1、第 1 页 （共 15 页）专题二 代数应用型题二【考点透视】纵观近几年的中考数学试卷，应用题占有较大的比重，约占全卷总分的 20%左右这些应用题联系实际，贴近生活，从同学们的生活经验和已有的知识背景出发，创设了一个生动活泼的数学学习情景本专题主要研究应用数与式、不等式、函数以及统计知识解决的应用问题【典型例题】一、用数与式知识解决的应用题数式是最基本的数学语言由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法例 1某水库共有若干个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以 a 米/ 小时匀速下降某汛期上游的洪水在未开
2、泄洪闸的情况下使水库水位以 b 米/小时匀速上升，当水库水位超警戒线 h 米时开始泄洪如果打开 n 个水闸泄洪 x 小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式（2003 江苏省连云港市中考试题）分析：因为打开一个水闸泄洪，水库水位以 a 米/小时匀速下降，所以打开 n个水闸泄洪，水库水位每小时下降 na 米，同时汛期上游的洪水使水库水位以 b 米/小时的速度上升，两者相抵，水库实际每小时上升(bna )米解：表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式为(bna) x+h说明： （1）防洪抗洪是关系到国家和人民利益的大事，近几年的各种媒体加强了这方面的宣传力度题中涉及的防洪专业名词较多，也是同
3、学们应该了解和掌握的 （2）本题时可以与水池的进水和放水相类比，可以增强对题意的理解例 2（2001 天津）某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，第 2 页 （共 15 页）每个车间每天生产的成品也一样多有 A、B 两组检验员，其中 A 组有 8 名检验员，他们先用两天将第一、第二两个车间的所有成品（指原有的和后来生产的）检验完毕后，再去检验第三、第四两个车间的所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B 组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为 a 件，每个车间每天生产 b 件成品（1）试用 a，b 表示 B 组检验员检
4、验的成品总数；（2）求 B 组检验员的人数分析 （1）B 组检验员检验了 5 个车间的成品，每个车间原有 a 件成品，每天生产 b 件成品，则每个车间 5 天后的成品数为（a+5b）件B 组检验员检验的所有成品数为 5（a+ 5b）=5a+25b（件） （2）A 组有 8 名检验员，在前两天内检验了两个车间，每天检验的成品数为，后检验的 2 个车间 5 天后的成品数为 2（a 5b） ，8 名检验员在后三)(ba天内每天检验的成品数为 3)(ba因为检验员的检验速度相同，所以，有 ba43)(2)( ， 即因为 8 名检验员每天检验的成品数为 ，所以，一名检验员每天检验ba的成品数为 （件）
5、ba4382)(由（1）可知，B 组检验的 5 个车间 5 天后的成品数为 5（a+ 5b） ，这些检验员每天检验的成品数为 件，即（a+5b）件根据题意， a0，b0，所以，)(B 组检验员的人数为 12439a说明 建立 的相等关系是本题的难点，突破难点的关)(2)(键是抓住 A 组 8 名检验员“ 前两天每天检验的成品数= 后三天每天检验的成品数” ，第 3 页 （共 15 页）这是比较隐蔽的条件二、用不等式知识解决的应用题现实世界中的不等关系是普遍存在的许多问题有时并不需要研究他们之间的相等关系，而只需确定某个量的变化范围即可对所研究的问题有比较清楚的认识例 3某企业为了适应市场经济的
6、需要，决定进行人员结构调整，该企业现有生产性行业人员 100 人，平均每人全年创造产值 a 元，现欲从中分流出 x 人去从事服务性行业假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加 20%，而分流从事服务性行业的人员平均每人全年可创造产值 3.5a 元如果要保证分流后，该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，而服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后从事服务性行业的人数（2000 年江苏省南通市中考试题）分析：设分流后从事服务性行业的人数为 x 人，可创造产值 3.5a 元，则企业生产性人员还有（100x）人，可创产值（
7、120%）a（ 100x ） 分流前共创产值 100a 元，于是可列不等式组求解解：由题意，得 .1025.3,%)(ax即 解得 .0.,)1(2x357x x 为正整数，x 的取值为 15，16答：从事服务性行业的人员为 15 人或 16 人说明：本题的最后两句话提出了全年总产值的目标，这是列不等式组的依据请你进一步思考：本题从事服务性行业的人员 15 人或 16 人中，哪一个结果更第 4 页 （共 15 页）好？例 4为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备，现有 A、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：A 型 B 型价格（万元/台） 12 10处
