1、黄牛课件网 http:/ 新课标免费资源网(无须注册，免费下载)第 31 课时 正多边形和圆一、温故而知新1、 外接圆半径为 R 的正六边形周长为 2、 下列图形中面积最大的是（ ）A边长为 5 的正方形的内切圆B半径为 的圆2C边长分别为 6、8、10 的直角三角形的外接圆D边长为 7 的正三角形的外接圆3、已知点 A、B、C、D、E 是O 的 5 等分点。画出O 的内接和外切正五边形二、考点解读（1） 、考点1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形2、定理 1：把圆分成 n（n3）等分(1)依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形(2)经过各分点作圆的切线，以
2、相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形3、定理 2：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。这两个圆是同心圆正多边形中心：正多边形外接圆（或内切圆）的圆心正多边形半径：正多边形外接圆半径正多边形中心角：正多边形每一边相对的外接圆的圆心角。正 n 边形的每个中心角都等于036n4、正多边形都是轴对称图形。5、正 n 边形的有关计算 正 n 边形的每个内角都等于0(2)18 定理 3：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 an=2Rnsin rn=Rncos Rn2=rn2+（ ） 2 0180 a Pn=ann Sn= anrnn= Pnrn12
3、5、边数相同的正多边形相似。周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比。面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比（2） 、难点1、内接正多边形和外切正多边形的证明：关键是要证明各分点是圆的 n 等份点即可2、正多边形的计算：实质上就是解直角三角形，把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题。3、正多边形的对称性：一个正 n 边形共有 n 条对称轴。每条对称轴都通过正 n 边形的中心。n 为偶数边时，它还是中心对称图形。它的中心就是对称中心黄牛课件网 http:/ 新课标免费资源网(无须注册，免费下载)三、例题讲解：1、已知正六边形 ABCDEF 的半径为 6，求这个正六边形的边长 a6,周长
4、 P6 和面积 S6解：作半径 OA、OB,作 OGAB,垂足为 G,得 RtOGBGOB= =300 a 6=2Rsin300=686P 6=6 a6=66=36r 6=Rcos300= ( r6 为该正六边形的边心距 )3S6= r6 a66= 366=32412123如果用 Pn 表示正 n 边形的周长，则正 n 边形的面积 Sn= Pn rn12变式题：已知正三角形的半径为 6，求该正六边形的边长 a3,周长 P3 和面积 S32、 求证各角相等的圆外切五边形是正五边形已知：在五边形 ABCDE 中，A=B=C=D=E，边 AB、BC、CD、DE、EA 与O 分别相切于点 A、B、C、
5、D、E求证：五边形 ABCDE 是正五边形证明：作O 的半径 O A、O B、O C,则 O AAB、O BBC、O CCDB=C 1=2ABC同理： ABDE即切点 A、B 、C、D 、E是O 的五等分点五边形 ABCDE 是正五边形变式题：求证各角相等的圆外切 n 边形是正 n 边形3、已知：如图，ABC 是O 的内接等腰三角形，顶角A=36 0，弦 BD、CE 分别平分ABC、ACB.求证：五边形 AEBCD 是正五边形解：ABC 是等腰三角形，顶角A=36 0，ABC=72 0，ACB=72 0，又弦 BD、CE 分别平分ABC、ACBABD=DBC=ACE=BCE=BAC=36 0A
6、ADCEB五边形 AEBCD 是正五边形变式题：求证：顺次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形四、中考视窗1、 （2005 山东）已知正六边形 ABCDEF 内接于O 图中阴影部分的面积为 12 ，则3O 的半径为 黄牛课件网 http:/ 新课标免费资源网(无须注册，免费下载)解：连接 OB、OD，作 OM BD，垂足为 M BFD 是正三角形 ，设 BD=2a ，则 OM=acot600= a 3S= BDOM= 2a a 3= a2=12 123a=2 R= =4 30sin62、 （2005 江苏）正方形 ABCD 内接于O，点 E 在 AD 弧上，则BEC= 解：四边形 ABC
7、D 是圆的内接正方形， AABCDEBOC=90 0 BEC=45 0五、牛刀小试1、已知正方形的内切圆的半径 r=1，那么这个正方形的外接圆的面积 S= （结果用 表示）2、一个正多边形边长是半径的 倍，这个正多边形边数是 23、已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积的比 4、正三角形的边心距、半径和高的比 5、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）A、1： ： B、 ： ：1 C、3：2：1 D、1：2：323326、周长相等的正方形与正六边形的面积为 S1 、S 2，则 S1 和 S2 的关系为（ ）A、S 1 S2 B、S 1 = S2 C、 S1 S2 D、无法确定7、如图 正五边形的对角线 AC 和 BE 相交于点 M。求证：（1）ME=AB（2）ME 2=BEBM 8、在半径为 4 的O 中，内接四边形 ABCD 的边 AB、BC、AD 的长恰好分别等于O黄牛课件网 http:/ 新课标免费资源网(无须注册，免费下载)内接正三角形、正方形、正六边形的边长，求四边形 ABCD 的面积7 题 8 题六、总结、反思、感悟
