1、第 1 页 共 11 页2015年深圳市高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共 6 小题，每小 题 6 分，共 36 分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置 ）1 集合 ， ，若 ，则 的值为0,4Aa41,B0,1246ABaA B C D 42 一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能是 长方形； 正方形；圆；菱形. 其中正确的是A B C D3设 ，则0.50.32,log4,cos3abA B C Dcababcbca4. 平面上三条直线 ，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数21,0,xyxky的值为kA. B. C.
2、或 D. ， 或1 20125 函 数 （ 其 中 ） 的 图 象 如 图 所 ()sin()fxx,|A示 ， 为 了 得 到 的 图 像 ， 则 只 要 将 的 图 像 co2g()fxA 向 右 平 移 个 单 位 长 度 B 向 右 平 移 个 单 位 长 度612C 向 左 平 移 个 单 位 长 度 D 向 左 平 移 个 单 位 长 度6. 在棱长为 1 的正四面体 中，记 ，则 不同取值的1234A12(,2,34)ijijaAij ija个数为A6 B5 C3 D2二、填空题（ 本 大 题 共 6 小 题 ，每 小 题 6 分 ，共 36 分 请 把 答案 填 在 答 题 卡
3、 相 应 题 的 横 线 上 ）7已知 ， ，若 ，则)1,(ma)2,(b)()(ba= .8如图，执行右图的程序框图，输出的 T= .9. 已知奇函数 在 上单调递减，且 ，()fx,0)(2)0f则不等式 的解集为 110.求值： 250sin370cos11对任意实数 ，函数 都满足等式 ，且 ，则 .yx,)(xf )(2)(2yfxfyxf0)1(f)21(f（第 5 题图）（第 8 题图）3侧视图正视图22（第 2 题图）2第 2 页 共 11 页12.在坐标平面内，对任意非零实数 ，不在抛物线 上但在直线m2132ymxxm上的点的坐标为 .1yx答 题 卡一、选择题（本大题共
4、 6 小题，每小 题 6 分，共 36 分 ）题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题（ 本 大 题 共 6 小 题 ，每 小 题 6 分 ，共 36 分 ）7 8 9 10 11 12 三、解答题（本大题共 6 小题，共 78 分.解答应写出必要的文字 说明、 证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分 12 分）为预防 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有1HN效的概率小于 90%，则认为测试没有通过)，公司选定 2000 个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组 B 组 C 组疫苗有效 673 xy疫苗无效 77 90 z已知在全体样本中随机抽取
5、 1 个，抽到 B 组的概率是 0.375.（1）求 的值；x（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个，问应在 C 组中抽取多少个？（3）已知 , ,求该疫苗不能通过测试的概率.465y2z14 （本题满分 12 分）第 3 页 共 11 页已知函数 xxxf 2sin)1(cos2)(（1）求 的最小正周期及单调增区间；（2）若 ，求 的值),0(,)(f15 （本题满分 13 分）如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别是1CBA21AB90CBGFE,的中点AC,1（1）求证： 平面 ；/1EFG（2）求证： ；C（3）求三棱锥 的体积.B116 （本题满分 13 分）ACB
6、B1 A1C1FGE第 4 页 共 11 页已知函数 .当 时，记 的最小值为 .txf32)(x),t)(xf)(tq(1)求 的表达式；tq(2)是否存在 ，使得 ？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.0)1(tqt17 （本题满分 14 分）第 5 页 共 11 页已知圆 和直线 ，点 在圆 上，过直线 上一点2:810Mxy:90lxyCMl作 .AC（1）当点 的横坐标为 且 时，求直线 的方程；445ACA（2）求存在点 使得 成立的点 的横坐标的取值范围.18 （本题满分 14 分）在区间 D上，若函数 为增函数，而函数 为减函数，则称函数 为区间)(xgy)(1xgy)(xg
7、y上的“弱增”函数已知函数 f（1）判断函数 ()fx在区间 (0,1上是否为“弱增”函数，并说明理由；（2）设 122,，证明 2121()fxfx；（3）当 0,x时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围aa2014年深圳市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题：C B A D D C 二、填空题：7. 8 9. 2 ),2()1,0,(10. 11 12. 43013,3,42三、解答题：13. （本题满分 12 分）解：（1）因为在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B 组的概率 0.375， 所以 ， 2 分375.029x第 6 页 共 11 页即 . 3 分60x（2）C 组样本个数为
