1、 毕业论文 开题报告 数学与应用数学 关于拓扑空间连通性的研究 一、选题的背景、意义 一般拓扑学从 19 世纪成为一个独立的科学分支至今已经历了一百多年的发展历史虽然它的独立与发展相对于其他一些古老的数学学科如分析学、代数学，欧氏几何学和数论要晚了许多，但经过一百多年，特别是 20 世纪 40 年代到 70 年代的蓬勃发展，一般拓扑学已日趋成熟与完善。 从序结构出发，我们可构造若干有趣的拓扑空间，很典型的就是 L-拓扑空间，并应用序论的技巧和成果对这些空间的拓扑性进行研究，获得拓扑学中有普遍意义的成果。 格上拓扑学将拓扑结构 、序结构融为一体，它有两个比较成熟的研究分支： Local 理论和
2、L 一拓扑学 L0cal 理论的特点是无点式的，其论证常常是构造性的而不是诉诸于选择公里，具有很浓的构造性色彩 L-拓扑空间的研究从 1968 年 C L Chang2提出Fuzzy 拓扑空间概念的第一篇论文算起，至今已有 30 多年在这 30 多年中，它的研究已从初始的模仿性研究逐渐走上了创新的道路，层次结构的特点使它具有了不同于一般拓扑学的特点、风格，与完备格代数结构的紧密联系又赋予了它以新的生命力 在 L-拓扑学发展的初期，一部分学者沿用无点式方法，也 曾获得过许多漂亮而有创造性的结果，其中以 C K Wong3的局部化及 B button4， 5一致化研究尤为突出但是，由于其研究工作不
3、涉及点，不可避免的会有许多局限性如对局部性质的讨论、对Moore-Smith 收敛理论的建立以及嵌入理论的研究等都难以展开 事实上，在 XL 中自然存在一种“点”，即所谓的 fuzzy 点因此在 L-拓扑 学发展的初期，许多学者都力图沿着有点式方向工作，他们沿用一般拓扑学中的 邻域方法来研究 L-拓扑，但在相当长的时间内无大的进 展 1977 年刘应明院士 在分析了 C K Wong 的 Fuzzy 点及其邻域系理论的弊端以后，修改了 Fuzzy 点及其对一个Fuzzy 集的从属关系，首次打破传统的属于关系和邻域方法，引入了“重于”这一新的 Fuzzy点和 Fuzzy 集之间的从属关系，这样的
4、“重于”关系满足一条基本原则一择一原则，相应地，引入了“重域“的概念，从而为 L-拓扑学的点式处理打开了大门随后王国俊教授引入了。远域”的概念，沿着这一方向，有点式 L-拓扑学的研究取得了很大进展，获得了丰富多彩的成果到目前为止， L-拓扑学已成为较为成熟且完整的学科 (国内外也已有这方面的多部著作 )。 而 L-fuzzy 拓扑学是当前格上拓扑学颇为活跃的新分支。该项目创造性地使用连续格理论来研究 L-fuzzy 拓扑学的紧性和度量化等诸多重要性质 ,并取得重要进展。其主要成果如下： (1)建立了一种比较完整的 L-fuzzy 拓扑空间的良紧理论。研究了相应的 L-fuzzy Hausdor
5、ff 良紧空间的拓扑结构，证明这一重要空间的 L-fuzzy 集的 N-紧性等价于上半连续性等重要定理，改进了刘应明院士和罗懋康教授关于 fuzzy 紧化的主要结果，使之适用于更广泛的 fuzzy Hausdorff 紧化。 (2)对美国学者 Erceg 引入的 fuzzy 度量进行了大幅度的简化，并给出与此等价的点式定义，其满足的条件既与分明度量的有关条件相对应，又能在完全分配格上实现。更重要的是在此基础上，建立了相应的 p.q.度量分子格理论。 (3)该项目还对格值诱导空间的可数性、 fuzzy 函数空间的拓扑结构等诸多亟待解决的问题进行了讨论，并取得了一系列深入的结果。 二、研究的基本内
6、容与拟解决的主要问题 本文研究的基本内容为 ： (一 )、 引言 ，主要包括课题研究的背景、研究意义等。 (二 )、 拓扑学的基础知识的叙述，包括“拓扑性质 ”， “拓扑变换” ，分离性、可数性、紧致性和连通性。 (三 )、 拓扑空间的 连通性的定理及其证明过程 (四 )、 L-拓扑空间的 连通性的应用 通过论述拓扑空间的各种连通性及相互关系，分析连通性对拓扑空间的影响，讨论拓扑空间连通性与紧性、可数性、分离性之间的联系等问题。最后对近期关于连通性方面的文献做简单的归纳与讨论。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 （ 一 ） 、 先采用文献研究法，搜集和 阅读大量的相关文献，了
