1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 复数域内的函数幂级数展开及其应用 一、前言部分 早在 14 世纪，印度数学家马德哈瓦提出了有关函数展开成无穷级数的概念。众多数学家，如格高利，泰勒、欧拉、高斯等均对级数理论做了重要贡献。级数理论一经产生就不断在函数逼近论、微分方程、复变函数等理论中显现了突出的应用价值。 自 18 世纪初至 19 世纪末，幂级数展开问题成为中国数学的一个非常活跃的研究领域。 的无穷级数表达式，即圆径求周公式，是牛顿 (Isaac Newton， 1642-1727)1667 年发现的。正弦和正矢的幂级数展开式，即弧背求正弦和弧背求正矢公式是英国数学家格雷戈里(J Gregory
2、， 1638-1675)发现的。法国传教士杜德美 (P Jartoux， 1668-1720)1701 年来华，把这三个公式介绍给中国学者。著名数学家梅文鼎之孙梅珏成 (1681-1763)将其收入梅氏丛书辑要的附录赤水遗珍，并分别称为“求周径密率捷法”和“求弦矢捷法”，这三个公式也被称为 杜氏三术 1。 其后明安图 (1692-1764)经过 30 余年的不懈努力，他融会贯通了中国传统数学知识 与刚刚传入的西方数学知识，圆满地证明了前三个公式，同时还得到另外六个公式，即为割圆密率捷法中的九个公式：“圆径求周、弧背求正弦、弧背求正矢、弧背求通弦、弧背求矢、通弦求弧背、正弦求弧背、正矢求弧背、矢
3、求弧背”。由陈际新于 1744 年整理成书并于 1839年出版。牛顿在 1666 年通过无穷级数逐项积分的方法推导出 arcsinz 的幂级数展开式，而在 1669 年又用级数回求法给出这一公式。日本数学家建部贤弘 (Katahiro Takebe)，在 1722年采用与明安图不同的分析方 法得到了同一公式。 1737 年，欧拉 (L Euler， 1707-1783)在给伯努利 (J Bernoulli， 1667-1748)的一封信中提出关于反正矢平方的幂级数展开式，但直到 1817 年这一公式才公开发表。 1819 年春，董祜诚在北京朱鸿处见到明安图的割圆密率捷法第一卷抄本以后，“反复寻
4、绎，究其立法之原”。不仅为幂级数展开式的研究提供了有利的工具，同时也将中国传统数学的垛积术研究推进了一大步。董祜诚的幂级数研究工作直接影响到项名达。项名达在京期间见到明安图的割圆密率捷法和董祜诚的割圆连比例图解 后，便开始研究弦矢问题，并创立了下列两个公式，“知本度通弦求他度通弦”和“知本度矢求他度矢”： 1 2 2 2 2 2 2353 2 2 5 4232 2 2 2 2 2 2 222 4 6 294 3 ! 4 5 !4224 ! 6 ! mmnmmmnmn m n n m n m nccnccm m r m rn m n n m n m nvvnvvrm m m r其中 r 为圆半径
5、， ,mncc分别为圆内某弧 c 的 m 倍、 n 倍弧长， ,mnvv分别为相应的中矢。由这两个公式可推导出明安图的九个公式和董祜诚的四个公式，其中包括正弦和反正弦的幂级数展开式，正矢和反正矢的幂级数展开式以及圆周率 的无穷级数表达式等 1。 中国传统数学虽未进入微积分的全面发展时代，但对幂级数的理论研究也是独树一帜，硕果累累的。这些数学思想对今日的数学创造仍有着启发意义。 19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（ Cauchy） 、德国数学家黎曼（ Riemann）和魏尔斯特拉斯（ Weierstrass） 的巨大努力，形 成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程
6、、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。 20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切。致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等。另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常 为我们提供新思想的模型。 在数学中， 幂级数 是一类形式简单而应用广泛的函数级数， 幂级数在理论上和实际中都有 非常广泛的 应用 ， 它结构简单
7、， 通过幂级数的展开式可以表示函数 ， 利用幂级数和函数的分析性质 ， 常常能够解决数学分析中很多疑难问题。 同高等数学中的实变函数项级数一样，复变函数项级数也是表示函数与研究函数的有力工具。 复变函数论主要的研究对象是解析函数。 从级数作为研究函数的工具这个意义上讲，在各种有力的解析工具中按其简单 、 灵活 、明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数 ，幂级数和解析函数存在着密切的联系。 本文基于复变函数中幂级数的一些基本知识，参考国内外相关文献，就复变函数和幂级数的历史背景，幂级数的概念、性质及其敛散性的判定 及 函数的幂级数展开等相关基础理论和在 解决一些问题方面的应用 进行
