1、7第 1 页2017 年全国高中数学联赛模拟题 9一试考试时间上午 8：009：20，共 80 分钟，满分 120 分一、填空题（共 8 题，每题 8 分，64 分）1、 是周期为 5 的奇函数， ，则 。()fx(1)f(201)()ff2、设函数 ，若 表示不大于 的最大整数，则函数31xfx的值域是 。2fx3、 , 为多项式 的根，则013x3201232()()4、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则 2000 在表中出现 次。 5、已知二次函数 ，若对于21fxmx上的任意三个实
2、数 ，函数值0,1,abc都能构成一个三角形的三边长，,fabfc则满足条件的 的值可以是 。6、若 ，则 。0)(5yx7、如图从第一格跳到第 8 格，规定每次只能跳一格或者 2 格，则不同的跳格方法总数为 。8、等比数列 中， ，函数 ，则函na1201,4a12201()()fxaxa数在 处的切线方程为 。(0,)二、解答题（共 3 题，共 56 分）9、 （本题 16 分）如图，已知 O 为 的外心， 角 A、B、C 的对边，且满ABC,bc分 别 是足 。 （1）推导出三边 之间的关系式；（2）求 的值。COAB,atantA10、 （本题 20 分）设直线 （其中 ， 为整数）与
3、椭圆 交于不同两:lykxmk216xy点 ， ，与双曲线 交于不同两点 ， ，问是否存在直线 ，使得向量AB214CDl，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由0CD11、 （本题 20 分）已知函数 ， ，定义1fxnN对 于，偶函数 的定义域为 ，当 时，11,nnfxfxgx0xx。 （1）求 ；（2）若存在实数 使得该函数在 上的最大209gg,ab,ab值为 ，最小值为 ，求非零实数 的取值范围。mabm1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 20 28 36 44 48 64 80 112 1
4、44 7第 2 页2017 年全国高中数学联赛模拟题 9（二试）9：4012：10 共 150 分钟 满分 180 分平面几何、代数、数论、组合1、 （本题 40 分）设 的外接圆、内切圆半径分别为 、 外心到重心的距离ABCRr为 ，内心到重心的距离为 求证： ef22 4()Ref2、 （本题 40 分）数列 满足： ， （1）求数列 的通na1321*nnaNna项公式；（2）求证：数列 中的任两项互质。 （3）记 ， 为数列2nbanS的前 项和，求 的整数部分；nb209S3、 （本题 50 分）求证不等式： ， ，2，211lnnk 4、 （本题 50 分）求满足 的最小正整数16
5、 |205nn7第 3 页2017 年全国高中数学联赛模拟题 9参考答案一试1、8， (0),21)(09)(1)8fff2、0，1。解：由已知得 11, ,;2xfxfxf所 以 当 时 值 为 ,;,0;0,22fxf当 时 值 为 当 时 值 为 所 以 值 域 为3、1，设 为多项式的所有正根，由韦达定理有1,n变形为23122313xx （ ） （ ） （ ） 2（ ） 123231)xx（代入得 结合 得()1231x()1212)()1nnxx 4、解：由数表推得，每一行都是等差数列，第 n 行的公差为 ，记第 n 行的第 m 个数为 ,则nf,fff21,21, 24nnf算得
6、 12, 1nfmf mnN 答案为 4。2 43056n当 时 符 合 。5、 内的任一实数。解：由题意当 时， ；,0,0xi02naxfxf当 时， 不存在；min012ma0,fxffm当 时， ，不存在；1i2344x01ffxff当 时， ，022in101a2f ff 所以这时 ；1m当 时， ，122in1022max1fxf mff 所以这时 ；综上所述 。26、0 解：原方程可化为 考虑单调性55xyx0xy7第 4 页7、完成从第一格到第 7 格，每次跳一格，要跳 7 次才能完成。有 次跳 1 格， 次跳 2 格，xy则 2(,)xyN当 时，有 种跳法；当 时，有 种跳
7、法1,314C3,2xy35C当 时，有 种跳法；当 时，有 种跳法55607共有 种跳法8、 ， 则201yx1221()()gaa ()(fxgx切线斜率 50201kf9、解:（1）取 AB、AC 的中点 E、F，则 21()2COABABCBCAab同理 ；所以21ca2cb（2） 2sinsitantosiiniooabcBBABA 10、由 消去 化简整理得216ykxmy22348480kxm设 ， ，则 1Axy， 2Bx， 122x2213480kkm由 消去 化简整理得24k230kx设 ， ，则 3Cxy， 4Dxy， 342mx224310kk因为 ，所以 ，此时 由0
8、AB21042yy得 所以 或 由上式解得1234 28k22k或 当 时，由和得 因 是整数，所以 的值为 ，kmk3m3， ， ， ， ， 当 ，由和得 因 是整数，所以 ，01230m31k， 于是满足条件的直线共有 9 条11、解：（1）因为21 321, ,1 1xfxffxf ffxx f，fff , 220934 为 周 期所 以 迭 代 函 数 以设 ，10,xxgx则所以 1,0,gx图象如右：7第 5 页（2）因为 ；,0,0abmab又因为 ，所以 （否则 ，矛盾）10,ma当 11,(,fx b则 在 上 是 减 函 数 由 题 意所以 有两个不同实根，21, ,0,1
9、abmxxm是 方 程 的 两 不 同 实 根 在214010412gm 110,(,0),. mbaabfx 当 时 则 在 上 是 增 函 数 由 题 意不 合综上所述 。104m二试1、证：设点 为平面 上任意一点， 为 重心，则PABCGABC3G 229()( )PP222223)()PABABB 3CC设 ， ， ，则Bcba22221()3GPbc当 为外心 时， 即 PO3()eR221()9Reabc当 为内心 时，I222213()fIABCabc如图，内切圆 切三边于 、 、 ，设 ，IDEFAx， 而 ，从而DFyz22Ixr2213()3frxyabc 2221()9
10、abcyz DF EI AB C7第 6 页要证 ，只要证 22 4()Rerf 2224() xyzabc而 ， ， xbcaycbc ()()za223()所以只要证： 22 ab只要证： 2)() 0abc此式显然成立2、 （1）解：因为 2 2112 2111nnnnnna当 也成立，所以 ；121,n（2）因为 112121nn na a 所以 ，12因为 为奇数，所以对任意的n 121,nna与 前 面 项（3）解：因为 ，所以 ，又因为12nna1nnna，12nnba所以 ， 12na所以 ，所以 的整数部分为 1。2012091201S209S3、证明：首先证明一个不等式：
11、， ln()xx事实上，令 ， ()l()hx1g则对 ， ， 010x22() 0()(1)xx 于是 ， ()x()在中取 得 n1ln令 ，则 ，21lnkx12xn1n20()n因此 又因为112nxx1l(l)(l)l()(l)llnk 从而121nnkkx2lk 12nkk7第 7 页12()nk1()nk 1n4、解：设 ， ， 则qsNSq不 能 整 除2Asn 16162易知 ,故A不 能 整 除由 ，故可设205205s sn2由 ，下证s当 时， 上式显然成立1n假定 时，有 ，k16225kk则 当 时166 2221 kkkk易知 , 以及 k 5k 1k2则 50 0从而使 的最小正整数 为12nn20
