1、- 1 -难点 16 三角函数的诱导公式运用三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.难点磁场() 已知 ,cos( )= ,sin( + )= ,求 sin2 的值24313253_.案例探究例 1不查表求 sin220+cos280+ cos20cos80的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.http:/技巧
2、与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220+cos280+ sin220cos803= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos8011=1 cos40+ cos160+ sin20cos(60+20)23=1 cos40+ (cos120cos40sin120 sin40)+ sin20(cos60cos201 3sin60 sin20)=1 cos40 cos40 sin40+ sin40 sin2202443=1 cos40 (1cos40)= http:/ 31解法二：设 x=sin220+c
3、os280+ sin20cos803y=cos220+sin280 cos20sin80，则x+y=1+1 sin60= ，xy=cos40+cos160 + sin100313=2sin100sin60+ sin100=0x=y= ，即 x=sin220+cos280+ sin20cos80= .41341例 2设关于 x 的函数 y=2cos2x2acos x(2 a+1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)=- 2 -的 a 值，并对此时的 a 值求 y 的最大值.21命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属级题目知识依托：二次函数在给定
4、区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由 y=2(cosx )2 及 cosx1，1得：a24f(a) )2( 412( af(a)= ,14a= a= 2,+ 81)故 2a1= ，解得：a=1，此时，y=2(cosx+ )2+ ，当 cosx=1 时，即 x=2k ，kZ ，y max=5.例 3已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ ) sin2x+sinxcosx3(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x
5、的值；(3)若当 x ， 时，f(x)的反函数为 f1 (x)，求 f-1 (1)的值.127命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求 f-1 (1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：( 1)f(x)=2cosxsin(x+ 3) sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos +cosxsin ) sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+ cos2x=2sin(2x+ )3f(x)的最小正周期 T=(2)当 2x+
6、 =2k ，即 x=k (kZ)时，f(x)取得最小值2.32125(3)令 2sin(2x+ )=1，又 x ,7- 3 -2x+ , ,2x + = ，则3365x= ，故 f-1 (1)= .44锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1给角求值，2给值求值，3给式求值，4求函数式的最值或值域，5化简求值.2.技巧与方法：1要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4求最值问
7、题，常用配方法、换元法来解决.歼灭难点训练一、选择题1.()已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均 tan 、tan ，且 ， ( )，则 tan 的值是 ( )2,A. B.2 C. D. 或21 341二、填空题2.() 已知 sin = ， ( ， )，tan( )= ，则 tan( 2 )53=_.3.()设 ( )， (0， )，cos( )= ，sin( + )= ，则4,44534135sin( + )=_.三、解答题4.不查表求值: .10cos)37tan(in130si25.已知 cos( +x)= ，( x )，求 的值.4574xta1sin2i6.()已
8、知 = ，且 k (kZ ).求 的38 )4(sin2ics)o(2最大值及最大值时的条件.7.()如右图，扇形 OAB 的半径为 1，中心角 60，四边形 PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点 P 的位置，并求此最大面积.8.()已知 cos +sin = ，sin +cos 的取值范围是3D，xD，求函数 y= 的最小值，1042logx并求取得最小值时 x- 4 -的值.参考答案难点磁场解法一： ,0 . + ,243443sin( )= .5)(sin1)cos(,15)(cos1 22 sin2 =sin( )+( + )=sin( )cos( + )+cos( )si
9、n( + ).65312)543解法二：sin( )= ,cos( + )= ,54sin2 +sin2 =2sin( + )cos( )= 672sin2 sin2 =2cos( + )sin( )= 540sin2 = 65)4072(1歼灭难点训练一、1.解析：a1，tan +tan =4a0.tan +tan =3a+10,又 、 ( , ) 、 ( , ),则 ( ,0),又222tan( + )= ,342tan1)tan(,34)1(tan1t 又整理得 2tan2 =0.解得 tan =2.2t32答案：B2.解析：sin = , ( , ),cos =554则 tan = ,
10、又 tan( )= 可得 tan = ,432121247)3(412tan1t)2tan( .34)(tan2ta2- 5 -答案： 2473.解析： ( ), (0, ),又 cos( )= .3,4245365)sin( .65134)2(53)4sin()si()43cos(c)s( 2)43()in(i .132)4cos(,1)sin().,(.,05)4s 即答案：三、4.答案：2 75283)4()4cos(in2 sincoc)(sicosin1ita1sii 54),2435,472 .27(cossin,)cos(:.5 x xxxxxx又 解 2)3sin(2)1(32
11、sin(4.438,82cos2sin)sin(i2 )2sin1(4cssin)cs(141)cos(si )4(i2in)(:.6 222 tt令解（kZ）, （kZ）- 6 -当 即 （kZ）时, 的最小值为1.,232k34)32sin(7.解：以 OA 为 x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设 P 的坐标为(cos ,sin )，则PS=sin .直线 OB 的方程为 y= x，直线 PQ 的方程为 y=sin .联立解之得Q( sin ；sin )，所以 PQ=cos sin .3 3于是 SPQRS=sin (cos sin )= ( sin cos sin 2 )= (
12、 sin2 3 3)= ( sin2 + cos2 )= sin(2 + ) .2cos13212360 , 2 + . sin(2 + )1.6651sin(2 + )=1 时，PQRS 面积最大，且最大面积是 ，此时， = ，点 P 为 的66中点，P ( ).21,38.解：设 u=sin +cos .则 u2+( )2=(sin +cos )2+(cos +sin )2=2+2sin( + )34.u 21,1u1.即 D=1,1,设 t= ,1x1,1t .x= .3523t.21,32,258log2l8log ,0log.,42.824103.05.05.0min 5.0max2 xty MyMttttxM此 时时 时 是 减 函 数在时即当 且 仅 当
