1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 Cauchy 不等式的等价形式及其应用 一、 前言部分 （说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点） 柯西不等式在不同的数学领域有不同的形式和应用。特别是在应用柯西不等式解决某些问题时能起到简便直观的作用。 对任意两组实数 naaa , 21 ； nbbb , 21 ；有 ni ini ini ii baba 121221当且仅当 ia与 nibi ,.2,1 对应成比例，即nnii baba 时等号成立。（nnii baba 的意义如下：在nbbb , 21 不全为零时，若 0ib ，则对应的 0ia ；在 01 nbb 时， na
2、a ,1 可取任意实数。）这个不等式称柯西（ Cauchy）不等式 1 。 柯西不 等式 （ Cauchy Inequality） 定理 ：设 naaa ,., 21 和 nbbb ,., 21 是任意实数， 则 ni ini ini ii baba 1 21 221 ，当且仅当 ii kab （ k 为常数， ni ,.,2,1 ）时取等号。由于所设条件是一切实数，没有其他条件限制，运用范围较广 2 。 柯西不等式在不同的数学领域的形式和 内容不同，但却具有内在的联系。在初等数学中的柯西不等式就称为柯西不等式；在微积分中的柯西不等式称为柯西 许瓦兹不等式，它是以积分的形式给出的；在概率论中的
3、柯西不等式也称为柯西 许瓦兹不等式，它是以随机变量的数字特征形式给出的；在线性代数中的柯西不等式称为柯西 布涅雅柯斯基不等式，它是用内积形式给出的。 Cauchy 不等式的形式 76543 1、 在初等数学中， 任意 , , 1, 2 , ., ,iia b R i n 有 .121221 ni ini ini ii baba当且仅当存在不全为零的常 数 21,kk 使 nibkak ii ,.,2,1,021 时，等式成立。 2、 在积分学中， 任意 , baCxgxf 有 dxxgdxxfdxxgxf bababa 222。当且仅当存在不全为零的常数 21,kk 使 021 xgkxfk
4、时，等式成立。 3、 在高等代数的 n 维欧式空间中， 任意 向量 ., 当且仅当存在不全为零的常数 21,kk 使 021 kk 时，等式成立。 4、 在概率论中， 任意 ,.vr ，若 22 , 存在，则有 .222 当且仅当存在不全为零的常数 21,kk 使 1021 kk 时，等式成立。 二、主题部分 （阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述） 柯西（ Cauchy, Augustin-Louis, 1789 1857)，法国数学家， 8 月 21 日生于巴黎，他的父亲路易 弗朗索瓦 柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯
5、西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。 他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了 789 篇论文和几本书，以分析教程（ 1821 年）和关于定积分理论的报告（ 1827 年）最为著名。不过并不是他所有的创作质量都很高， 因此他还曾被人批评 “ 高产而轻率 ” ，这点倒是与数学王子相反。据说，法国科学院会刊创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因
6、而只得投稿到其它地方 8 。 柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分常识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在 他学好文科前不要学数学。 柯西于 1802 年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于 1805 年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学； 1807 年考入桥梁公路学校， 1810 年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。 柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学，后来还
7、陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他进行了多面体的研究，并于 1811 及 1812年向科学院提交了两篇论文，其中主要成果是： (1)证明了凸正多面体只有五种 (面数分别是 4， 6， 8， 12， 20)，星形正多面体只有四种 (面数是 12 的三种，面数是 20 的一种 )。 (2)得到了欧拉关于多面体的顶点、面和棱的个数关系式的另一证明并加以推广。 (3)证明了各面固定的多面体必然是固定的，从此可导出从未证明过的欧几里得的一个定理。 这两篇论文在数学界造成了极大的影响。柯西在瑟堡由于工作劳累
