1、1用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1正数数列 的前 项的和 ，满足 ，试求：nanS12na（1）数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项的和为 ，求证：1nabnbnB2n解：（1）由已知得 ， 时， ，作差得：2)(4nS1)(4naS 1224nnnaa，所以 ，又因为 为正数数列，所以 ，即 是公差为2的等差0)(11nn n 1n数列，由 ，得 ，所以2aa（2） ，所以)12()2(1 bn )(153( nnBn真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列 的前 项的和, ，a14233nnSa,A（）求首项 与通项 ；（）
2、设 ， ，证明： .1an2nTS1,A1iT解: ()由 S n= an 2n+1+ , n=1,2,3， , 得 a 1=S1= a1 4+ 所以a 1=2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 43 13 23 43 13 23再由有 S n1 = an1 2n+ , n=2,3，4,43 13 23将和相减得: a n=SnS n1 = (ana n1 ) (2n+12 n),n=2,3, 43 13整理得: a n+2n=4(an1 +2n1 ),n=2,3, , 因而数列 a n+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1 = 4n, n
3、=1,2,3, , 因而a n=4n2 n, n=1,2,3, ,()将a n=4n2 n代入得 S n= (4n2 n) 2n+1 + = (2n+11)(2 n+12)43 13 23 13= (2n+11)(2 n1) 23Tn= = = ( )2nSn 32 2n(2n+1 1)(2n 1) 32 12n 1 12n+1 1所以, = ) = ( ) 1）1112()()nnnnaSa化简得： 12(),)()1(nn 32)1(3)(nn故数列 是以 为首项, 公比为 的等比数列.32)(na21a故 )()1(nn 2(1)3nn数列 的通项公式为： .na2()nna观察要证的不
4、等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的 去掉，就可利用232451111 ()mmaa 1等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知： ，3232，因此，可将 保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对434321212进行分类讨论，（1）当 为偶数 时，mm)4(aa54 )1654 maa)221(344m83217（2）当 是奇数 时， 为偶数，m)4(87111165454 maaaa所以对任意整数 ，有 。54本题的关键是并项后进行适当的放缩。63.（
5、07武汉市模拟）定义数列如下： Nnaan,1,2211求证：（1）对于 恒有 成立； （2）当 ，有 成立；Nnn且 1211aann（3） 21206206 aa分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由 得：121nna )1(1nn )1(1nna )(2a以上各式两边分别相乘得： ，又)(1211ann 21121ann（3）要证不等式 ，2062106 aa可先设法求和： ，再进行适当的放缩。20621)(1nnannna11 1nna20621 )1()()( 2072063221 a又2071a2061a2061061a原不等式得证。2061 本题的关键是根据题设条件裂项求和。用放
6、缩法处理数列和不等问题（学生版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）7例1正数数列 的前 项的和 ，满足 ，试求：nanS12na（1）数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项的和为 ，求证：1nabnbnB2n真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列 的前 项的和, ，na14233nnSa,A（）求首项 与通项 ；（）设 ， ，证明： .1an2nTS1,A1iT二先放缩再求和1放缩后成等比数列，再求和8例2等比数列 中， ，前 n项的和为 ，且 成等差数列na12nS798,S设 ，数列 前 项的和为 ，证明： nnb12nbnT13n真题演练2：(06福建卷理科22题
7、)已知数列 满足na*11,2().naN（I）求数列 的通项公式；na（II）若数列 滿足 ，证明：数列 是等差数列；b121*4()nnbbb nb（）证明： .231.naNa2放缩后为“差比”数列，再求和9例3已知数列 满足： ， 求证：na1)3,21()(naan 1123nna3放缩后成等差数列，再求和例4已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ,且 .nanS2naS(1) 求证： ；214naS(2) 求证： 11222n nSS练习：101.（08南京一模22题）设函数 ，已知不论 为何实数，恒有 且213()4fxbx,(cos)0f.对于正数列 ，其前n项和 ， .(2sin)0fa()nSfa*)N() 求实数b的值；（II）求数列 的通项公式；（）若 ，且数列 的前n项和为 ，试比较 和 的大小并证明之.1,nncNacnTn162.（04全国）已知数列 的前 n项和 满足： ， anSnna)1(2（1）写出数列 的前三项 ， ， ；（2）求数列 的通项公式；n13a（3）证明：对任意的整数 ，有4m8754m3.（07武汉市模拟）定义数列如下： Nnaan,1,2211求证：（1）对于 恒有 成立； （2）当 ，有 成立；Nnn且 1211aann（3） 21206206 aa
