生产函数的性质和利润率的变化规律.DOC

1、1生 产 函 数 的 性 质 和 利 润 率 的 变 化 规 律冯 金 华摘 要 ： 利 润 率 的 变 化 趋 势 是 马 克 思 主 义 政 治 经 济 学 中 的 一 个 重 要 问 题 。 以 往 的 许多 研 究 没 有 充 分 地 考 虑 生 产 函 数 的 作 用 和 利 润 最 大 化 的 要 求 ， 因 而 ， 不 能 全 面 地 揭 示利 润 率 的 变 化 规 律 。 实 际 上 ， 按 照 利 润 最 大 化 的 要 求 ， 以 及 给 定 其 他 一 些 相 当 宽 松 的 条件 ， 如 产 品 的 价 格 和 投 入 要 素 的 价 格 均 保 持 不 变 ， 利

2、润 率 的 变 化 趋 势 将 完 全 取 决 于 生 产函 数 的 具 体 形 式 。 换 句 话 说 ， 在 利 润 最 大 化 的 假 定 条 件 下 ， 生 产 函 数 的 性 质 决 定 了 利 润率 的 变 化 规 律 。关 键 词 ： 生 产 函 数 利 润 率 利 润 最 大 化 利 润 率 的 变 化 规 律中 图 分 类 号 ： F032.2 文 献 标 志 码 ： A一 、 引 言马 克 思 曾 经 说 过 ， 在 资 本 有 机 构 成 提 高 的 情 况 下 ， “利 润 率 会 不 管 剩 余 价 值 率 提 高而 下 降 ”1252。 然 而 ， 20 世 纪 6

3、0 年 代 初 ， Nobuo Okishio 23 提 出 了 后 来 以 他 的 名 字命 名 的 关 于 利 润 率 趋 于 上 升 的 “定 理 ”。 在 此 之 后 ， 围 绕 这 个 问 题 的 争 论 一 直 没 有 停 止过 。 例 如 ， Laibman 4 的 数 学 模 型 支 持 了 Okishio 定 理 ， 但 Kliman 5 和 Freeman 6 却认 为 ， 只 要 资 本 积 累 按 某 种 过 程 进 行 ， 利 润 率 就 会 下 降 。 Wolff 7 对 美 国 1947-1967 年间 所 做 的 实 证 分 析 结 论 是 ： 该 时 期 剩

4、余 价 值 率 的 提 高 快 于 资 本 有 机 构 成 的 提 高 ， 故 利 润率 是 提 高 的 。 Wolff 8 更 进 一 步 认 为 ， 那 一 时 期 美 国 资 本 有 机 构 成 实 际 上 是 下 降 的 。Moseley 9 的 实 证 研 究 结 果 却 正 好 相 反 ： 美 国 资 本 有 机 构 成 的 提 高 快 于 剩 余 价 值 的 提 高 ，所 以 利 润 率 有 明 显 下 降 。上 述 研 究 的 一 个 共 同 的 不 足 之 处 是 ： 没 有 充 分 地 考 虑 生 产 函 数 的 作 用 和 利 润 最 大 化的 要 求 ， 因 而 ， 不

5、 能 全 面 地 揭 示 利 润 率 的 变 化 规 律 。 本 文 所 要 表 明 的 是 ： 按 照 利 润 最大 化 的 要 求 ， 以 及 给 定 其 他 一 些 相 当 宽 松 的 条 件 （ 如 产 品 的 价 格 和 投 入 要 素 的 价 格 均 保持 不 变 ） ， 利 润 率 的 变 化 趋 势 将 完 全 取 决 于 生 产 函 数 的 具 体 形 式 。 换 句 话 说 ， 在 利 润 最大 化 的 假 定 条 件 下 ， 生 产 函 数 的 性 质 决 定 了 利 润 率 的 变 化 规 律 。二 、 利 润 率 方 程根 据 定 义 ， 利 润 率 等 于 利 润