8、生病，于 1812 年回到巴黎他的父母家中休养。 柯西于 1813 年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工 程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。这一时期他的主要贡献是： (1)研究代换理论，发表了代换理论和群论在历史上的基本论文。 (2)证明了费马关于多角形数的猜测，即任何正整数是个角形数的和。这一猜测当时已提出了一百多年，经过许多数学家研究，都没有能够解决。以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的。 (3)用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。 (4)研究液体表面波的传播问题，得到流体力学中的一些经典结果，于 1815 年得法国科学院数学大奖。
9、 以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声 誉，他成为当时一位国际上著名的青年数学家。 1815 年法国拿破仑失败，波旁王朝复辟，路易十八当上了法王。柯西于 1816 年先后被任命为法国科学院院士和综合工科学校教授。 1821 年又被任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰西学院授课。这一时期他的主要贡献是： (1)在综合工科学校讲授分析课程，建立了微积分的基础极限理论，还阐明了极限理论。在此以前，微积分和级数的概念是模糊不清的。由于柯西的讲法与传统方式不同，当时学校师生对他提出了许多非议。 柯西在这一时期出版的著作有代数分析教程、无穷小分析教程概要和微积 分在几何中应用教程。这些工作为微积分奠定了基
10、础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。 (2)柯西在担任巴黎大学力学教授后，重新研究连续介质力学。在 1822 年的一篇论文中，他建立了弹性理论的基础。 (3)继续研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。 他的大量论文分别在法国科学院论文集和他自己编写的期刊 “ 数学习题 ” 上发表。 1830 年法国爆发了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十仓皇逃走，奥尔良公爵路易 菲力浦继任法王。当时规定在法国担任公职必须宣誓对新法王效忠，由于柯西属于拥 护波旁王朝的正统派，他拒绝宣誓效忠，并自行离开法国。他先到瑞士，后于 1832 1833 年任意大利都灵大学数学物理教
11、授，并参加当地科学院的学术活动。那时他研究了复变函数的级数展开和微分方程 (强级数法 )，并为此作出重要贡献。 1833 1838 年柯西先在布拉格、后在戈尔兹担任波旁王朝 “ 王储 ” 波尔多公爵的教师，最后被授予 “ 男爵 ” 封号。在此期间，他的研究工作进行得较少。 1838 年柯西回到巴黎。由于他没有宣誓对法王效忠，只能参加科学院的学术活动，不能担任教学工作。他在创办不久的法国科学院报告 “ 和他自己编写的期刊分析 及数学物理习题 ” 上发表了关于复变函数、天体力学、弹性力学等方面的大批重要论文。 1848 年法国又爆发了革命，路易 菲力浦倒台，重新建立了共和国，废除了公职人员对法王效
12、忠的宣誓。柯西于 1848 年担任了巴黎大学数理天文学教授，重新进行他在法国高等学校中断了 18 年的教学工作。 1852 年拿破仑第三发动政变，法国从共和国变成了帝国，恢复了公职人员对新政权的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大学辞职。后来拿破仑第三特准免除他和 物理学家阿拉果的忠诚宣誓。于是柯西得以继续进行所担任的教学工作，直到 1857 年他在巴黎近郊逝世时为止。柯西直到逝世前仍不断参加学术活动，不断发表科学论文。 1857 年 5 月 23 日他突然去世，享年 68 岁，他因为热病去世，临终前，他还与巴黎大主教在说话，他说的最後一句话是： 人总是要死的，但是，他们的功绩永存 柯西不等式是由大数学
13、家柯西 (Cauchy)在研究数学分析中的 “ 流数 ” 问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 求最大值 例 9 设实数 yx,
14、满足 623 22 yx ，求 yxp 2 的最大值。 分析：构造两组数： ,2,3;21,32 yx用这两组数代入柯西不等式 解： 22222222132232213322 yxyxyxp 2222 23611232134 yxyx 因为 ,11623 22 pyx 其 中 等 号 当 且 仅 当 .22,323 kykx 且623 22 yx 时成立， 解得116k时， 11113,11114 yx yxp 2 取最大值 11 。 证明相关命题 例 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 已知点 00,P yx 及直线 00: 22 BACByAxl 设点 p 是直线 l 上的任意一点， 则
15、 0 CBxAx (1) 21021021 yyxxpp (2) 点 21pp 两点间的距离 21pp 就是点 p 到直线 l 的距离，求（ 2）式有最小值，有 101021021022 yyBxxAyyxxBA CByAxCByAx 1100 由（ 1）（ 2）得： CByAxppBA 002122 即 220021 BA CByAxpp (3) 当且仅当 ABxxyy 1010 :lpp 21 式取等号 即点到直线的距离公式 即 220021 BA CByAxpp 在不等式方面的应用 10 。 例：已知正数 cba, 满足 1 cba ，求证3100111222 ccbbaa证明：由柯西不
