1、毕业论文文献综述 数学与应用数学 中学数学中的一些解题思想和方法的研究 一、 前言部分 数学，由于其具有广泛的应用价值、卓越的智力价值和深刻的文化价值，因此在基础教育中占有特殊重要的地位。在中学的数学教育中，主导的内容不是那些正在发展中的现代数学分支，而是在人类文化宝库中业已形成的数学思想、知识和方法。“问题”是数学的心脏，数学活动主要是提出问题和解题，而在数学教育活动中，“解题”更是最基本的活动形式。无论是学生的数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得，还是学生智力的培养和发展，都必须通过“解题 ”。 综观有关解题研究的论述，无论是国外的研究还是国内的研究，在解题理论研究上较
2、多，在解题教学实践上的研究较少，比如：一道题我们该如何教？为什么这样教？我们应教给怎样的学生？这些方面研究较少。 1、解题教学研究中的问题： 有不少人认为，随着数学内容的学习，数学知识的丰富，解题方法可以自然而然地掌握、解题能力可以自然而然地产生。解题理论的研究纯属多余。而来自学生的情况却是 :许多人学了课本内容却不会解题，还有的人解了许多题却说不清思路。可见，再丰富的经验也无法代替理论，缺乏理论指导的实践常会流于盲目。 有些传 统题目十几年乃至几十年无任何改进，从这本书抄到那本书，局部上甚至有流行的错误。解题研究多探讨“怎样解”，较少问“为什么这样解”，长期徘徊在一招一式的归类上，缺少观点上
3、的提高与实质上的突破。 将解题的研究归结为应付升学的考查，解题的规律被简单化为“对题型”、“套解法”，由此产生盲目的“题海战术”。这种模式，将智力开发等同于技艺训练，以考试为目标，以押题、猜题为主要手段，即使获得了高分也扼杀了学生的能力。 2、对数学解题研究方向的思考： 解题研究应该谋求和把握的两个发展方向，数学解题研究既不应局限于一招一式的简 单模仿，也不应停留于技能技巧的反复训练，而应提升到数学思想和数学方法的理论高度，更应进入到数学教学和数学学习的心理层面。数学解题的深入研究应该从两个方向上同时一展开：其2 一是数学知识方向，即解题的每步前进得以依赖的数学规则是什么，如一招一式、技能技巧
4、所能凭借的数学知识是什么，就有学者在研究解题时发现，一些所谓的解题技巧并不是高不可测、深不可究的认识对象，也不是妙手偶得、心血来潮的思维产物，在其背后其实就是不同数学知识之间的本质联系。其二是学习心理方向，即学生解题的心理过程究竟如何展开，如题目已知信息如何启动学 生己有知识，如何调动学生解题经验 ?题目的已知信息与调用的知识经验如何相互作用 ?在其作用过程中受到哪些因素影响 ? 二、主题部分 数学教学过程不仅仅是将数学知识传授给学生，更重要的是通过解题，教会学生解题的一种思想与方法。 数学 解题 思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和
5、描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受 用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是 会 起作用 的 。 已有许多教学第一线的教学工作者和数学家及相关研究人员，对于数学教学解题思想与方法作出了一些研究。 经阅读大量的资料， 现 对他们的主要成果阐述如下： 文献 1作者浅谈了化归思想方法在中学数学教学解题中的应用，认为化归一种重要的数学思想。并且说明了化归就是将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理。在中学数学中，化归方法的应用无处
6、不在。例如：在方程研究中，将简单的高次方程、分式方程、根式方程化为一元二次方程或一元一次方程组来求解。在三角函数中求 任意角的某种三角函数值都是化为锐角的三角函数求解。所以数学中注意化归思想的培养对学生学习数学，发展解题能力都无疑是至关重要的。 文献 2作者认为“问题是数学的心脏”，数学问题的解决是教学中的一个重要组成部分，而几乎所有的数学问题的解决都离不开化归，只是所体现的化归形式不同而已。计算题利用规定的法则进行化归；证明题利用定理、公理或已解决了的命题进行化归；应用题利用数学模型进行化归。所以离开化归，数学问题的解决将寸步难行。 文献 3 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可
7、解的问题的一种重要的思想方 法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 3 文献 4 作者通过实例从几个方面谈谈化归思想在解题中的运用，有些问题与某个基本结论相似，但又不完全具备基本结论的条件，这时可通过各种手段，把问题化归到具基本结论的条件，再运用基本结论使原问题得到解决；有些问题表面上形态各异，有时甚至相去甚远，但是通过深入地化归分析，在本质上可将它们归结为 同一个基本问题，这时如果解决了这个基本问题，就解决了一类
8、问题。 文献 5 利用数形结合的思想方法解题 ,主要包括两方面问题 ,一是 “以形助数 ”即将 “数 ”的问题借助于图形性质使之直观化、形象化而利于获得解决。二是 “用数解形 ”,即将 “形 “的问题经过数量化处理 ,并借助计算解决。本文就前一个方面的问题 ,谈谈如何运用数形结合的思想解题。 文献 6 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的两大基石。从“数”中去认识“形”和从“形”中去认识“数”构成了数学思维的基本方法之一。在解决有关问题时，用数形结 合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质
9、。 文献 7 作者认为 在数学教学中，数形结合的解题方法具有直观、灵活的特点，数形结合也是数学解题中的一种重要方法，应用十分广泛 。 数形结合思想是通过构建数与形之间的对应关系，在二者的对应和互助中，来分析研究问题并解决问题的一种思想 。 常见的数形结合的途径有三种：以形助数、以数助形和数形互助 。 本文就数学教学中数形结合思想进行简单的介绍和分析，并对其应用作了研究 . 文献 8作者认为解决数学问 题的方法有很多，构造法是其中的一种基本方法。所谓“构造法”即是在解题中利用已知条件和数学知识，通过观察、联想，构造出满足条件的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问
