1、D 题（抢渡长江）参考答案第 1 页，共 4 页2003 高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）D 题（抢渡长江）参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x(t), y(t) 以速度 前进，其中游()cos)in)uttu，速大小 u 不变。要求参赛者在流速 给定的情况下控制 (t) 找0,v到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H)，如图 1。 这是一个最优控制问题: HTytudty LxvxtsTMin)(,0)(),(si,co.可以证
2、明，若 (t)为连续函数, 则 (t)等于常数时上述问题有最优解。证明见: George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control, Plenum Press, 1981. pp. 130 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根据题意，该内容不要求同学知道。 ）1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令 ，而流速)sinco()utu， 其中 u 和 v 为常数, 为游泳者和 x 轴正向间的夹角。于是游泳者的路)0,(vt线 (x(t), y(t) 满足（1）cos,()0,()in,d
3、uxTLtyHT 是到达终点的时刻。 令 ，如果 (1) 有解, 则cosz（2）221,1)( )()zTututyvLvx即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且（3） 22HLTzvzvz若已知 L, H, v, T, 由（3）可得（4）zTuvL,)(22yxL0Huv图 1D 题（抢渡长江）参考答案第 2 页，共 4 页由（3）消去 T 得到 （5）)(12vuzHLu给定 L, H, u , v 的值，z 满足二次方程（6）0) 22222 uL（6）的解为（7）2221()HvLHvzu，方程有实根的条件为（8）2Lvu为使（3）表示的 T 最小，由于当 L, u, v 给定时
4、, ， 所以(7) 中 z 取较大的0dzT根, 即取正号。将（7）的 z1 代入（3）即得 T，或可用已知量表为（9）22)(vuLHLT以 H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成绩 T=848 s 代入（4） ，得 z= -0.641, 即 =117.50，u=1.54 m/s。以 H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和 u=1.5 m/s 代入（7） ， （3） ，得 z= -0.527, 即 =1220，T=910s，即 15 分 10 秒。2. 游泳者始终以和岸边垂直的方向（y 轴正向）游, 即 z =
5、0, 由（3）得 T =L/v529s, u= H/T2.19 m/s。游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点, 被冲到终点的下游去了。 注：男子 1500 米自由泳世界记录为 14 分 41 秒 66, 其平均速度为 1.7 m/s。式（8）给出 了能够成功到达终点的选手的速度，对于 2002 年的数据，H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，需要 u 1.43 m/s。假设 1934 年竞渡的直线距离为 5000 m, 垂直距离仍为 H = 1160 m, 则 L=4864 m, 仍设 v= 1.89 m/s，则游泳者的速度只要满足 u 0.44 m/s
6、，就可以选到合适的角度游到终点。( 游 5000 米很多人可以做到 )3. 如图 2，H 分为 H=H1+H2+H3 3 段，H1= H3=200 m, H2=760 m, v1= v3=1.47 m/s，v 2= 2.11m/s, 游泳者的速度仍为常数u=1.5 m/s, 有 v1，v 3 u, 相应的游泳方向 1， 2 为常数。路线为 ABCD, AB 平行CD。L 分为 L=L1+L2+L3, L1=L3, 据（8） ，对于 v2 u, L2 应满足（10）)75mH（ L1C DB21 H3H1uuA 3uL2 H2v2v1v3图 2L1D 题（抢渡长江）参考答案第 3 页，共 4 页
7、因为 v1v/2，由（16）对 L1 无要求。对于第 2 段 H2=760 m，仍用（9） ， （10） ，应有 L2 870 m，且第 2 段的时间（18） 22)(vuT注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，T 1=T3, 得总的时间为（19）2将给定的 L, H1, H2, u 和 v=2.28 m/s 代入（15） ， （17） ， （18） ， （19） ，求 L2 使 T 最小。编程计算可得：L 2= 922.9 m 时 T =892.5s 14 分 53 秒。将 L2= 923 m，L 1=L3= 38.5 m 分别代入（7）和（15）可得 1=127.70， 2=114.
8、50，即最佳的方向。类似 3，也可以用枚举法作近似计算：将 L2 从 880 m 到 1000 m 每 20 m 一段划分，相应的 L1，L 3 从 60 m 到 0 m 每 10 m 一段划分，编程计算得下表。L1, L3 (m) T1, T3 (s) 1, 3 ( 0 ) L2 (m) T2 (s) 2 ( 0 ) T (s)0 205.15 139.46 1000.00 522.45 104.12 932.7610.00 193.76 136.52 980.00 528.33 106.46 915.8520.00 183.58 133.42 960.00 535.89 109.01 90
9、3.0530.00 174.56 130.20 940.00 545.80 111.83 894.9340.00 166.67 126.87 920.00 559.23 115.04 892.5650.00 159.83 123.47 900.00 578.72 118.90 898.3960.00 153.98 120.02 880.00 613.18 124.28 921.15可知 L1=L3=40，L 2 =920 时 T=892.56(s)最小，即 14 分 53 秒， 1=3=126.870， 2=115.040。注 问题 3 中 v1= v3=1.47 m/s，v 2= 2.11m/s 及问题 4 中 v=2.28 m/s 的确定，是考虑到使平均流速仍保持报载的 1.89 m/s。学生可以合理地改变数据。
