1、 毕业论文文献综述 数学与应用数学 中值定理的分析性质研究 一、前言部分 微分中值定理是微分学的基本定理之一，研究函数的有力工具微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义以拉格朗日 (Lagrange)微分中值定理为例，它的几何意义：一个在 , ab 上连续，在 (, )ab 内可微的曲线段 ()fx，必有 ( , )ab ，曲线在点 ( , ( )f的切线平行于连接点 ( , ( )a f a 与 ( , ( )b f b 的割线它的运动学意义：设 f 是质点的运动规律，则质点在时间区间 ,ab 上走过的路程为 ( ) ( )f b f a ，在 (,)ab 上的平均速度为( ) ( )f
2、b f aba ，存在 (, )ab 的某一时刻 ，质点在 的瞬时速度恰好是它的平均速度 人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了 它首先是法国著名的数学家费马于 1637 年给出了费马定理 ，在教科书中，人们通常将它称为费马定理 1691 年，法国数学家罗尔 (Rolle)在方程的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理 1797 年，法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日定理 ，并给出最初的证明对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西 (Cauchy)， 他首先赋以中值定理重要的作用，使其成为微分学的核心定理，并给出了广义的中值定理 柯西定理 . 二、 主题部分 一、微分
3、中值定理产生的历史 文献 1和 2中说到了微积分学简史 ， 费马对微积分作出过重要的贡献他在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理所谓的虚拟等式法，用现代语言来说，对于函数 ()fx，让自变量从 x 变化到 xe ，当 ()fx为极值时， ()fx和 ()f x e 的差近似为 0 ，用 e 除虚拟等式， ( ) ( ) 0f x e f xe ，然后让 0e ，就得到函数极值点的导数值为 0 ，这就是费马定理：函数 ()fx在 0xx 处取极值，并且可导，则 0( ) 0fx 应该指出：费马给出以上结论，微积分还处于初创阶段，并没有明确导数，极限
4、连续的概念，用现代眼光来看，其论断也是不严格的现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的 罗尔在 1691 年发表的论著方程的 解法给出了“在多项式 10 1 1 0nn nna x a x a x a 的两个相邻根中，方程 120 1 1( 1 ) 0nn nn a x n a x a 至少有一个实根” 正好是定理的一个特例，这也是此定理成为罗尔定理的原因 .罗尔当时提出这个结论，主要是针对多项式函数， 现在看到的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新证明，并把它推广为一般函数“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什 (Drobisch)在1834 年给出，并由意大利数学
5、家贝拉维蒂斯 (Bellavitis)在 1846 年发表的论文中正式使用的 文献 1-5中都涉及到了中值定理的基本概念 .拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理它是指：“ ()fx在 , ab 上连续，在 (, )ab 上可导，则存在一点 ( , )ab ，使( ) ( ) ()f b f a fba ”这一定理是拉格朗日在解析函数论一书中首先给出的，它最初形式为：“函数 ()fx在 0x 和 x 之间连续， ()fx的最大值为 A ，最小值为 B ，则00( ) ( )f x f xxx 必取 A ， B 之 间一个值” 柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广它是指：设 ()fx和 ()gx
6、 在 , ab 上连续，在(, )ab 上可导，并且 ( ) 0gx ， ( ) ( )g a g b ， 则至少存在一点 ( , )ab ，使 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g 柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似 微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明，并研究泰勒公式的余项从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分 二、 微分中值定理中间点的分析性质 2.1 Lagrange中值定理中间点的渐进性及其分析性质 在一元函数微分学中，拉格朗日中值定理是核心