6、（ 它 在 量 上 与 剩 余 价 值 完 全 一 致 ） 与 总 资 本 （ 简 称 资本 ） 的 比 率 。 用 公 式 表 示 即 是 ：2C这 里 ， 代 表 资 本 ， 1 和 分 别 代 表 利 润 和 利 润 率 。C进 一 步 来 看 ， 利 润 又 等 于 收 益 减 去 成 本 ， 而 收 益 是 产 出 数 量 与 价 格 的 乘 积 ， 成 本就 是 总 的 资 本 。 因 此 ， 如 果 用 和 分 别 代 表 产 出 的 数 量 和 价 格 ， 则 就 有 ：qp()()1Cpq这 里 ， 为 简 单 起 见 ， 我 们 假 定 产 品 的 价 格 不 随 资 本

7、的 变 化 而 变 化 ， 即 是 所 谓 的 “常 数 ”， 则 意 味 着 产 出 是 资 本 的 函 数 （ 后 面 将 会 看 到 ， 利 润 最 大 化 的 假 定 保 证 了 该 函 数()qC的 存 在 ） 。上 式 两 边 对 资 本 求 一 阶 导 数 后 得 到 ：* MERGEFORMAT (1)dpqC其 中 ， 等 式 右 边 括 号 中 的 第 一 项 是 产 出 对 资 本 的 一 阶 导 数 ， 通 常 可 称 为 资 本 的/边 际 产 出 ， 括 号 中 的 第 二 项 则 是 资 本 的 平 均 产 出 。 2 * MERGEFORMAT (1)式 表q明

8、 ， 在 假 定 产 品 价 格 固 定 不 变 的 条 件 下 ， 利 润 率 随 资 本 变 化 而 变 化 的 方 向 完 全 取 决p于 资 本 的 边 际 产 出 与 平 均 产 出 的 相 对 大 小 ： 如 果 资 本 的 边 际 产 出 大 于 平 均 产 出 ， 则 利 润率 将 随 资 本 的 增 加 而 上 升 ， 反 之 ， 如 果 资 本 的 边 际 产 出 小 于 平 均 产 出 ， 则 利 润 率 将 随 资本 的 增 加 而 下 降 ， 最 后 ， 如 果 资 本 的 边 际 产 出 恰 好 等 于 平 均 产 出 ， 则 利 润 率 将 不 随 资 本的 变

9、化 而 变 化 。* MERGEFORMAT (1)式 还 可 以 变 换 为 如 下 更 加 便 于 计 算 的 形 式 ：* MERGEFORMAT (2)221dpqCdpq这 里 ， dqC是 资 本 的 产 出 弹 性 。 根 据 * MERGEFORMAT (2)式 ， 我 们 又 可 以 说 ， 在 所 给 的 条 件 下 ，利 润 率 的 变 化 规 律 完 全 取 决 于 资 本 产 出 弹 性 的 相 对 大 小 。 如 果 资 本 的 产 出 弹 性 大 于 （ 等1 注 意 ， 在 马 克 思 主 义 经 济 学 中 ， 资 本 既 包 括 不 变 资 本 ， 也 包

10、括 可 变 资 本 。 它 等 于 购 买 生 产 资 料 和 劳 动的 全 部 支 出 。2 由 于 马 克 思 主 义 经 济 学 中 的 资 本 概 念 不 同 于 西 方 经 济 学 ， 故 这 里 的 资 本 边 际 产 出 和 平 均 产 出 的 概 念 也不 同 于 西 方 经 济 学 。3于 ， 小 于 ） 1， 则 利 润 率 就 随 资 本 的 增 加 而 上 升 （ 不 变 ， 下 降 ） 。由 * MERGEFORMAT (2)式 （ 或 * MERGEFORMAT (1)式 ） 可 知 ， 利 润 率 究 竟 是上 升 还 是 下 降 的 关 键 在 于 产 出 与

11、资 本 的 关 系 ， 即 函 数 。 只 有 在 知 道 了 该 函 数 的 具qC体 形 式 之 后 ， 我 们 才 可 以 求 出 资 本 的 产 出 弹 性 （ 或 者 ， 资 本 的 边 际 产 出 和 平 均 产 出 ） ，并 根 据 资 本 的 产 出 弹 性 （ 或 资 本 的 边 际 产 出 和 平 均 产 出 ） ， 确 定 利 润 率 的 变 化 规 律 。然 而 ， * MERGEFORMAT (2)式 （ 或 * MERGEFORMAT (1)式 ） 本 身 却 没 有 告 诉 我 们关 于 该 函 数 的 任 何 信 息 。* MERGEFORMAT (2)式 （

