1、与高考同行 中学数学文摘 2006 年第 1 期15A BCDxyA1 B1C1D1 z图 1用平面的法向量解高考立体几何试题张靖松平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器，开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决 2005 年全国高考试卷中的立体几何试题。一、平面法向量的概念和求法向量与平面垂直 如果表示向量 a 的有向线段所在的直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a 。平面的法向量 如果 a ，那么向量 a 叫做平
2、面 的法向量。一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量 或 ，或(,1)nxy(,)nxz，在平面 内任找两个不共线的向量 。由 ，得 且(1,)nyzab0a，由此得到关于 的方程组，解此方程组即可得到 。有时为了需要，也求法0b ,xy向量 上的单位法向量 ，则 。n0n例 1 在棱长为 1 的正方体 中，1ABCD求平面 的法向量 和单位法向量 。ACDn0n解：建立空间直角坐标系，如图 1，则 ，(,)。设平面 的法向量 。(0,1)1xy得 ， 。,AC(,0)AD
3、又 面 ，得 ， 。有 ，得 。n1nC1(,)1,0)xy1xy， 。(,)0(,)3(,)二、平面法向量的三个引理为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以顺利地解决立体几何问题。与高考同行 中学数学文摘 2006 年第 1 期16A BO n图 21n2图 3引理 1 设向量 是平面 的单位法向量，点 B 是平面 外一定点，点 A 是 内任意一0n点，则点 B 到平面 的距离 。0dAn证明：如图 2，过 B 作 BO 垂直平面 于 O，在平面 上任取一点 A，则 为 与 的夹B角，设为 。在 中， ，RtOd得 。0cosnAdABBnB 例 2 在例
4、 1 中，求点 到平面 的距离。11CD解析：由例 1 的解答知，平面 的单位法向量 ，1A03(,)n又 ，设点 到平面 的距离为 ，则1(0,)A11d。1033,(,)dn所以，点 到平面 的距离为 。1A1CD3说明：利用引理 1 求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。引理 2 设 AB 是平面 的斜线，BO 是平面 的垂线，AB 与平面 所成的角,BO向量 与 的夹角 （见图 2） ，则 。 （证略）AnABOsincoABn例 3 在例 1 中，求直线 与平面 所成的角。11CD解析：由例 1 知， ， ，(
5、,)n(0,)，即 。13sinA3arcsin引理 3 如图 3，设向量 与 分别是二面角1n2中的两个半平面 ， 的法向量，l与高考同行 中学数学文摘 2006 年第 1 期17ABCDEA1 B1C1D1xyz图 4则向量 与 的夹角 的大小就是1n212,n所求二面角或其补角的大小。 （证略）例 4 在例 1 中，求二面角 的大小。1DAC解：由例 1 知，平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，1(,)nDAC2(0,1)n设二面角 的大小为 ，则1AC，得 。21(,)0,13cosn3arcos说明：由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量 与 的夹角可能等于所求1n2二面
6、角的平面角，如本例；也可能等于二面角的平面角的补角，如若 ，(0,1)则 ，12123cos, cosn于是 。12 3,(ar)arcs3如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱 l按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，若方向相反，则互补。三、利用法向量解 2005 年高考立体几何试题例 5 （05 江西 理）如图 4，在长方体 ABC中，AD= =1，AB=2，点 E 在棱 AB1ABCD1A上移动。（）证明： ；1E（）当 E 为
7、 AB 的中点时，求点 E 到面的距离；1ACD与高考同行 中学数学文摘 2006 年第 1 期18（）AE 等于何值时，二面角 的大小为 。1DEC4分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ， ，AEa1(,0)1(,)D，(1,0)Ea， 。A(,2)C（）证明：由 ， ，1(,0)DA1(,1)Ea，有 ，于是 。1(,)Ea DAE1AD（）E 是 AB 的中点，得 。(,)， ， 。1(,)D120AC1(,0)设平面
8、 的法向量为 ，单位法向量为 ，1(,)nxyn由 ，解得 。10nA(,)1,20)201xy12xy于是 ，有 。(,)2n0(,)2(,)314n设点 E 到平面 的距离为 ，则1ACDd。1021(,),)3dn所以点 E 到平面 的距离为 。1A（）平面 的法向量 ，设平面 的法向量 。DC(0,1)n1DEC2(,1)nxy又 ， 。(,20)a1,2与高考同行 中学数学文摘 2006 年第 1 期19ABC DEFxyzP图 5由 ，得210nECD(,1),20)xya，解得 ，于是 。()20xya21y21(,)an设所求的二面角为 ，则 。4有 ，得 。1221(0,),
9、)2cos,4aDn 21()4a解得 ，23a所以，当 AE= 时，二面角 的大小为 。1ECD4例 6 （05 全国卷）如图 5，四棱锥 中，PAB底面 ABCD 为矩形， 底面 ABCD，AD=PD ，PDE，F 分别 CD、PB 的中点。（）求证：EF 平面 PAB；（）设 AB= BC，求 AC 与平面 AEF 所成角的大小。2分析：本题考查的是立体几何的重点内容：直线与平面垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理论证能力，本题也是一题两法。（）证明：建立空间直角坐标系（如图 5） ，设 AD=PD=1，AB= （ ） ，则 E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,
10、0),B(2a,1,0),P(0,0,1), .2a0 1(,)2Fa得 ， ， 。1(,)EF(2,1)PBa(2,0)Aa由 ，得 ，即 ，0AEFBA同理 ，又 ，所以，EF 平面 PAB。（）解：由 ，得 ，即 。2ABC2a与高考同行 中学数学文摘 2006 年第 1 期20ABCDMP图 6得 ， ， 。2(,0)E21(,)F(2,0)C有 ， ， 。(,)AC(,)AE1(,)2EF设平面 AEF 的法向量为 ，,1nxy由 ，解得 。0nEFA1(,)0,)2,xy102yx12yx于是 。(2,1)n设 AC 与面 AEF 所成的角为 ， 与 的夹角为 。ACn,ACn则
11、。(2,10)(1)3sinco, 6n得 。3ari6所以，AC 与平面 AEF 所成角的大小为 。3arcsin6说明：用传统的几何方法，在限定的时间内，很难找到 AC 与平面 AEF 所成的角。而利用平面的法向量解题，可顺利地避开这一切麻烦，只要找到平面的法向量 ，利用向量n间的代数运算，可方便简捷地解决此题。利用法向量也可顺利求解 2005 全国卷第 18 题：如图 6 已知四棱锥 的底面为直角梯PABCD形，AB/DC， ， 底面 ABCD，09且 PA=AD=DC= ，M 是 PB 的中点。12（）证明：面 PAD 面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与
12、面 BMC 所成二面角的大小。解：（略）说明：本题求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，无论是用传统的几何方法与高考同行 中学数学文摘 2006 年第 1 期21还用一般的向量方法，都很不易解决，这也是造成立体几何解答题得分不高的原因之一，如果采用平面的法向量解题，情况就大不相同了，请大家仔细体会。以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。（摘自试题与研究2005/26 高考数学）
