1、1用心灵点燃智慧的火花图形的剪拼初探” 专题研究课课例分析浙江绍兴县教师发展中心 姚志敏(邮编 312030,电话 13588570402 )浙江省绍兴县实验中学 虞 青金秋十月，在风景怡人的西子湖畔，为期两天的“智慧课堂2009 西湖之秋”浙江省初中数学名师课堂教学展示峰会在浙江教育学院隆重举行。开课的八位老师均是来自浙江省各市县教学一线的名优教师，有的是全国优质课一等奖获得者,有的是省优质课一等奖获得者,他们代表了浙江省初中数学课堂教学的较高水平。八位老师，多种风格，不同 课型(有新课，有复习课,也有专题研究课),竞台亮相，尽显风流。这不仅是一次高水平的课堂展示活动，更是一次 对如何打造“
2、高效、智慧 ”数学课堂的深入探讨。作为本次活动的全程参与者，又是作为特邀的评课专家,感触良多，奈何笔力不胜，无法描 绘 所有授课教师的风采，故 撷取杭州市文澜中学卜春兰老师的一节“图形的剪拼初探 ”专题研究课进行总结回顾，愿与同行一起品评、商榷，以期有所收益。引入：（显示弦图） 师：同学们应该非常熟悉这张弦图， 2002 年在北京召开的国际数学家大会就是用这张弦图来作为会标。这张弦图非常巧妙地通过图形的拼割利用面积关系证明了勾股定理。我们一起来看一下，大正方形的面积是 c2，它被分割成了5 个部分，四个直角三角形的面积是 2ab，里面小正方形的面积是（b-a） 2，从而证得了 a2+b2=c2
3、.对图形进行剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，也是现在中考的一个热点这节课我们一起来剪拼图形，从中去发现一些数学知识。2点评：以一张非常熟悉弦图引入，这张弦图非常巧妙地通过图形的拼割利用面积关系证明了勾股定理。 卜老师以一句简短的导语 引出课题“ 这节课我们一起来剪拼图形，从中去发现 一些数学知识”，开 门见山，干脆利落。同时以 2002 年国际数学家大会会标激趣引入，（ 这里蕴含了图形的变换 思想与面积思想）极大地激发了学生对剪拼图形进行探究的欲望。师：下面我们开始研究图形的剪拼。问题一：两张完全相同的正方形纸片，你能把它们进行分割，重新拼成一个正方形吗？生 1：能。只要沿对角线剪开就可以
4、。师（把拼图用吸铁石吸在黑板上，并进一步追问）：为什么要这样剪，你是怎么想的？学生 1 回答后，教师补充归纳出：因为剪拼前后形状改变，但面积始终保持不变，每个小正方形的面积是 a2，所以我们要拼的正方形的面积是 2a2，由此，可以算出要拼的正方形的边长是 ，所以我们想到了沿对角线剪开来拼图。点评：卜老师抛出的“ 问题 一” ，既是 对等积变换和简单图形剪拼的复习，又为后续展开作准备。利用 图 形的剪拼再通过等积变换来展开，体验图形剪拼的重要性。老师的进一步追问： 为什么要这样剪，你是怎么想的？及时引导学生对裁剪线、拼法的探究，这是剪拼的难点。师生一起根据形 变积不变，求出正方形边长为 ，依据
5、这个特征数据 ，寻找裁剪方法，同 时考虑拼图时会出现的直a2a2角、平角等，故剪时要有意识地注意到怎样形成互余角、互 补角等问题。当学生已初步领略到剪拼的真谛时，教师把活动内容一变，把两个正方形的边长变成 1 和 2 ，抛出了 问题二的探究.问题二：若如图所示的两个正方形的边长分别是 2 和 1，你能重新分割，拼成一个正方形吗？3(这一问题有一定的难度, 卜老师先出示了如图的网格图形让学生独立探究:师：要使我们一刀剪下去就能成功，关键是要确定剪裁线，你觉得我们第一步要做的是什么？生 2：求出要拼的正方形的边长。（画一画：）师：这条剪裁线的位置可以在在哪儿呢？画出了要拼的正方形的边长，这个正方形
6、是否可以画出？怎么拼呢？学 生 3 回 答 ， 教 师 黑 板 上 画 图 示 范 ， 并 追 问 的 线 段 是 否 可 以 在 其 他 位 置 呢 ？5学生尝试在教师提供的课堂作业纸上画剪裁线，教师投影学生剪拼的几种方案,并一一作出分析和点评.等等.并继续问：你是怎么画出的？生 4：确定一条 的线段后，作垂线段。5生 5：找到四个相对应的点分别连接，使连接后的四条线段都是 长5师：同学们确定剪裁线的方案基本上是两种。一种是得到一条 的线段后，作垂线段；另一种是得到四条长度为 的线段再连接而成。为什么这样剪裁所5得到的四边形是正方形？卜老师再引导学生证明两种剪裁方式所得到的四边形是正方形。学