12、和 * MERGEFORMAT (1)式 ） 的 另 外 一 个 缺 点 是 ， 式中 的 产 出 没 有 经 过 “优 化 ”处 理 ， 因 而 不 一 定 是 “最 优 ”的 ， 或 者 说 ， 不 一 定 是 利 润q最 大 化 的 。 因 此 ， 用 它 来 确 定 的 利 润 和 利 润 率 也 不 一 定 是 最 优 的 。为 了 弥 补 * MERGEFORMAT (2)式 （ 和 * MERGEFORMAT (1)式 ） 的 不 足 ， 下 面根 据 生 产 函 数 的 性 质 和 利 润 最 大 化 的 要 求 来 推 导 最 优 产 出 、 最 优 利 润 和 最 优 利

13、润 率 ， 并说 明 最 优 利 润 率 的 变 化 规 律 。三 、 最 优 利 润 率首 先 ， 设 整 个 经 济 的 总 生 产 函 数 （ 简 称 生 产 函 数 ） 为 ：(,)qkl其 中 ， 和 分 别 代 表 生 产 资 料 和 劳 动 的 数 量 。kl其 次 ， 假 定 资 本 全 部 用 于 购 买 生 产 资 料 和 劳 动 。 在 这 种 情 况 下 ， 整 个 经 济 的 预C算 约 束 就 是 ：* CrkwlMERGEFORMAT (3)这 里 ， 和 分 别 代 表 生 产 资 料 和 劳 动 的 价 格 假 定 它 们 与 产 品 的 价 格 一 样 也

14、是 固 定rw不 变 的 。于 是 ， 整 个 经 济 的 利 润 方 程 可 以 写 成 ：* MERGEFORMAT (4)(,)pqklrwl利 润 方 程 * MERGEFORMAT (4)和 预 算 约 束 * MERGEFORMAT (3)共 同 构 成 了 完 整 的利 润 最 大 化 模 型 。利 润 最 大 化 的 一 阶 条 件 是 ： 0qprk40qpwll两 式 相 除 后 得 到 ： /lqkr它 与 预 算 约 束 * MERGEFORMAT (3)一 起 决 定 了 最 优 的 （ 即 能 够 使 利 润 达 到 最 大 的 ）要 素 数 量 和 。 和 显 然

15、 都 是 资 本 的 函 数 ， 即 有 ：kllC、()k()l将 最 优 的 要 素 数 量 代 入 * MERGEFORMAT (4)式 后 即 得 到 最 优 的 利 润 ：(), ()pqlrkwlC这 里 ， 和 分 别 表 示 最 优 利 润 和 最 优 产 出 。q相 应 的 ， 最 优 利 润 率 （ 用 表 示 ） 为 ：(,)(,)1pqklrlpqklCC 最 后 一 个 等 式 是 因 为 ： rkwl最 优 利 润 率 随 资 本 变 化 而 变 化 的 规 律 取 决 于 对 的 一 阶 导 数 。 它 等 于 ：* dpqCMERGEFORMAT (5)换 句

16、话 说 ， 在 假 定 产 出 和 要 素 的 价 格 均 保 持 不 变 的 条 件 下 ， 最 优 利 润 率 随 资 本 变 化 而 变化 的 规 律 完 全 取 决 于 最 优 的 资 本 边 际 产 出 和 平 均 产 出 的 相 对 大 小 ： 如 果 最 优 的 资 本 边 际产 出 大 于 （ 等 于 ， 小 于 ） 平 均 产 出 ， 则 随 着 资 本 的 积 累 ， 最 优 利 润 率 将 趋 于 上 升 （ 不 变 ，下 降 ） 。 与 前 面 的 * MERGEFORMAT (1)式 相 比 ， 这 里 的 * MERGEFORMAT (5)式 具有 完 全 相 同

17、的 形 式 ； 唯 一 的 区 别 是 ， 后 者 所 涉 及 的 相 关 变 量 均 已 经 过 优 化 。同 样 ， * MERGEFORMAT (5)式 也 可 以 变 形 为 ：* 2211dpqCdpqMERGEFORMAT (6)5其 中 ， Cdq是 最 优 的 资 本 产 出 弹 性 。 于 是 ， 我 们 又 可 以 说 ， 在 假 定 产 出 和 要 素 的 价 格 均 固 定 不 变的 条 件 下 ， 最 优 利 润 率 随 资 本 变 化 而 变 化 的 规 律 完 全 取 决 于 最 优 的 资 本 产 出 弹 性 ： 如 果最 优 的 资 本 产 出 弹 性 大 于