7、 ,因此对 Lagrange中值点的研究就成了一项重要内容 Lagrange中值定理只断言 的存在性 至少有一个，但可能不止一个，除了对一些比较简单的函数，无法指明这种点的确切位置文献 6中有了下面的结论： 结论 1. 若函数 ()fx满足下列条件：在 , ab 上 连续；在 (, )ab 内存在二阶导数；( , )x ab ， ( ) 0fx ； 则在 (, )ab 内存在唯一 一点 ，使得 ( ) ( )() f b f af ba 结论 2.若函数 ()fx满足下列条件：在 , ab 上 连续；在 (, )ab 内可导，且在 (, )ab 的任何子区间上为非线性函数；方程 ( ) ( )
8、( ) ( ) ( ) 0f b f af x x a f aba 在 (, )ab 内恰有1n 个根；则在 (, )ab 内存在 ()mm n 个点 使得 ( ) ( )() f b f af ba 结论 3 若函数 ()fx满足下列条件：在 , ab 上 连续；在 (, )ab 内可导；方程( ) ( )( ) ( ) ( ) 0f b f af x x a f aba 在 (, )ab 内恰有 1n 个根；则在 (, )ab 内至少存在一点 ，使得 ()( ) 0nfx 在此给出结论 1的证明：由 Lagrange中值定理知，点 是存在的 下 面证明点 的唯一性，用反证法：假设存在两点
9、1 ， 2 12() 分别使 1 ( ) ( )() f b f af ba 2 ( ) ( )() f b f af ba 由条件二知函数 ()fx在区间 12 , 上满足 Rolle定理，所以 12( , ) 使得 ( ) 0f ，这与题设条件 3矛盾，因此， 在 (, )ab 内存在唯一一点 ，使得 ( ) ( )() f b f af ba 此外，文献 7-9中还给出了 中间点 的单调性、连续及可导性质： 设函数 ()fx在 , ab 上满足 Lagrange中值定理 的条件，对于任意 ( , x ab ，则当 a 固定时满足式 ( ) ( )() f x f af xa （ 2 1）
10、 的“中间点” 随 x 而变化，并且具有下述性质 定理 1 设函数 ()fx在闭区间 , ab 上连续，在开区间 (, )ab 内可导，且 ()fx在 (, )ab 内严格单调，则 （ 1）满足 (2 1)式的点 是 x 的单值函数 (简称函数 )，记 ()x ； （ 2）满足 (2 1)式的点 ()x 是 x 的单调增加的函数 定理 2 设函数 ()fx在闭医间 , ab 上连续，在开区间 (, )ab 内可导，又设 ()fx在 (, )ab内具有二阶连续导数且 ()fx在 (, )ab 内保号 (恒正或恒负 )，则 (1)满足 (2 1)式的点 ()x 是 x 的连续函数； (2)满足 (
11、2 1)式的点 ()x 是 x 的可导函数，其导数为 ( ) ( ( ) )() ( ) ( ( ) )f x f xx x a f x （ 2 2） 定理 3. 设 函 数 ()fx 和 ()gx 是 , ab 上 二 阶 连 续 可 导 ， 且 ( ) 0gx ， ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 在 (, )ab 内保号 (恒正或恒负 )，则 (1)满足 (2 2)式的“中问点”是 x 的单值连续函数； (2)满足 (2 2)式的“中间点” ()x 是 x 的可导函数，其导数为 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )() ( ) ( ( ) ) ( (
12、 ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) f x g x f x g xx x a f x g x f x g x ()x （ 2 3） 在对 Lagrange中值定理 中值定理“中间点” 的渐近性态进行讨论时，文献 6-9给出了下面的结论： 定理 4. 若函数 ()fx在 (, )ab 内二阶连续可导，且 ( ) 0fa ，则对 Lagrange中值定理 ( ) ( )( ) ( )f b f af a bba 中的 有 1lim 2ba aba （ 2 4） 定理 5. 函数 ()fx 在 (, )ab 内 1n 阶连续可导， () ( ) 0 ( 2 , 3 , , )kf a k n，