7、解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。 （ 二 ）、 研究的主要难点 ，如何理解 L-拓扑空间的 连通性 （ 三 ） 、 预期达到的目标， 通过本课题的研究， 能够大致了解 “拓扑性质”， “拓扑变换” ，分离性、可数性、紧致性和连通性， L-拓扑空间的 连通性 。 四、论文详细工作进度和安排） （一） 第七学期第 9-10 周： 确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对 其进行加工整理，形成系统材料；确定外文翻译资料； （二） 第七学期第 11-12 周： 仔细研读，分析资料，完成外文翻译； （三） 第七学期第 13-17 周： 认真阅读文献资料，
8、加以归纳总结，完成文献综述及开题报告； （四） 第七学期第 18 周： 并完成网上确认； （五） 寒假期间： 完成论文初稿 ； （六） 第八学期第 1-3 周： 修改论文初稿，并确定进入实习阶段； （七） 第八学期第 4-10 周： 进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改。 （八） 第八学期第 11 周： 完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告； （九） 第八学期第 12-14 周： 对论文进一步修改，并定稿； （十） 第八学期第 15-16 周： 准备并完成毕业答辩。 五、主要参考文献： 1Rysard Engelking General topologyM Warszawa， 1977 2
9、Chang CL Fuzzy topologicalspaceJ Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1968， 24(1)： 182-190 3Wong C K Fuzzy point and local properties of fuzzy topologyJ Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1974， 46(2)： 316-328 4Hutton Bruce Normality in fuzzy topological 印 KesJ Journal o
10、f Mathe-matical Analysis and Applications， 1975， 50(1)： 74-79 5Hutton Bruce UniformitiesOn fuzzy topological spaceJ Journal of Mathe-matical Analysis and Applications， 1977， 58(3)： 559-571 6Pu baoming， Liu yingming Fuzzy topological neighborhood structure offuzzy Point and Moore-Smith convergenceJ J
11、ournal of Mathematical Analysis and Applications，1980， 75： 571 599 7刘应明 FUzzy 集论中邻属关系的分析 J数学年刊， 1984， A： 461 466 8Hohle U， Rodabaugh(Eds )S E Mathematics of Fuzzy Sets： Logic， Topologyand Measure TheoryM The Handboods of Fuzzy Sets Seriesq London： Kluwer Academic Publishers，1999， 13 9Liu yiIlgming，
12、Luo Maokang Fuzzy topologyM Singapore： Worm Scientific Publication， 1998 10王国俊 L fuzzy 拓扑空间论 M西安：陕西师范大学出版社， 1988 11王国俊拓扑分子格理论 M西安：陕西师范大学出版社， 1990 12杨海龙 .L 一拓扑空间的局部仿紧性及 -连通性 D.陕西师范大学， 2006 13尤承业 .基础拓扑学讲义 M.北京大学出版社， 2002 14熊金城点集拓扑讲义 (第三版 ) M 北京：高等教育出版社， 2003 15Luo Maokang Paracompactness in fuzzy topological spacesJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1988， 130(1)： 55 77 16梁基华，蒋继光 .拓扑学基础 M.高等教育出版社， 2005.