8、综述。 二、主题部分 函数幂级数的展开式一直是数学分析中的一个重点，幂级数的定义 2： 由幂级数列2 0 ( ) nna x x 所产生的函数项级数 20 0 1 0 2 0 00 nnnnn a x x a a x x a x x a x x， 它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸。幂级数在 理论上和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识。文献 2着重讨论了 0 0x ，即 20 1 20 nnn a x a a x a x a x的情形。一般情况下，只有少数比较简单的函数，其幂级数展开式能直接从定义出发
9、，并根据定理（即设 f 在点 0x 具有任意阶导数，那么 f 在区间 00,x r x r 内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式 0x x r 的 x ，有 lim 0 nn Rx，这里nRx是 f 在 0x 的泰勒公式余项）来求得。更多的情况是从已知的展开式出发，通过变量代换 、四则运算或逐项求积等方法，间接地求得函数的幂级数展开式。熟悉某些初等函数的展开式，对于一些函数的幂级数展开是极为方便的。（ 华东师范大学数学系， 2007） 要探讨复数域内函数幂级数的展开及其应用，我们首先要了解有关函数幂级数的基础知识，文献 3-11中叙述了有关复变函数中幂级数的知识，主要概括为
10、以下方面： 1、 幂级数的敛散性 3-11 定义 1： 具有 20 1 20 nnn c z a c c z a c z a（ 1） 形式的复函数项级数称为幂级数，其中 0 1 2, , ,c c c 和 a 都是复常数。如果作变换 za，则以上幂级数还可以写成如下形式（把 仍改写为 z ） 20 1 20 nnn c z c c z c z. 定理 1（ 阿贝尔 （ Abel） 定理）：如果幂级数 （ 1） 在某点 1za收 敛，则它必在圆3 1: K z a z a（即以 a 为心，圆周通过 1z 的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。 推论 1：若幂级数 （ 1） 在某点 2 za发散，则它在
11、以 a 为心并通过 2z 的圆周外部发散。 对于一个形如 （ 1） 的幂级数， za这一点总是收敛的。 za时，可能有三种情况：第一种，任意的 za，级数 0 nnn c z a均发散；第二种，任意的 z ，级数 0 nnn c z a均收敛；第三种，存在一点 1za，使 10 nnn c z a收敛，另外又存在一点 2z ，使 20 nnn c z a发散。在这种情况下，可以证明，存在一个有限正数 R ，使得 0 nnn c z a在圆周 z a R 内部绝对收敛，在圆周 z a R 的外部发散。 R 称为此幂级数的收敛半径；圆 z a R 和圆周 z a R 分别称为它的收敛圆和收敛圆周。
12、在第一种情形，约定 0R ；在第二种情形，约定 R ，并也称它们为收敛半径 3。 2、 收敛半径 R 的求法、柯西 -阿达马（ Hadamard）公式 3-11 定理 2：如果幂级数 0 nnn c z a的系数 nc 合于 1lim nnnc lc ，（达朗贝尔（ DAlembert）或 lim n nn cl，（柯西）或 lim n nn cl，（柯西 -阿达马） 则幂级数 0 nnn c z a的收敛半径1 , 0 , ;0 , ;, 0 . lllRll3、 幂级数和的解析性 3-11 定理 3： 1.幂级 数 0nnnf z c z a(2) 的和函数 fz在其收敛圆 :0 K z
13、a R R内解析； 2.在 K内，幂级数 可以逐项求导至任意阶，即 1! 1 2 1 1 . 1 , 2 , npp p p nf z p c p p c z a n n n p c z a p (3) 4 还有 (2)与 (3)的收敛半径 R 相同； 3. 0 ,1, 2 ,!pp facpp。 4、 泰勒定理 3-11 定理 4.1（泰勒定理）：设 fz在区域 D内解析， aD，只要圆 : K z a R 含于 D，则 fz 在 K内能展成幂级数 0nnnf z c z a， (4) 其中系数 112! nn nf f acdina. (5) : , 0 ; 0 , 1 , 2 , p a
14、 R n且展式是唯一的。 定义 4： (4)称为 fz在点 a的泰勒级数， (5)称为其泰勒系数，而 (4)等号右边的级数，则称为泰勒级数。 定理 4.2： 函数 fz在区域 D内解析的充要条件为： fz在 D内任一点 a的邻域内可展成za的幂级数，即泰勒级数 。 复变函数展为幂级数的条件与实变函数情形相比较，相对要弱一些，表现为以下两点：一是实变函数要求存在任意阶导数，而这对于一般函数是难以达到的。复变函数只要求 fz在 0z 的邻域内解析，而这是易于实现的。这是因为对于复变函数来说， fz解析就能保证函数无限次可微与各阶导数的连续性。二是实变函数还要证明余项趋于零，复变函数则不必，证明余项