7、生 6、7 回答，教师板书证明过程。学生分小组拼图， （想象力丰富的同学可以直接在图中标出哪一块拼到哪儿，用数据标出即可。喜欢动手的同学可以剪一剪，拼一拼，你能拼出几种？4投影展示各种拼法。问题解决后师生共同总结出剪拼正方形的方法步骤：1、计算面积；2、求出边长；3、确定剪裁线；4、拼图点评：卜老师为了抛出“ 问题 二”, 先出示了田字形网格让学生独立画,这样降低难度的探究,是使学生的探究活动衔接自然,因为学生有了前面的基础，此时寻找剪裁线已有了方法，即寻 找剪裁线为 ,学生很自然地想到在网格中连一条线,使5构成的直角三角形的一条直角边为 1,另一条直角角边为 2 就可以找到剪裁线为,教师再适
8、时引导学生证明两种剪裁方式所得到的四边形是正方形。这体现数5学思维的严密性、严谨性。同时出示和点评学生的四种剪拼方法 ,体现了数学思维的发散性.在拼图后基础上, 师生共同总结拼正方形的方法步 骤,为接下来的探究一般规律的“ 问题三” 作好了 铺垫.问题三：两个边长任意不妨分别记为 a,b 的正方形，你能重新分割，拼成一个正方形吗？生 8：应该还是用跟刚才一样的方法。只是现在拼后的正方形的边长变了。5师：前面的拼法是否还成立？师生一起分析，教师并用几何画板演示说明， “问题二”中所展示的 4 种拼法中的第一和第四种不能拼成，其余方法都能拼成。师：现在请同学们再仔细观察我们拼的这一个图，这个图就是
9、三千多年前我们的祖先拼出的青朱出入图，若把拼出的正方形的边长记为 c，由拼图（教师讲解，动画演示青朱出入过程）可知： ，而 a,b,c 恰好是直角三角22cba形的三边。所以刚才我们用拼图的方式验证了勾股定理。这幅青朱出入图在大数学家华罗庚的建议下，被我国第一颗人造卫星“东方红一号”载上了太空。非常有意义，我们班的同学也非常伟大，今天拼出了能载入太空的青朱出入图。点评：在上面探究的基础上卜老师不失时机地提出了“问题三” ：两个边长任意，不妨分别记为 a,b 的正方形，你能重新分割，拼成一个正方形吗？前面的拼法是否还成立？学生由于有前面活动经验和剪拼的原则，能较为顺利解决“ 问题三”。这样 的设
10、计体现了从特殊到一般的数学思想 ,卜老师又进一步指出：刚才拼成的图中，第三个图就是三千多年前我 们的祖先拼出的青朱出入图，这幅青朱出入图在大数学家华罗庚的建议下，被我国第一颗人造卫星“ 东方红一号”载上了太空，非常有意义，今天同学也非常 伟大，拼出了能 载 入太空的青朱出入图，这是课堂上实施的很有效的激励性评价，既是对学生学习成就的认可，也能更好地激励学生的探索热情与爱国情怀，可谓极佳的评语。6师：(启发提问) 如图(1) 拼法是把大正方形分割成四块三角形，拼在小正方形的四周，刚好拼出了一个大正方形。请同学们思考一下，能否把大正方形分割成四块完全相同的其他形状，如图(2)，再拼成一个大正方形状
11、吗？生 9：应该可以吧。师：怎样才能把正方形分成四块完全相同的形状呢？生 10：经过对角线交点作两条互相垂直的线段，师：很好，那么我们现在沿这两条折痕剪开，请同学们拼一拼，你能拼出来吗？（学生拼图后教师动画演示）师：拼后的正方形的边长在原图形中是哪一条线段，你能找出来吗？四个直角呢？生 11：一一回答正确。师：现在我们再进一步，你把如图(3)的正方形 ABCD剪成不完全相同的四部分，再拼成大正方形吗？若能，你觉得剪裁线 EG、FH 应满足什么条件？学生回答后，拼图(4)，教师并结合动画说明。师：根据刚才拼图(4)的方法，已经能把已知的两个小正方形拼成一个大正方形的同学请举手。绝大多数同学都举手
12、。师：同学们都很聪明，没有弄明白的同学不妨自己课后再去试一试。接下去我们再来看另一个问题。点评：当难点突破后，就容易出现各种不同情况的剪拼，这时教师提出能否把正方形剪成相同四块拼在小正方形旁。有前面的基础，学生的探究就在对角线上作适当变换完成。即：经过对角线交点作两条互相垂直的线段，沿这两条折痕剪开拼一拼。接着教师提出新问题把正方形 ABCD 剪成不完全相同的四部分， 能拼成如图(4)的形状 吗？若能，你觉得剪裁线 EG、FH 应满足什么条件？在原有几种剪拼方法的基础上，学生又探索到：只要找到 的裁剪线，再找一条与之垂直57的另一条线剪开，就能把已知的两个小正方形拼成一个大正方形。这时好多学生