10、题转化，从而使数学解题打破常规，另辟蹊径，巧妙地获得解决。用构造法解题，其本质是“构造”，但是怎样“构造”，却没有通用的构造法则，因此学生甚感困难，这里就通过实例“构造函数法”，“构造反例法”，“构造数学模型”，“构造对应关系”，“构造性计算法”，“构造图形法”来谈谈构造法。 文献 9 传统的数学教学中，教师往往 比较重视学生逻辑思维能力的培养，而忽略了对学生数学直觉思维能力的培养。其实，数学直觉思维也是一种很重要的思维形式 ，作者 对数学直觉思维的概念及其培养途径作了一些探讨。数学思维具有实验、猜想、想像、直觉、灵感等特点。对于学生来说，数学学习是一个再创造的过程。这个过程要求学生除了必须具
11、有一定的逻辑推理能力外，更需要具有非逻辑推理能力。可见我们在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想像力的培养。特别是直觉思维能力的培养，由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥 乏味的，同时对数学的学习也缺4 乏取得成功的必要信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多地注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要，也是现代社会对人才的需求。 文献 10从数学的创造性思维本质出发，论述了数学发现和数学解题的一半性规律、原理和方法。上篇阐述了观察、联想、尝试、实验、归纳猜测、类比推广、模拟、化归、几何变换等数学发
12、现的基本方法，数学的论证方法，数学与物理方法，数学智力的开发与创新意识的培养等内容；下篇为数学解题方法论研究，着重阐述了数学解题观、数学解题的思维过 程、解题策略、解题思想等，着力在“元方法”即追寻解题思路、解题方法上进行研究，在探求解题思路的微观研究和解题理论上有一定的创新。 文献 11阐述了数学换元法的基本思想方法，并分类列举范例说明换元法在解题中应用的常见十种技巧，从中注析各种技巧的特点及其解题的优化作用。恰当地换元会使问题向着更熟悉、简单或容易的方向转化，并且例举数学换元法在解题中的几种常用技巧：整体换元、三角换元、和差换元、参数换元、均值换元、增量换元等方法。 文献 12作者浅谈了换
13、元法在解方程中的巧用，灵活地运用换元法解方程，可以化难为易 ，化繁为简，是学生解决问题能力的重要体现。用换元法解方程关键在于换元，作者分别介绍了在整式方程中换元法的巧用以及分式方程中的巧用，透彻地分析了解方程所运用换元的思想与方法。 文献 13作者指出现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。这样就要求我们改变思维方向，换一个角度去 思考从而找到一条绕过障碍的新
14、途径，构造法就是这样的手段之一，该文详细地阐述了构造法在中学数学解题中的应用。 文献 14 教学的目的之一是培养学生具有分析问题与解决问题的能力，也就是培养学生具有能够独立思考进行创造性活动的能力。学生除去必须掌握逻辑分析方法外，还必须掌握探索性思维能力。作者将“怎样解题”分成以下几部分：第一，你必须弄清楚问题；第二，找出已知数与未知数之间的联系，如果找不到直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划；第三，是实行你的计划；第四，验算所得到的解。 文献 15 在某种环境中，数学老师要考虑的不是知识传输而是数学思想上的激励。 学生数学理解视为发展的内在化 并且通过和教师互动
15、阐述他们的数学思想， 教师采取一系列教学建构主义观点教育学生是缓慢的 。两种社会互动层面上成为一个至关重要的社会建构模型为基础的5 课堂：教师和学生之间的相互作用，以及学生之间的相互作用。学生之间的社会互动有可能提升学生在多种方式学习。通过与他们的同龄人的讨论，可以培养学生对这个问题的认识，分享解决方案的思路，完善其解决方案的企图，并捍卫他们的数学理解和战略。 三、总结部分 数学的主要目的是教会学生学 会数学的思考问题， 将所观察到的情况加以一般化、归纳论证，从类比中进行论述，在一个具体问题中认出一个数学概念，或者从一个具体问题中抽象出一个数学概念等，这都是运用数学思想方法的结果。数学思想方法
16、的学习，不像数学知识的学习那样，有章可循，有理可依，它最鲜明的特征是过程性，它要在知识的传授过程中，由教师把某种特定的数学思想方法全境的展现给学生，让学生通过自己的理解，经历去体验、领悟和把握。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思 想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说， “知识 ”是基础， “方法 ”是手段， “思想 ”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是 “能力 ”。 在数学教学过程中，教会学生解题的思想与方法是十分
17、重要的。 有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质 。学会解题是学习数学的一个重要方面，熟练掌握数学的基础知识和基本技能是能否顺利解题的基础，深刻理解数学的基本方法、基本思路是能否顺利解题的关键。因此，学会数 学解题的思想与方法对于中学生来说是至关重要的。 四、参考文献 1 赵建雄 .浅谈化归思想方法在中学数学教学解题中的应用 J.甘肃科技纵横 .2007,35(6)：183-184. 2 俞平 .数学问题化归理论与方法 M.广西 :广西师范大学出版社 ,1999 年版 :52-65. 3 叶宝存 .浅谈化归思想在数学中的应用 J.宁德师专学报 .2005,(2):1
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