8、理污水量（吨/月） 240 200年消耗费（万元/台） 1 1经预算，该企业购买设备的资金不高于 105 万元（1）请你设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为 10 年，污水厂处理费为每吨 10 元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10 年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费） （2003 年黑龙江省中考试题）分析： 若企业购买 A 型号的设备 x 台，则购买 B 型号的设备(10x) 台，根据表格给出的 A、B 两种型
9、号设备的有关信息，即可求出企业购买设备的资金解： （1）设购买污水处理设备 A 型 x 台，则 B 型(10 x)台由题意知，12x+10(10x ) 105，解得 x2.5x 取非负整数，x 可取 0，1，2有三种购买方案：购 A 型 0 台，B 型 10 台；购 A 型 1 台，B 型 9 台；购 A型 2 台，B 型 8 台(2)由题意，得 240x+200(10x)2040，解得 x1x 为 1 或 2当 x=1 时，购买资金为 121+l09=102(万元)；第 5 页 （共 15 页）当 x=2 时，购买资金为 122+ l08=104(万元)为了节约资金，应选购 A 型 1 台，
10、B 型 9 台(3)10 年企业自己处理污水的总资金为 102+1010=202(万元) 若将污水排到污水厂处理，10 年所需费用20401210l0=2448000(元)=244.8(万元) 244.8202=42.8(万元)，能节约资金 428 万元说明： 对于不同的购买方案，何种最优？最好的办法就是分类讨论三、用函数知识解决的应用题函数应用问题主要有下列两种类型：（1）从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系式；（2）由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式例 5某化工材料经销公司，购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每千克 30 元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克
11、 70 元，也不得低于 30元市场调查发现：单价定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克在销售过程中，每天还要支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算） 设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元（1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成 的形式，写abcay4)2(2出顶点坐标；在直角坐标系中画出草图；观察图像，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？（2001 年河北省中考试
12、题）分析： 若销售单价为 x 元，则每千克降低（70x ）元，日均多售出第 6 页 （共 15 页）2（70x）千克，日均销售量为602（70x）千克，每千克获利为（x30）元从而可列出函数关系式解： （1）根据题意，得（30x70） 650250)7(260)3( xxxy（2） ，顶点坐标为（65，1950） ，二次函数的草图19（略） 经观察可知，当单价定为 65 元时，日均获利最多，是 1950 元（3）当日均获利最多时，单价为 65 元，日均销售 602（7065）=70 千克，获总利为 1950700070=195000 元；当销售单价最高时，单价为 70 元，日均销售 60 千克
13、，将这种化工原料全部售完需 700060117 天，获总利为（7030）7000117500=221500 元因为 221500195000，且 221500195000=26500 元，所以，销售单价最高时获总利较多，且多获利 26500 元说明： 根据题意，正确列出二次函数关系式，是解决（2） 、 （3）两小题的关键这里，特别要注意自变量 x 的取值范围例 6 某市 20 位下岗职工在近郊承包 50 亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表请你设计一下种植方案，使每亩地都种上农作物，20 位职工都有工作，且使作物品种 每亩地所需职工数 每亩地
14、预计产值蔬菜 211100 元烟叶 3750 元小麦 4600 元第 7 页 （共 15 页）农作物预计总产值最多（2001 年甘肃省中考试题）解：设种植蔬菜 x 亩，烟叶 y 亩，则小麦有（50x y）亩根据题意，有所以 y=903x再设预计总产值为 w，则 w=1100x750y600（50x y）=500x150y 30000把 y=903x 代入上式，得 w=4350050x y=903x0， 0x 30，且 x 为偶数由一次函数的性质可知，当 x=30 时，y=0，50x y=20，w 最大 =45000 元，此时种蔬菜的人数为 15 人，种小麦的人数为 5 人答：种蔬菜 30 亩，
15、小麦 20 亩，不种烟叶，这时所有职工都有工作，且农作物预计总产值为 45000 元说明： 本题在求函数 y=903x 的最大值时，运用了一次函数的性质“当k0 时，y 随 x 的增大而减小 ”，可见基本函数的性质在解应用题时有着十分重要的作用四、用统计初步知识解决的应用题例 7某风景区对 5 个景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变有关数据如下表所示：景点 A B C D E原价（元） 10 10 15 20 25现价（元） 5 5 15 25 30平均日人数（千人） 1 1 2 3 2（1）该风景区称调整前后这 5 个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平问风