13、且( 1)( ) 0nfa ，则对 Lagrange中值定理 ( ) ( )( ) ( )f b f af a bba 中的 有 1lim 1nbaab a n （ 2 5） 2.1 Cauchy中值定理中间点的渐进性及其分析性质 文献 10中同时给出了 Cauchy中值定理 “中间点” 的渐近性态 ,设 ()ft ， ()gt 在 , ax上 连 续 ， 在 (, )ax 内 可 导 ， 且 () 0gt ， 则 在 (, )ax 内 至 少 存 在 一 点 ， 使( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f a fg x g a g ，其中 “中间点” 随 x 而变化，并且具有下
14、述性质 定理 6. 设 ()ft ， ()gt 在 , ax 上有二阶导数， () 0gt ， ()ft， ()gt在点 a 连续且 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f a g a f a g a， 则柯西中值定理“中间点” ( , )ax ， 满足 1lim 2xa axa （ 2 6） 定理 7. 设 ()ft ， ()gt 在 , ax 可微且 () 0gt ，又设 ( ) ( ) ( ) ( )l im()ta f t g t f a g a cta ，且 lim ()tagt存在，则柯西中值定理中的“中间点” ( , )ax ，有渐近估 计式 11lim1xa axa （ 2 7）
15、 其中 c 为非零常数， 为实数， 0 三、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的统一形式 在文献 4中还提到了， 拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以看成下列中值定理的特例： 设 f ， g 在区问 , ab 上连续，在 (, )ab 内可导，并且 ( ) 1ga ， ( ) 0gb ，则存在一点 ( , )ab ，使得 ( ) ( ) ( ( ) ( ) )f g f b f a 引入函数 ( ) ( ) ( ( ) ( ) (1 ( ) ) ( ) )F x f x g x f a g x f b ,则 ( ) ( ) 0F a F b，对 F 利用罗尔定理，即得结论 若取 () bxgx ba
16、 ， , x ab ，则可得拉格朗日中值定理 : 设 ()fx和 ()Fx在 , ab 上连续，在 (, )ab 上可导 ,并且 ( ) 0Fx ，取 ( ) ( )() ( ) ( )F b F xgx F b F a ， , x ab 对 f ， g 应用上述结果，可得柯西中值定理 . 四、 积分中值定理“中间点”的分析性质 文献 11和 12中提到了积分中值定理“中间点”的分析性质。 积分中值定理的表述为：若函数 ()fx在 , ab 上连续，则在 , ab 上至少存在一点 ，使得 ( ) ( )( )ba f x dx f b a注 1：结论中的 , ab 可以加强为 ( , )ab
17、. 注 2：当 a 固定时，中间点 随着 b 点变化而变化 . 定理 8. 设 ()fx在 , ab 上连续，且 ()fx在 (, )ab 内严格单调，则由下式 ( ) ( )( )xa f t dt f x a （ 4 1） 确定的 是 x 的单 值函数： ( ), ( , )x x a b 定理 9. 设 ()fx在 , ab 上连续，且 ()fx在 (, )ab 上严格单调，则由 （ 4 1） 式确定的()x 是 x 的严格单调函数 . 定理 10. 设 ()fx在 , ab 上连续，且 ()fx在 (, )ab 内恒正（或恒负），则由 （ 4 1） 式确定的 ()x 是 x 的连续函数
18、 . 定理 11. 设 ()fx在 , ab 上连续，且 ()fx在 (, )ab 内恒正（或恒负），则由 （ 4 1） 式确定的 ()x 是 x 的可导函数，且 2( ) ( ) ( )() ( ( ) ) ( )xax a f x f t d tx f x x a （ 4 2） 五、微分中值定理与积分中值定理 文献 13中强调了微分中值定理与积分中值定理的联系， 我们熟知积分学中的积分中值 定理 12. 设 f 在区间 , ab 上连续则存在 ( , )ab 使得 ( ) ( ) ( )ba f x dx b a f 实际上 Lagrange中值定理与积分中值定理 之间存在着一定的联系。及
19、式 ( ) ( )() f b f af ba （ 5 1） 和式 ( ) ( ) ( )ba f x dx b a f （ 5 2） 之间的关系。对于式（ 5 1）而言，当 ()fx连续可导， , x ab ，由牛顿莱布尼茨公式，使得 ( ) ( ) ( )ba f x dx f b f a（ 5 3） 于是由式（ 5 1）和式（ 5 3）得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ba f x d x f b f a f b a 即 ( ) ( ) ( )ba f x dx f b a 这说明在满足适当的条件下式（ 5 2）成立。这正是积分中值定理的表达形式 反过来，对于式（ 5 2）而言，