15、趋向于零是比较困难和复杂的。正因 为这两点，所以复变函数展为泰勒级数的应用范围就比实变函数情形要大得多 4-9。其它关于复变函数中幂级数的疑难问题与解答这里就不一一叙述了。 幂级数求和是一类难度较大，技巧性较高的问题，一般要综合运用求导、求积分、拼凑、分解等技巧才能解决。 徐凤林，张秀丽 12总结了四种求幂级数和函数的方法 ：一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算 (一般是加减 )表达形式： 如果待求级数的通项系数是代表和的形式，则首先考虑将其分解成简单一些的级数的代数和，再逐一计算新的级数 ；第二种方法是 “ 先求导，再积分 ” 或 “ 先积分，再 求导 ”： 若幂级数的通项系数是
16、自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分，再求导”的做法：若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可考虑用“先求导，再积分”的做法 ；第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来： 通过幂级数通项系数的分母是阶乘5 表示式，可考虑用正弦、余弦、指数函数的幂级数进行计算 ；第四种方法是解微分方程的方法： 利用幂级数可以逐项求导的性质，列写出和函数满足的微分方程，解此方程即得和函数 。 函数展开为幂级数方法一般有两种：一是直接展开法，二是间接展开法。用直接展 开法将函数展开成幂级数，工作量大，有时甚至是比较困难的，为了避免对余项的讨论，经常使用间接展开法，巧
17、妙地利用已知函数的展开式和幂级数的性质，常能化难为易，简化计算，收到事半功倍的效果。 我们 就间接展开法探讨了其解题方法与技巧可概括为几个方面： 1 通过变量代换，直接套用 1, s in , ln , , c o s , 11 mxe x x x xx这些函数的幂级数展开式，把所给 函数展成幂级数 9-13。 例 1 将 23xx 展开为 x 的幂 级数。 解：已知 0 ! nxnxexn ，因 ln33xxe ，只要将 xe 展开式中的 x 替换成 ln3x ，即得 ln33xxe展开式 ln30ln3!nxnxe n，所以 2 2 l n 3 2 200l n 3 l n 33 ! nn
18、x x nnnxx x e x x xnn 2 首先展开导函数， 然后用逐项积分的方法求出原函数的幂级数展开式 9-13。 例 2 将0 sinx tdtt 展成幂级数。 解： 2 2 100 10s i n 112 1 ! 2 1 ! 2 1 nnxx nnnnt t xd t d t xt n n n 3 利用逐项求导，把函数展开成幂级数 9-13。 例 3 将函数 311 xfx x展开成 x 的幂级数。 解：利用待定系数法可求得 3 2 31 1 21 1 1 xfx x x x分析： 21111 dx cxx， 322111 d x cxx， 1 ln 11 dx x cx ， 21
19、111 dx cxx 可知 22321l n 112111 dx xfxdx xx 6 已知 23l n 1 ( ) 1 123 nx x xx x xn， 231 1 1 11 nx x x x xx 对上式两端求导两次得 2223221 1 21 1 , ( ) 1111 n n n nnnli n x n x n n xxxx 所以 3 2 31 1 21 1 1 xfx x x x 22222111111 nnnnnnn x n n xn x x上题化成了两级数的和，它们成立的区别分别是 1,1 与 1,1 。所以总的成立区间应是它们的公共部分 1,1 。 4 利用复数的实部、虚部展开
20、幂级数 13。 例 4 将 cos cos si n xex的展开幂级数。 解：因复数 c o s s i nc o s s i n ixix i x ee e e的实部就是 cos cos sin xex， 为此，先求 ixee 的展开式，只要在 xe 的展开式中用 ixe 替代即可 0 0 01 c o s s i n! ! ! i nnnx e i i nn n nxxe x e e n i nn n n 比较上式两端的实部，即得 c o s0c o s s i n c o s! nxnxe x n xn 比较虚部，又可得到 c o s0c o s s i n s i n! nxnxe
21、x n xn。 另外还有待定系数法，利用级数的乘、除运算，微分方程法，部分分 式与几何级数结合法，代换法 9。以上都是函数展成幂级数的间接法，这里不一一列举。而展开一个函数并非只能用一种方法。有时，一个函数既可分别用多种方法展开，也可多种方法并用展开。如上面例 3就可用待定系数法与逐项求导结合展开。 7 巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚，达到良好的解题效果。 许多专家学者都对函数幂级数展开的实际应用做了研究。 利用幂级数的重要性质，我们可归纳出幂级数在计算中的几个应用：