16、景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际第 8 页 （共 15 页）上增加了约 9.4%，问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客中，哪一个的说法较能反映整体实际？（2003 年安徽省中考试题）解： （1）风景区是这样计算的：调整前的平均价格：（10+10+15+20+15）5=16(元) ，调整后的平均价格：（5+5+15+25+30）5=16(元) 调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，平均日总收入持平(2)游客是这样计算的：原平均日总收入：101+101+152+20 3+252=160(千元)，现平均日总收入：51+51+152+
17、25 3+302=175(千元 )， 平均日总收入增加了（175160）1609.4%(3)游客的说法较能反映整体实际说明： 风景区采用了简单的求 5 种门票平均数的方法，回避了各风景区的游览人数，从而隐瞒了其实际收入，具有一定的欺骗性游客运用的是加权平均数的计算方法，不仅考虑到了 5 种门票价格，还考虑到了各类门票所对应的游览人数，由此确定风景区的实际收入，较为真实地反映了整体情况例 8为估计一次性木质筷子的用量，1999 年从某县共 600 家高、中、低档饭店中抽取 10 家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.
18、2 1.0(1)通过对样本的计算,估计该县 1999 年消耗多少盒一次性筷子 (每年按 350 个营业日计算)；(2)2001 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是 10 个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子 2.42 盒，求该县 2000年、2001 年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2001 年该县饭店第 9 页 （共 15 页）数、全年营业天数均与 1999 年相同） ；（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材 0.07 米 3，求该县2001 年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅计算中需用的有关数据为：每盒筷子 10
19、0 双，每双筷子的质量为 5 克，所用木材的密度为 0.5103 千克/米 3；(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来(2002 年吉林省中考试题)解：（1） .02).13.217.825.17.360(1 x该县 1999 年消耗一次性筷子为 2600350420000(盒) （2）设平均每年增长的百分率为 x，则2(1+x)2=2.42.解得 x1=0.1=10%, x2=2.1(不合题意 ,舍去).平均每年增长的百分率为 10%（3）该县 2001 年使用一次性筷子的木材可以生产学生桌椅套数为7260 套.07.15.35
20、6420.3（4）先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县（或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统计一次性木质筷子的用量说明：在快餐店等饮食行业，使用一次性木质筷子是普遍存在的现象，可大多数使用者并不知道或者不关心使用一次性木质筷子将消耗多少木材，因此，本题具有一定的现实教育意义另外，本题的第（3）小题还涉及到物理中的密度知识，是跨学科的综合问题解决代数类的实际应用问题，其求解过程可归结为以下几步：（1）审题分析题意，将条件和所求结果用正确的数学语言或数学符号来表第 10 页 （共 15 页）示；（2）建模寻找合适的数学模型（如不等式、方程、函数、统计初步知识等等） ；（3）解模将已知条
21、件代入数学模型，求解一个纯数学问题（如解方程、求二次函数的最大值或最小值等等） ；（4）还原将所获得的数学解还原到实际问题在审题时，要重视将条件和所求结果转化成用数学语言（符号）表示时的正确性，如果表示有误，建模就可能不正确，甚至会导致解题活动的失败【习题二】1某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需 8 元（包括空白光盘费） ；若学校自刻，除租用刻录机需 120 元外，每张还需成本 4 元（包括空白光盘费） ，问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由（2002 年浙江省绍兴市中考试题）2我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于 3 米/秒的时间共约 160 天，其中日平均风速不小于 6 米/秒的时间约占 60 天为了充分利用“风能”这种“绿色能源” ，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用 A、B两种型号的风力发电机根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：日平均风速 v（米/秒） v3 3v6 v 6A 型发电机 0 36 150日发电量（千瓦时） B 型发电机 0 24 90根据上面的数据回答：（1）若这个发电场购 x 台 A 型风力发电机，则预计这些 A 型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦时；
