1、 学 号 _ 毕 业 论 文 课 题 概率统计在生活中的应用 学生姓名 系 别 数学与计算机科学系 专业班级 数学与应用数学 指导教师 二 0 一 年 六 月 目 录 摘 要 . I ABSTRACT . 错误 !未定义书签。 第一章 绪 论 . - 1 - 第二章 概率统计的概念及发展 . - 2 - 2.1 概率统计的概念 . - 2 - 2.2 概率统计的发展 . - 2 - 2.2.1概率统计的起源 . - 2 - 2.2.2概率统计的发展 . - 2 - 第三章 概率统计在生活中的应用 . - 4 - 3.1 在抽签、摸彩中的应用 . - 4 - 3.2在现实决策中的应用 . - 4
2、 - 3.3 经济效益中的应用 . - 8 - 3.4在预算及检测中的应用 . - 10 - 3.5在相遇问题中的应用 . - 12 - 结 论 . - 13 - 参考文献 . - 14 - 致 谢 . - 15 - 学院毕业论文 I 概率统计在生活中的应用 摘 要 随着 21 世纪的到来，数学在我们的生活中变得越来越必不可少，在科技上，数学早就成为了计算工具，在美学方面，许多数学符号，数学故事令我们如痴如醉，但是更多的在平民百姓中，数学也正变得不可或缺。而我在这里要讲述的是数学的一部分 -概率。概率在生活中的应用也非常广泛，在我们生活中有许多深奥的问题，让我们头疼，其中就有随机现象，而随机现
3、象在自然界生活中又是无处不在，随着科学技术的不断进步，概率也在数学中占有了较大的比重， 概率是在大量的重复试验而得出的，我更是把概率统计当成了一个工具，让我们在以后遇到相同的事情时，或者预测相似的事情时，做出更加正确的选择。 本文首先介绍概率的发展史，然后通过体育赛事中的概率，人类基因中的概率以及高考中的概率等一系列生活中的具体事例来阐述概率的重要性，最后 关键词 ： 概率统计；概率统计的含义；概率统计的应用 学院毕业论文 - 1 - 第一章 绪 论 概率统计是一门与生活联系紧密的学科同时也是一门相当有趣的数学分支学科， 17、18世纪，数学获得了飞速的发展。数学家们冲破了古希 腊的演绎框架，
4、向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多的新面孔，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期使 “欧几里得几何相形见绌 “的几个重大成就之一。 概率统计的起源与赌博有关， 随着科学技术的发展以及计算机的普及 ,它最近几十年来在自然科学和社会科学中得到了非常广泛的应用 ,在社会生产和生活中起着非常重要的作用。 我们生活在一个日新月异、千变万化的年代里，而我们每个人时时刻刻都要面对生活中碰到的问题。而其中大部分的问题都是随机的、不确定的。如决策时如何获得最大利益，公 司如何组合生产才能获得最大收益，如何增大买彩票的中奖概率，如何进行误差分析、所购物品的产
5、品检验，生产质量控制等等，当我们在碰到这些问题时应该怎样解决它呢？好在我们现在有了概率统计，概率统计是一门研究和揭示随机现象及其规律的一门数学学科。 实践证明 ,概率统计是对生活中遇到的问题进行量的研究的有效工具 ,为经济预测和决策提供了新的手段。 本文就通过列举一系列的实例来阐述概率统计在 抽签中的应用 、 现实决策中的应用 、 经济效益中的应用 、 最大利润问题中的应 用 、 在相遇问题中的应用 、 在经济保险问题中的应用 、 在最优配置问题中的应用 、 在中奖问题中的应用 、 概率与选购方案的综 合应用 、 工厂生产中的应 合理配置维修工人问题 、 在设计方案的的综合应用 、 在金融领域
6、中的应用 、 在商品检测中的应用 在运输预算中的应用 等方面中的应用。 概率统计在生活中的应用 - 2 - 第二章 概率统计的概 念及发展 2.1 概率统计的概念 自然界和社会上发生的现象是多种多样的，有一类现象，在一定条件下必然发生，例如，向上抛一本书必然下落，同性磁极必然相互排斥一样等等。这类现象我们称之为确定性现象。同时呢在自然界中还存在着另外一种现象，例如，在相同的条件下抛同一枚硬币，那么它的结果可能是正面朝上也可能是反面朝上，并且每次抛掷之前是无法肯定结果是怎么样的；用同一门炮向同一目标射击，各次弹着点不尽相同，在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置。这类现象，在一定的条件下，可能出
7、现这样的结果也可能出现那样的结果，而想试验 和观察前不能预知确切的结果，但人们经过长期实践并深入研究收，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种规律性。例如多次重复抛一枚硬币得到正面朝上大致有一半，同一门炮射击同一目标的弹着点按照一定规律分布，等等。这种大量重复试验或观察中所呈现出是固有规律性就是我们所谓的统计规律性。这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律的现象我们称之为随机现象，而概率统计就是研究好揭示随机现象统计规律性的一门学科。 2.2 概率统计的发展 2.2.1概率统计的起源 概率论是一门研 究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪
8、中叶，当时一个关于赌博的问题刺激数学家们首先思考概率论的问题。数学家费马向另外一著名数学家帕斯卡提出这样的一个问题：“两个赌徒做了一个赌局，规定谁先赢 z局谁就胜利，当赌徒 X赢 x局 x z，而赌徒 Y 赢 y 局 y z时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”于是这两位数学家用两种截然不同的思想，在 1654 年 7月 29日给出了正确的解法，而在三年后，即 1657 年，荷兰的另一著名数学家惠根斯也用其自己的方法解决了这一难题，更写成了论赌博中的计算一书，这就是概率论最 早的论着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。 2.2.2概率统计的发展
9、 瑞士数学家雅各布 -伯努利概率论是数学一个分支的另外一个奠基人。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，而我们称之为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。这一定理在他死后，发表在他的遗著猜度术中。到了 1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作分析杂论，当中包含了著名的“棣莫弗 拉普拉斯定理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在 1812年出版的概率的分析理论中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和另外几位数学家一起建立起了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。 法国的泊松也是概率论的发展上描上了很重的一笔。他推广了伯努利形式
10、下的大数定学院毕业论文 - 3 - 律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。概率论发展到 1901 年，中心极限定理终于被严格的证明了，此后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了 20 世纪的 30年代，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在 1931 年被奠定其地位。 1934 年，辛钦提出平稳过程的相关理论。 1948年莱维出版的著作随机过程与布朗运动提出了独立增量过程的一般理论。 1939 年， J.Ville 引进了一个全新的概念 “鞅”。
11、 1950 年以后，杜布对“鞅”进行了非常系统的研究以及定义，促使“鞅”论成长为一门独立的数学分支。从 1942 年开始，伴随着随机积分以及随机微分方程的引入，不仅开启了一个全新的随机过程研究，而且为随机分析的创立和发展奠定了坚实的基础。概率论的发展史说明了理论与 实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。 概率统计在生活中的应用 - 4 - 第三章 概率统计在生活中的应用 3.1 在抽签、摸彩中的应用 例 1.生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。我们就来研究一下，从概率的方面来说明抽签次
12、序是否影响抽签结果？ 解： 在 n个签中第 x个抽签者抽到彩签，此时样本点取决于 n个人中那个抽到彩签。共有 1nC ， 样本点，而第 x个人抽彩签，只需 其余（ n-1）个人在（ n-1）个签中选。即 xnxnC ，个签中第 x个人中签的 概率为nCCP nxn xnx 11 . 以上两种揭发所得结果相同，都与抽签的顺序 x无关，这证明抽签是公平的。如果 n个人将有 1个人中签，那么无论是先抽还是后抽，其中签的概率均为 nPx 1；也就是说，并未因为抽签的顺序不同而影响到其公平性。 例 2.有这样一种“摸彩”游戏，一个箱子内装完全相同的白球 20个，且每个小球都编上号（ 1 20号）和 1只
13、黑球 ，规定：每次只允许摸一只球。摸前交 10元钱且在 1 20内写一个号码，摸到黑球奖 50元，摸到号码数与你写的号码相同奖 100元。 （ 1）该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。 （ 2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？ 解 （ 1） P（摸到黑球） P（摸到同号球） 121；故没有利 （ 2）每次的平均收益为 ，02140)10*2119()1 0 050(211 故每次平均损失 2140 元 3.2 在现实决策中的应用 例 3.小王上班有两条路可走，第一条路所需时间 210,40 NX ,第二条路所需要时间 24,50 NY ，求： （ 1）若他提起一个
