 6 柳丽红 .证明组合恒等式的方法与技
13、巧 J.内蒙古电大学刊 .2006(10):86-87. 7 常海廷 ,陈美娟 .浅谈二项式系数恒等式的几种证明方法 J.科技信息 .2009(1):5. 8 谭明术 .关于二项式型多项式的注记 J.西南民族大学学报自然科学版，2010,36(1):6-11. 9 张文娣 .二项式定理及其应用 J.甘肃联合大学学报 (自然科学版 ） ,2004,18(4):90-91. 10 方厚良 ,罗灿 . 二项式定理的应用 J. 数学通讯 , 2004,(07):19-20. 11 邓勇 .基于二项 式定理应用的探究 J.大庆师范学院学报 .2008,28(5):71-73. 12 张伟 .利用二项式定理推导勾股数组公式和倍角公式 J.重庆教育学院学报 .2008,21(3):137-138. 13 Tucker,Alan . Applied CombinatoricsM . 4ED . New York: JohnWiley & Sons, 2002: 53-68. 14 Gould, H. W. Combinatorial IdentitiesM . Morgant own,W. Va 1972.