18、 （ 等 于 ， 小 于 ） 1， 则 随 着 资 本 的 积 累 ， 最 优 利 润 率 将 趋 于 上升 （ 不 变 ， 下 降 ） 。四 、 生 产 函 数 的 类 型 与 最 优 利 润 率 的 变 化现 在 ， 我 们 要 根 据 * MERGEFORMAT (6)式 来 说 明 在 某 些 类 型 的 生 产 函 数 之 下 最优 利 润 率 是 如 何 变 化 的 。 其 具 体 步 骤 是 ： 第 一 ， 根 据 给 定 的 生 产 函 数 和 约 束 条 件 ， 确定 最 优 的 要 素 ； 第 二 ， 根 据 最 优 的 要 素 ， 确 定 最 优 的 产 出 ； 第 三

19、， 根 据 最 优 的 产 出 ，确 定 最 优 的 资 本 边 际 产 出 ； 第 四 ， 根 据 最 优 的 资 本 边 际 产 出 ， 确 定 最 优 的 资 本 产 出 弹 性 ；最 后 ， 根 据 最 优 的 资 本 产 出 弹 性 ， 确 定 最 优 利 润 率 的 变 化 规 律 。1 对 数 生 产 函 数对 数 生 产 函 数 形 如 ：lnqkl相 应 的 利 润 方 程 为 ： (l)plrwl由 利 润 最 大 化 的 一 阶 条 件、/0kr/0l可 得 ： /klwr它 与 预 算 约 束 一 起 决 定 了 最 优 的 要 素 数 量 ：、2Ckrl于 是 ， 最

20、 优 产 出 、 最 优 资 本 边 际 产 出 以 及 最 优 资 本 产 出 弹 性 顺 序 为 ：、 、2ln4qrwdqC2q由 此 可 见 ， 在 对 数 生 产 函 数 条 件 下 ， 如 果 最 优 产 出 ， 则 最 优 利 润 率 随(,) 资 本 积 累 而 上 升 （ 不 变 ， 下 降 ） 。6若 把 最 优 的 资 本 产 出 弹 性 具 体 写 为 2ln(/4)Crw则 结 论 就 是 ： 当 时 ， 。 换 句 话 说 ， 在 这 种 情 况 下 ， 只 有 当(,) 2Crwe, 1资 本 的 数 量 很 小 （ 小 于 ） 时 ， 最 优 利 润 率 才 会

21、 随 资 本 的 积 累 而 上 升 ， 一 旦 超 过这 个 界 限 ， 资 本 积 累 就 会 导 致 最 优 利 润 率 下 降 。这 里 特 别 需 要 说 明 的 是 ， 一 般 而 言 ， 即 使 资 本 的 有 机 构 成 保 持 不 变 ， 利 润 率 仍 然 会随 资 本 的 积 累 而 变 化 。 例 如 ， 当 生 产 函 数 采 取 对 数 形 式 时 ， 尽 管 最 优 的 资 本 构 成 （ 用表 示 ） 为 常 数 ： 1rkwl但 随 着 资 本 的 积 累 ， 最 优 利 润 率 却 会 在 资 本 规 模 较 小 时 上 升 、 在 资 本 规 模 较 大

22、时 下 降 。这 个 结 果 对 下 面 的 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 也 成 立 。2 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 形 如 ：qkl(,0)其 中 ， 意 味 着 规 模 报 酬 递 增 （ 不 变 ， 递 减 ） 。 相 应 的 利 润 方 程 为 ：(,) 1plrkwl由 利 润 最 大 化 的 一 阶 条 件 10lrpk可 得 ： wlr它 与 预 算 约 束 一 起 决 定 了 最 优 的 要 素 数 量 ：、()Ckr()l于 是 ， 最 优 产 出 、 最 优 资 本 边 际 产 出 以 及 最 优 资 本 产