16、等式，可得， 2222222 111111111111 ccbbaaccbbaa由于 1 cba ， 所所 以以 2222 111131111 cbaccbbaa又由于 cba, 都是正数，且 9133111 33 a b ca b ccbacba，所以 31 0 09131111 2222 ccbbaa 在等式方面的应用 11 。 例：已知 ba, 且 baba 1c o ss in 44 证明 .1c o ss in33838baba 证明： 由已知条件有 1coss in 44 baba （ 2） 当且仅当bbaa 22 cossin 时等号成立。即 22 cossin ba （ 3）
17、由（ 2）和（ 3）式解得 ba bba a 22 c o s,s in 所以 .111c o ss i n343433838baba bbba aaba 解三角形的相关问题 12 。 例：设 p 是 ABC 内的一点， zyx , 是 p 到三边 cba, 的距离， R 是 ABC 外接圆的半径，证明 22222 cbaRzyx 证明：由柯西不等式得， cbaczbyaxcaxbaxaaxzyx 111111 记 S 为 ABC 的面积，则 Ra b cRa b cSczbyax 2422 22221212 cbaRczbyaxRabc cabcabRabccyx 故不等式成立。 用柯西不等
18、式解释样本线性相关系数 1413 。 在概率论与数理统计一书中，在线性回归中，有样本相关系数 niniiiniiiyyxxyyxxr1 1221 ，并指出 1r 且 r 越接近于 1，相关程度越大， r 越接近于 0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 现记， yybxxa iiii , ，则， niniiiniiibabar1 1221 ，由柯西不等式有， 1r ，当 1r时， nini iini ii baba 1 12221，此时， )( 为常数kkabxx yy iiii 。 点 niyx ii 2,1, 均在直线 xxkyy 上， 当 1r 时， nini ii
19、ni ii baba 1 12221，即 01 12221 nini iini ii baba， 而 211 12221 nji ijjinini iini ii babababa， 为常数kkabbabababa iiijjinji ijii ,001 2 。 此时， )( 为常数kkabxx yy iiii 。 点 ii yx, 均在直线 xxkyy 附近，所以 r 越接近于 1，相关程度越大 当 0r 时， ii ba, 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数 k ，使得点 ii yx, 都在直线 xxkyy 附近。所以， r 越接近于 0，则相关程度越小。 三、总结部分 （将全文主题进
20、行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测） 本课题讨论柯西不等式之间的一些等价 形式及其在数学中不同形式的推证 . 目的是通过此课题的研究对柯西不等式的各种形式有一个全面的认识并加以应用 1）柯西不等式的学习，能够增强学生自主探究数学问题的能力，掌握研究数学问题的立足点和基本思想方法。如掌握研究数学问题或实际问题的方法是：发现问题 猜测结论 分析论证 推广结论 应用结果。又如利用类比归纳的方法掌握对数学问题进行多层次全方位的推广研究，向高维的推广、向纵深的推广、类比横向的推广、反向的推广以及这几种推用的广方法的联合使再推广。 2）对任何数学问题的探究，从几何直观的角度进行思考是最
21、 为顺理成章的和自然的，感受到数学家是如何看问题、想问题和解决问题的，进而使学生的数学学习活动成为数学再创造 、再发现的过程，并体悟到数学家们发现数学结论的过程之艰辛，但又能醒悟到做出来的数学竟是如此美妙，从而源自于本能的深深地爱上数学学习，使数学学习活动过程特别是数学思维习惯成为他们终生学习和生活的实践者。 3）数学教学过程理应注重分析数学问题的来龙去脉，明晰各知识点间的内在联系和规律，以其内在的自然审美观给出既简洁又相对繁琐、既常规的通性通法又带有相对自我创造性的构造性方法，全面发展和培养学生的创新意识， 从而达到培养学生思维的灵活性、深刻性、敏捷性、批判性和广阔性。 4）数学问题的探究，
22、理应强化应用意识和掌握如何应用结论的基本方法。如柯西不等式的应用，关键在于如何比照性的构造出两组数：积和数组、平方和数组以及题设条件的定值等方面，也就是说，使学生在应用方面抓住问题解决的本质 构造应用结论的形式或转化变形形式。 5)通过柯西不等式的学习，促使学生在提出问题、分析问题、解决问题以及交流和反思等方面获得发展。本质上是：使学生在数学学习过程中，有一个充满亲身经历观察、实验分析、归纳、类比、猜测、论证、概括、推广、 应用、反思等数学学习的认知过程，形成质疑问题、 勤于探究思考，真正让学生感受和体验数学知识的产生过程、发现过程和应用过程，养成敢于发表自己的独到见解，使发现问题和提出问题成
23、为数学探究活动的主旋律。 6）数学教育理应成为崇尚自然、返朴归真、倡导学习纯洁真朴的自然之道。面对这种精神的向往，体现在数学教育教学过程的自然性，把数学课堂教学演绎成每集故事情节相对独立而具有完整性的一部优秀电视连续剧，使学生学起来既轻松、愉悦、自然，又充满兴趣、渴望、好奇心。 7）数学教育理应体现在时代性，应唤起人们以出世心态做入世之事 业，找回本态自我，把淡泊宁静、诚实质朴、超然物外作为数学教师职业的追求；也能从 “苦其心志，劳其筋骨 ”进入到 “智者乐水，仁者乐山 ”的崇高境界，定会成为数学教育工作们的最心爱的精神憩园和最惬意的栖身之地。中国数学教育之路定会成为创新型人才的摇篮 15 。
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