1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 几类可化为伯努力方程求解的一阶微分方程 一、选题的背景、意义 数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易的建立这些变量和它们的导数间的关系式，这个关系式就是常 微分方程。 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用， 例如： 自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定 性的研究等。这些问题都可 化为求常微分 解 的问题 。 这就使得研究微分方程的求解仍是具有实际意义的
2、。对微分方程求解已经有许多种方法 1,2，特别是王高雄等人对一类如下 Bernoulli方程给出了求解的方法： ndy P x y Q x ydx ， （ 1） 这里 Px、 Qx为 x 的 连续函数， n 是常数且 0,1n 。 然而 ,在日常实际生活中 ,已经发现的能用初等解法求解的微分方程是很有限的，例如形式上很简单的黎卡提方程就没有一般的初等解法。但是在数学理论上，黎卡提方程在已知特解的情况下可以转化为 Bernoulli 方程求解。这就使得继续研究可以转化为 Bernoulli 方程求解的相关微分方程有一定的理论意义，另外，很多实际问题的微分方程模型往往是比（ 1）形式更为复杂的 B
3、ernoulli 方程。所以将更多形式下的微分方 程转化为 Bernoulli 方程来求解的研究是一项重要的工作。同时，对这一课题的研究，不但可以加深我们对数学分析、常微分方程等所学课程内容的理解，而且能帮助我们深刻掌握其理论的应用，更好地培养我们的创新思维。 二、相关研究的最新成果及动态 由于日常生活的实际问题往往可以归结为求微分方程解的数学问题，这就使得研究微分方程的求解是研究微分方程的主要内容之一。 对于具有广泛应用背景的 Bernoulli 方程的求解一直是人们十分关心的课题，有关该问题的求解已经有了许多研究成果 3。本文的目的1 就是找出几类可化为 Bernoulli 方程求解的一阶
4、微分方程的求解方法，结合用解 Bernoulli方程的方法解出这些一阶微分方程。再把结果应用到日常实际生活当中去，如 自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性等领域。 虽然 已有 文献 4-15研究获得了 可以 转化为 Bernoulli 方程来求解常微分方程的类型，但由于微分方程没有一般的求解方法，比如下列微分方程就不能直接由已有文献的求解方法来解决。 32dy P x y Q x y R x y e xdx （ 2） 4 3 2dy P x y Q x y R x y W x y e xdx （ 3） 5 4 3 2dy P x y Q
5、x y R x y W x y h x y e xdx （ 4） 6 5 4 3 2dy P x y Q x y R x y W x y h x y e x y f xdx (5) 其中 Px、 Qx、 Rx、 Wx、 hx、 ex、 fx都为 x 的连续函数。 因此，探求新的方法来解决这几类方程的求解就是我毕业论文课题的主要内容，希望通过自己的努力得出一定的结论，并获得一些创新性的结果。 三、课题的研究内容及拟采取的研究方法、技 术路线及研究难点，预期达到的目标 课题的主要研究内容是探求将一阶微分方程（ 2）、（ 3）、（ 4）和（ 5）转化为 Bernoulli方程求解的方法。研究方法和技
6、术路线主要是通过在收集整理已有文献的结论的基础上，充分运用大学本科阶段所学的数学分析，常微分方程等相关课程的理论知识，探求突破寻求出新的方法来解决上面几类可转化为 Bernoulli 方程来求解的一阶微分方程。 预期的研究目标是要求学生提高阅读中文特别是是外文文献的能力，具备较强的数学基础与常微分方程方面的理论知识和较强的应用知识的能力 , 推广并改进已 有文献中的相应结果，得出新的求解方法。在论文的撰写过程中，应虚心接受指导教师的指导，积极与课题相近的同学展开有益的讨论，按时，按量独立的完成自己的毕业设计工作，真正使得自己应用已学知识分析解决问题的能力得到较大的提高。 2 四、论文详细工作进
7、度和安排 （一） 第七学期第 9-10 周：确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料；确定外文翻译资料； （二） 第七学期第 11-12 周：仔细研读，分析资料，完成外文翻译； （三） 第七学期第 13-17 周：认真阅读文献资料 ，加以归纳总结，完成文献综述及开题报告； （四） 第七学期第 18 周：并完成网上确认； （五） 寒假期间：完成论文初稿； （六） 第八学期第 1-3 周：修改论文初稿，并确定进入实习阶段； （七） 第八学期第 4-10 周：进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改。 （八） 第八学期第 11 周：完成毕业实习
8、返校，并递交毕业实习报告； （九） 第八学期第 12-14 周：对论文进一步修改，并定稿； （十） 第八学期第 15-16 周：准备并完成毕业答辩。 五、主要参考文献 1 江磊 ,几类应用变量代换求解的常微分方程 J.成都 :纺织高等专科学报 ,2005:3-4. 2 王高雄 ,常微分方程 M.北京 :高等教育出版社 ,1982:32-36. 3 汤光宋 ,一阶方程的求解公式 J.湖北 :沙洋师范高等专科学校学报 ,2004:6-8. 4 贺建勋 ,王志成 .常微分方程 (上册 )M.长沙 :湖南科学技术出版社 ,1979:128-129. 5 魏俊杰 ,潘家齐 ,蒋达清 .常微分方程 M.北
9、京 :高等教育出版社 ,2002:105-107. 6 王伟 ,一阶线性微分方程与贝努力方程的解法 J.焦作大学学报 ,1994:11-15. 7 刘志伟 , Bernoulli 方程的新解法 J.广西梧州师专学校学报 ,2000:75-77. 8 胡劲松 , 用“积分因子”求解 Bernoulli 方程 J.四川理工学院学报 ,2005:45-48. 9 朱熹平 ,常微分方程 M.北京 :人民教育出版社 ,1978:13-15. 10 冯变英 ,试论 Bernoulli 方程的几种解法 J.太原师范学院学报 ,2003:22-24. 3 11 李鸿祥 ,一阶常微分方程的求解 M.北京 :高等
10、教育出版社 ,1983:96-98. 12Conti ,R.Limitazioni in ampiezza delle soluzioni di un sistema di equazioni e applicazioni(I),Boll.Un.Mat.Ital.,(3) 11 (1956):344 349. 13Tom .M .A .Postol ,Mathematical AnalusisMinChina: Machine Press Beijing ,2003,56-58. 14徐士河 ,一类简单黎卡体方程的求解 M.湖南科学出版社 ,2000:74-78. 15 Bellman, R., 微分方程解的稳定性理论 M.北京 :科学出版社 ,1958:59-62.