8、yz2000（6737766090）500， 4分现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个，则应在 C 组中抽取个数为个. 7 分3509（3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件 M.由（2）知 ，且 ,所以 C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：yz,yzN（465，35） 、 （466，34） 、 （467，33） 、（475，25）共 11 个. 9 分由于疫苗有效的概率小于 90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有， 109.02673y分即 ，18解得 ，467y所以事件 M 包含的基本事件有：（465，35） 、 （466，34）共 2 个. 11
9、分所以 ， 12)(P故该疫苗不能通过测试的概率为 . 12 分2114. （本小题满分 12 分）解： 1xxxf 2sin)62cos(1)(分 x2sin6iss2 分x2in1co231. 4 分)sin(x（1） 的最小正周期为 ； 5)f 2T分又由 ， 6 分,32kx得 ， 7 分)(12,5Zk第 7 页 共 11 页从而 的单调增区间为 8)(xf )(12,5Zkk分（2）由 得 ， 91)32sin()f 0)3sin(分所以 ， 10 分k6)(Zk又因为 ，所以 或 12),0(35分15. （本题满分 13 分）解：（1）因为 分别是 的中点，所以 ；1 分EG、
10、 ACB、 BCGE/又 ，所以 ； 2 分CB/1/1又 平面 ， 平面 ，FF所以 平面 3 分/1E（2）直三棱柱 中，因为 ，1CBA90AB所以 平面 ； 4 分又 ，所以 平面 ，即 ； 5 分GE/E11CGE又因为 ，所以四边形 是正方形，即 ； 6 分21ACA1A又 分别是 的中点，所以 ，从而有 ， 7 分F,F1/F由 ，所以 平面 ，即 8 分EG1EG1C（3）因为 平面 ，所以 10/1CB 111 EFGFCFBVV分由于 平面 ，所以 ，且 11 分A1SEFEFG11312B又由于 ，12 分341111 CAACEFCS正 方 形所以 ，即 132311
11、VEFG 1EFGBV分16. （本题满分 13 分）ACBB1 A1C1 FGE第 8 页 共 11 页解：（1） txf32)( 1 分11当 时， 在 时为增函数，所以t)(xf),t在 时的最小值为 ；3 分)(f,t tftq)(当 时， ； 5 分1t 13)1(2tfq综上所述， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 62()tt分（2）由（1）知，当 时， ， 0t 13)(2ttq所以当 时， 7 分t12tt由 得： ， 8 分)1(tq2t即 ， 9 分034t整理得 ， 11 分)1)(2t解得： 或 . 12t5t分又因为 ，所以 .即存在 ，使得 成立. 130t
12、1t1t )1(tq分17. （本题满分 14 分）解：（1）圆 的方程可化为： ，所以圆心 （2，2） ，半径 = . 1M2217()()xyMr342分由于点 的横坐标为 ，所以点 的坐标为（4，5） ，即 . 2 分AA13A若直线 的斜率不存在，很显然直线 与 夹角不是 ，不合题意，故直线 的斜CC45 AC率一定存在，可设 直线的斜率为 ，则 的直线方程为 ，即k(4)ykx. 3 分540kxyk由于 所以 到直线MAC)(xfx1O第 9 页 共 11 页的距离为 ，此时 ，即这样的点 存在. AC26|AMdrdC4 分由 ，得 ，解得 . 52541k231k15 k或分所
13、以所求直线 的方程为 或 . 6AC05yx02yx分(2)当 时，过点 的圆 的两条切线成直角，从而存在圆上的点 （切点）使得rM2|MC. 7 分45A设点 的坐标为 ，则有),(yx， 8 分0917234)2(2yx解得 或 . 963y分记点 为 ，点 为 ，显然当点 在),(P),(QA线段 上时，过 的圆的两条切线成钝角，从QA而必存在圆上的一点 使得 ；11 分C45M当点 在线段 的延长线或反向延长线上时，过P的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的A点 使得 ， 13 分45所以满足条件的点 为线段 上的点，即满足条件的点 的横坐标取值范围是 .14AQA3,6分18 （本
14、题满分 14 分）解：（1）由 1()fxx可以看出，在区间 (0,1上， ()fx为增函数. 1分yOMAxl第 10 页 共 11 页又 1111()(1)xxfxx x ，3 分显然 在区间 (0,上为减函数，f()x在区间 ,1为“弱增 ”函数. 4分（2） 12212121212 1() ()xxfxfx x.6 分121,0,， ， ，即x221x211()x， 8 分()ff2. 9 分（3）当 0x时,不等式 显然成立. 10 分xa1“当 ,1时，不等式 恒成立”等价于“ 当 0,1x时，不等式即 恒成立” . 11 分)(xa)(1xfa也就等价于:“ 当 0,时， 成立” . 12min)(f分由(1)知 1()fx在区间 (0,1上为减函数, 所以有 . 1321)()(1minfxf分，即 时，不等式 对 0,1x恒成立. 1421a21aax1分