23、出 弹 性 顺 序 为 ：()()qCrw 71dq CCrw 由 此 可 见 ， 在 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 条 件 下 ， 如 果 ， 即 规 模 报 酬(,) 1递 增 （ 不 变 ， 递 减 ） ， 则 最 优 利 润 率 随 资 本 积 累 而 上 升 （ 不 变 ， 下 降 ） 。3 广 义 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数前 面 我 们 看 到 ， 在 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 的 条 件 下 ， 利 润 率 的 变 化 规 律 完 全 取 决于 生 产 函 数 中 包 含 的 参 数 之 和 的 大 小 ， 而 与 资 本 积 累 的 规 模

24、 无 关 。 如 果 大 于 1， 则 利 润 率 就 随 资 本 的 积 累 而 上 升 ， 反 之 亦 然 。现 在 来 看 一 个 不 同 的 情 况 广 义 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 。 与 柯 布 道 格 拉 斯生 产 函 数 不 同 ， 在 广 义 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 的 情 况 下 ， 利 润 率 的 变 化 规 律 不 仅 取 决于 生 产 函 数 中 参 数 的 大 小 ， 而 且 也 取 决 于 资 本 积 累 的 规 模 。广 义 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 形 如 ：00()(qkl(,0)其 中 ， 和 是 最 低 要 求

25、 的 生 产 资 料 数 量 和 劳 动 量 。 注 意 ， 这 里 的 参 数 之 和 不 再0kl 决 定 规 模 报 酬 的 性 质 。 相 应 的 利 润 方 程 为 ：00()(pklrkwl由 利 润 最 大 化 的 一 阶 条 件 1001()()pklrw可 得 ： 0klr它 与 预 算 约 束 一 起 决 定 了 最 优 的 要 素 数 量 ：、0()Cwlrkk0()Cwlrkl注 意 ， 最 优 的 资 本 构 成 现 在 不 再 是 常 数 ： 0lrkrkwlC8由 于 002wlrkdClr故 当 0rkwl时 ， ， 即 当 大 于 “初 始 ”的 资 本 构

26、成 时 ， 最 优 资 本 构 成 将 随 资 本 的 积/0dC/累 而 提 高 。最 优 产 出 、 最 优 资 本 边 际 产 出 以 及 最 优 资 本 产 出 弹 性 顺 序 为 ：0()()qCwlrkr10()()d lrCr 0Cwlrk由 此 可 见 ， 在 广 义 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 条 件 下 ， 如 果 ， 则 一 定 有1。 于 是 ， 最 优 利 润 率 随 资 本 积 累 而 上 升 ； 另 一 方 面 ， 如 果 ， 则 当1 0(,) 1lrkC时 ， ， 从 而 ， 最 优 利 润 率 随 资 本 积 累 而 上 升 （ 不 变 ， 下

27、降 ） 。(,) 1在 前 面 讨 论 对 数 生 产 函 数 和 柯 布 道 格 拉 斯 生 产 函 数 时 ， 我 们 曾 看 到 ， 即 使 资 本 的有 机 构 成 不 变 ， 最 优 的 利 润 率 仍 然 会 变 化 。 现 在 ， 我 们 又 看 到 ， 在 广 义 柯 布 道 格 拉斯 生 产 函 数 的 条 件 下 ， 最 优 利 润 率 甚 至 会 不 顾 资 本 有 机 构 成 的 提 高 而 上 升 ！ 例 如 ， 当大 于 “初 始 ”的 资 本 构 成 且 时 ， 结 果 就 是 如 此 。/1参 考 文 献 ：1 马 克 思 .资 本 论 ： 第 3 卷 M.北

28、京 ： 人 民 出 版 社 ， 1975.2 Okishio, N.: “Technical Change and the Rate of Profit”, Kobe University Economic Review, 1961.3 Okishio, N.: “A Mathematical Note on Marxian Theorems”, Welt-wirtschaftsliches Archiv, 1963, 91(2). 4 Laibman, David: “Okishio and His Critics: Historical Cost versus Replacement 9Cost”, In Paul Zarembka eds., Research in Political Economy: Economic Theory of Capitalism and Its Crises, Connecticut, Stamford, JAI Press Inc., 1999.5 Kliman, Andrew profit rate; maximization of profit; law of changes in profit rate