20、再由牛顿莱布尼茨公式 ( ) ( ) ( )ba f x dx F b F a （ 5 4） 再由（ 5 2） 式和（ 5 4）式得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )baF b F a f x d x f b a 即 ( ) ( ) ( )( )F b F a f b a ( ( ( )F x f x 因此 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a 这说明在满足适当的条件下式（ 5 1）成立。这正是微分中值定理的表达形式。于是，只要加强 Lagrange中值定理的条件（ ()Fx在 , ab 上可导且一阶导数连续）则 Lagrange中值定理与积分中值定理等价 如果从另一
21、方面来说，积分中值定理的几何意义是由曲线 ()y f x 在区间 , ab 上覆盖的曲边梯形的面积等于以 ba 及 ()f 为边长的长方形面积如果我们令 ( ) ( )xaF x f t dt积分中值定理变为： ( ) ( ) ( ) ( )F b F a b a F 由此看出，积分中值定理与微分中值定理实际上说的同一件事，只是一个用微分形式，一个用积分形式来表达而已 五、微分中值定理的推广 5.1 泰勒微分中值定理 关于微分中值定理 的推广，在文献 14 15中被提到。 在高等数学中， Taylor定理是我们所熟知的：如果函数 ()fx在含有 0x 的某个开区间 (, )ab 内具有 n 阶
22、的导数，则对任意一( , )x ab ，有 ( 1 ) () 2 1000 0 0 0 0 0( ) ( ) ()( ) ( ) ( ) ( ( , ) ) ( ) ( ) ( )2 ! ( 1 ) ! !n nnnf x f x ff x f x n f x x a b x x x x x x xnn 这里 是 x 与 0x 之间的某个值 5.2 微分中值定理可以推广到无穷的区间上 罗尔定理推广到无穷区间上有下列结果： 设函数 ()fx在有穷或无穷区间 (, )ab 内可微，而且存在极限 (有穷或无穷 ) lim ( ) lim ( )x a x bf x f x则存在一点 ( , )ab
23、使得 ( ) 0f 利用这个推广的罗尔定理可以将柯西微分中值定理推广到无穷维空间，有下列结果： 设函数 ()fx， ()gx 在有穷或无穷区间 (, )ab 内可微，且 ( 0)fa ， ( 0)fb ， ( 0)ga ， ( 0)gb 皆存在，而且 ( ) 0gx ， ( , )x ab 。则存在一点 ( , )ab 使得 ( 0 ) ( 0 ) ( )( 0 ) ( 0 ) ( )f b f a fg b g a g . 三、总结部分 至此是对微分中值定理和积分中值定理的讨论， 人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观 到抽象。从强条件到
24、弱条件的发展阶段人们正是在这一发展的过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性微分中值定理的形成历史和发展过程深刻的揭示了数学发展是一个推陈出新，吐故纳新的过程，是一些新的有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是一个由低级向高级发展过程，是分析、代数和几何统一的过程“数学中每一步真正的发展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧、复杂的东西抛到一边数学科学发展的这种特点是根深蒂固的” 其实在一元函数微分 学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗
25、日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是起推广。拉格朗日微分中值定理有许多推广，这些推广有一些基本的特点，这就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式。微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地。 四、参考文献 1 华东师范大学数学系数学分析（第三版） M.北京：高等教育出版社 ,2003 2 Marvin L.Bittinger Calculus and Its Applications(Eighth Edition)M.China Machine Press,2005. 3 Walter Rudin Principles of Mathematical A
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