北京大学数学分析考研试题及解答.doc

.判断无穷积分的收敛性。解 根据不等式，得到 ， ； 从而 绝对收敛，因而收敛，再根据是条件收敛的，由，可知积分收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设，是的实根，求证：，且。证明 （1）任意，当时，有；当且充分大时，有，所以的根存在，又，严格递增，所以根唯一，。（2） 任意，所以的根，（）。因为若时，的根，不趋向于。则存在，使得中含有的一个无穷子列，从而存在收敛子列，（为某有限数）；，矛盾。例、 设，讨论级数的收敛性。解 显然当时，级数发散；由 ，得，（充分小），于是，（充分大）（1） 当时，收敛，收敛，收敛，绝对收敛；（2） 当时，收敛，收敛，于是收敛，从而收敛，收敛，而发散，由，得发散，所以发散，故此时条件收敛。（3） 当时，发散，而收敛，此时发散。 北京大学2007年数学分析考研试题及解答1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。命题：若在上连续，且