13、已热情高涨了。师：(小结 )在前面的拼图过程中，通过拼图证明了几千年前我们祖先发现的勾股定理，把一个式子用图形直观地表示出来，体现了数形结合思想。通过拼图，实现了图形的转化，这里把两个正方形的问题转化为一个正方形，体现了转化思想。这两种思想方法都是非常重要的数学思想方法，希望同学们通过今天的学习，能对此有更深刻的理解。下面我们来应用一下刚才学到的知识。问题四：(拓展应用) 若有如图所示的 5 个边长相同的正方形，你能重新分割，拼成一个正方形吗？点评：一语激起千层浪！很多学生跃跃欲试。学生小组合作练习解决，在教师提供的课堂作业纸上画出剪裁线，用数字标出拼图方案。 （可以通过剪拼帮助解决）随后投影
14、展示各种拼图方法。问题五：如图，将正方形沿图中虚线（其中 x y）剪成四块图形，用这四块图形恰能复原成一个矩形（非正方形） （1）画出拼成的矩形的简图； （2）求 的值y师生共同解决，学生回答，教师板书。点评：最后在学生掌握剪拼的基本方法的基础上，出示了二个应用，使学生的活动推向高潮，第二个应 用更是拓展性应用，正方形既可以剪拼成正方形 ,正方形也同样可以剪拼成矩形,是对本堂研究课的外延的拓展 .可从已拼好的图形中分8解，并完成图中隐含的等量关系来求出 。yx小结：师：图形的剪拼似乎是一种儿童游戏，但是通过拼图却能解决数学中的许多问题。这节课你获得了哪些知识，有哪些感想？有了哪些收获？请你说出
15、来与大家分享。学生一一交流回答后，教师补充总结：拼图中蕴涵了许多数学知识，从边、角的视角看：相等的边拼到一起，互余的角构成直角，从图形的整体看，其中有面积关系，相似图形。当然有时候也可以从图形的内部看，其实，研究任何一个图形都可以从这几个视角出发。同学们在以后的学习过程中可以用心去慢慢体会。（1）图形的剪拼要抓住本质特征：形状改变，面积不变（2）几点注意：思维的严密性、严谨性（3）体验三种思想：图形变换思想（旋转、平移、轴对称） ，转化思想，数形结合思想。华罗庚的一首诗： 数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。结束语：数形结合是多么神奇。我们这节课只是探究了剪拼正方形
16、的情况，所以老师把它叫做初探，实际上还可以把矩形拼成正方形，三角形或任意四边形拼成平行四边形、矩形或正方形等等。课后同学们可以自己确定尺寸去试一试，并把自己的研究成果一一记录下来，和老师、和同学一起交流，好吗？ 点评：小结语也精彩，总结出图形的剪拼要抓住本质特征。课堂结语道出图形的剪拼不只停留于正方形，拓展了学生的思想空间，带着问题走出课堂，真正把课内研究向课外研究延伸。 9总评：这是一节精心设计的且比较成功的数学专题探究课，从教学设计到课堂驾驭上都体现出教师深厚的教学功底。整堂课以五个问题的解决串成一条教学主线，所选素材既紧扣教材又超越教材，把听课 老师带入了一个全新的视野。清晰的课堂主线，
17、灵活的解 题方法，多种数学思想的渗透式教学， 执教老师让大家领略了真正研究型教师的风范。卜老师恰当地设置了五个剪拼问题，以此作为承载核心知识和培养能力的载体，整堂课围绕剪拼正方形 这条主线贯穿教学过程，主线明确；体现出运动变换，数形 结合，特殊到一般，方程思想、转化思想；观察、实验猜想推理的课堂教学。教学主体部分 紧紧围绕剪拼正方形层层设问递进，在学生对教学内容感觉冲突、矛盾时，及时抓住切入的良机，适 时提出具有思考价 值的问题，不断激发他们思考和探索的兴趣，有效化解学生的认知冲突，变矛盾为和谐。在剪拼中总结方法、归纳思想，培养学生的动手操作能力，增强了对图形的感知能力，进一步提高了学生自觉运
18、用数学知识解决问题的能力。其次，卜老师将多媒体的辅助作用和教学指导有机地结合起来，多媒体课件起到锦上添花的作用。特 别是借用多媒体展示剪拼的过程和剪拼后的效果，直观生动，使学生在解决剪拼正方形问题的过程中提高了数学思维能力。整堂课在剪拼正方形的探究活动中，牢牢抓住“图形剪拼的 实质就是形状改变、面积 不变” 这一数学本质，学 习了图形变换思想，转化思想，数形结合思想，体会了数学思维的严密性、 严谨性。教 师与学生一起在不断合作、探究中一路走来，师生互 动频繁，数学活动真实有效。老 师又能适 时抓住时机，在数学活动中揭示数学的本质，课堂已达到使学生浅池戏水，深池激浪，达到深思高出的教学效果。10总体而言，这既是一堂能采用新理念新思路的专题探究课，又是一堂能大胆整合教材，培养学生能力的创新课，教 师的理性引 领犹如火种，点燃学生 头脑中智慧的火花，师生在合作探 讨中共同向思维的纵深处行进，彼此用心感悟，用智慧打造科学高效的课堂， 值得我们学习与借鉴。(作者：姚志敏：浙江省特级教师、正教授 级中学高级教师，身份证号330621196106276637 )