22、一、幂级数在近似计算中的应用： 可用 arcsinx 的幂级数展开式取 1x 近似计算，也可用 arctanx 的幂级数展开式取 33x 近似计算；二、幂级数在计算积分中的应用：当 fx的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算 fx的定积分就遇到了困难。我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值。具体计算时，要求被积函数能够展成收敛的幂级数，且积分区间必须在幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算所求定积分的值；三、幂级数在求极限中的应用：求函数极限的方法很多，幂级数法也是其中之一；四、幂级数在数项级数求和中的应用；五、幂级数应用于推导欧拉公式；六、幂级
23、数在求导数中的应用；七、幂级数在组合概率计算中的应用：定义设 0,1,2,nBn 是一个待定其值的数列，若存在一个函数 fx，使得 01 , nnF x B B x B xxR成立，则称 fx为数列 0,1,2nBn的生成函数 14。 利用函数的幂级数表示函数，幂级数和函数的分析性质等， 常常能解决许多较为复杂的问题： （一） 复变函数幂级数在三角级数求和中的应用 15-16 我们求1 sinnn a nx与1 cosnn a nx的和函数可以构造复函数幂级数1nnn az， 设法1nnn az的和函数 fz，令 ixze，则有 11c o s sinixnnnna n x i a n x f
24、 e.比较上式左右两端实部和虚部，则得到 11s in I m ; c o s R eix ixnnnna n x f e a n x f e. 在 求1nnn az的和函数中，我们常常用到以下结论： 231 2 ! 3 ! ! nz z z zez n (6) 21 11 nz z zz (7) 8 23l n 1 23 nz z zzz n (8) 其中 (6)中的 z 满足一切复数； (7)中的 z 满足 1z ； (8)中的 z 满足 1z 且 1z （二）母函数在组合问题中的应用 15 利用母函数可以解决排列组合中有关的排法种数的问题。 . 例 5 用 1克 ,2克 ,4克 ,8克
25、,16克五个砝码，在天平秤上能秤哪几种重量的物体？ 解：设质量为 r 克的物体有 ra 种称 法，如果妒 0ra ，就说明这几个砝码不能称重为 r 克的物体。因此，我们的问题是对哪几个 r ， 相应的 0r 。那么数列 ra 的母函数是 2 4 8 161 1 1 1 1 P x x x x x x，只要将它展开成幂级数就行了， 由于 2 4 8 161 1 1 1 1 1 1 x P x x x x x x x 2 2 4 8 161 1 1 1 1 x x x x x 4 4 8 161 1 1 1 x x x x 8 8 1 61 6 1 6 3 21 1 11 1 1 xxxx x x
26、所以 32 2 3 11 11 xP x x x xx ，即 1 0 , 1 , 2 , , 3 1 ; 0 3 1 rra r a r. 这说明凡重量不超过 3l克的物体能用这五个砝码称出来，而且各只有一种称法；而重量大于 3l克的物体都小能用这五个砝码称。 （三）母函数在递推关系中的应用 15 在递推数列中，运用母函数的方法可以方便地求得该数列的一般表达 式 例 6 已知 na 满足线性递归关系 12 , 2 , 3 , n n na a a n， 已知初始 011, 1aa求na 的 般表达式。 解：设数列 na 的母函数为 fx， 则有 9 021110 1 2222021, nnnn
27、nnn n nn n nn n nnnnnnnf x a x x a xx f x a x a x x a xx f x a x a x以上三式相加即得 21221 1 1 nn n nnx x f x a a a x， 所以 211 fx xx， 为了求得 na 的 般表达式，只要将 fx展开成幂级数就行了。 设 12,rr是方程 210 xx 的两个根，则可以得到 1 2 1 2 1 21 1 1 1 fx x r x r r r x r x r，即得 121 5 1 5;22 rr. 又11001 1 2 212121 1 1 1 1 1;11 nnnnnnxxx r r x r rxx
28、rrrr所以 2110 2 1 11 1 1 nnnnf x xr r r r，故 12111121112 1 1 2 1121 1 1 1 1 1 5 1 5 , 0 , 1 , 2 ,225 nnnnn nnnrranr r r r r rrr函数 幂级数的展开一直是分析学研究的一个重点，幂级数作为一种基础工具用于解决高等数学和初等数学中问题，有待我们这些后人更深入的研究，进一步扩大它的应用范围。 三、总结部分 本文主要阐述了以下内容 ：（ 1） 复变函数和幂级数的历史背景 ；（ 2）复变函数中的幂级数的概念、敛散性判定、收敛半径的求法、和函数的求法及函数的幂级数展开；（ 3）归纳总结函 数幂级数展开的一系列方法；（ 4）函数幂级数展开主要在一些方面的应用。 在复变函数论中，函数的幂级数展开无论在理论上还是在应用上都占有非常重要的地位。 幂级数在其和函数的解法，函数展成幂级数的方法技巧以及幂级数的展开或展开式在计算等数学问题的应用前人已经取得了许多重要成果。并且事物总在不断地发展变化， 随着人们更深入的研究，笔者相信随着人们更深入的研究， 例如研究更多幂级数展开的途径，或是洛朗展式的进一步深入，又或是对双曲正弦和双曲余弦函数的幂级数余项的研究等等，关于