14、小时去上班，走哪条路迟到的可能性小？ （ 2） 若提前 55分钟呢？ 解 因为 22 4,50,10,40 NYNX ,所以 学院毕业论文 - 5 - （ 1） 1 2 2 8.02110 4060160160 XPXP 0 0 6 2.05.214 4060160160 YPYP 因此走第二条路迟到的可能性小一点。 （ 2） 0 6 6 8.05.1110 4055155155 XPXP 1 0 5 6.025.114 4055155155 YPYP 因此走第一条路迟到的概率比较小。 例 4.甲乙两电影院在竞争 1000名观众，假定每个观众随意的选择一个电影院，且观众之间的选择是彼此独立的，
15、问每个电影院应设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于 1%？ 解 以甲电影 院为例，设甲电影院需要设 M个座位，定义随机变量 kX 如下： 01kX 相反个观众选择甲影院第 kk=1,2,， 1000 则甲影院观众总数为kk XX 10001又 21KXE 414121222 kkk XEXEXD 1000,2,1 k 105,5 0 0 0,1 0 0 0 nnn 由独立同分布中心极限定理知105 500X近似服从 1,0N ，从而 %99105 5 0 0105 5 0 0105 5 0 0 MMXPMXP 查看正态分布表得 33.2105 500 M 所以 84.5361
16、0533.2500 M 故每个戏院应设 537 个座位才能符合要求。 概率统计在生活中的应用 - 6 - 例 5.某汽车 4S 店现有 A， B， C 三种型号的甲汽车和 D， E 两种型号的乙汽车 A 型 60000元， B 型 40000 元， C 型 25000 元， D 型 50000 元， E 型 20000 元。某公司准备从两种汽车中分别选购一种型号的汽车 (1) 写出所有可能的选择方案。 (2) 假如每种选购方案被认可的概率的一样的，那么 A 汽车被选中的概率是多少？ (3) 现知该公司购买甲、乙两种汽车共 36 台，刚好花费了 100 万元人民币，且知道购买的甲汽车是 A 型号
17、的，那么购买了 A 型号汽车多少辆？ 解 ： (1) 列表如下： 乙 甲 A B C D (D,A) (D,B) (D,C) E (E,A) (E,B) (E,C) 表 3-1 有 6 种方案分别为： (A， D)，（ A， E），（ B， D） ，（ B， E），（ C， D），（ C， E） (2) 由（ 1）可知，包含 A 的方案值有 (A， D)（ A， E），则 A 汽车被选中的概率是 31 。 (3) 由题可知当选择 A 时另外一种车型只有 D 或者 E 即（ A， D）（ A， ）。 当选择 A,D 两种型号的时候 设购买 A 型号、 D 型号汽车分别为 x， y 辆， 根据题意
18、，得 .1 0 0 0 0 0 05 0 0 0 06 0 0 0 0 ,36 yxyx解得 .116,80yx因为 x， y 必然是大于 0 的所以不符合题意； 当选择 A,E 两种型号的时候 设购买 A 型号、 型号汽车分别为 x， y 辆，根据题意，得 .10000002000060000 ,36 yxyx解得 .29,7yx故该公司购买了 7 辆 A 型号汽车 例 6.设有同类型仪器 100 台，他们的工作是相互独立的，且发生故障的概率均为 0.01.一台仪器发生了故障，一个工人可以排除。至少配置多少个维修工人，才能保证仪器发生故障但不能及时排除的概率小于 0.01？ 解：由题可知 n
19、=100， 01.0,100 BX 100,2,1,0,99.001.0 100100 kkXP kkkc 学院毕业论文 - 7 - 设配备 N个维修工人，则所求概率为 kkNk kcNXPNXp 100100 1 100 99.001.0111 !1 ekNk k 这里 101.01 0 0,1 0 0 npn ，所以可用 P（ 1）近似代替 B（ 100,0.01）。要使01.0!1 11 ekNk k 查泊松分布表得 N+1=5 即 N=4，因而配备 4人维修就可达到要求。 例 7.某工厂为控制产品质量，要求质检员需每天不定时的 20次去检测生产线上的产品若把一天 24小时的每二十分钟分
20、解为一个时间段 (共计 72个时间段 ),现想要抽取 20个时间段，其中任意一个时间段被抽取的机会均等。请给出一个理想的方法。 解： （ 1） 用从 1 到 72 个数，将从 一天 24 小时 的每 二 十分钟按顺序编号， 则 共有 72 个编号 . （ 2） 在 72 个小 球 上标出 1 到 72 个数 . （ 3） 把这 72 个小 球 用 小木箱 装 起来。 . （ 4） 每次从 小木箱 中摸出一个小 球 ，记下上面的数字后， 并不在放回 （ 5） 将上述步骤 4 重复 20 次，共得到 20 个数 . （ 6） 对得到的每一个数转换成具体的时间 即可 . 例 8.银行为支付某日即将到
21、期债券须准备一笔现金，已知这批债券共发行了 500张，每张须付本息 1000元，设持券人（一人一券）到期日到银行领取本息的概率为 0.4，问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换。 解：设兑换个持券人到期不去银行第 换个持券人到期去银行兑第， i i01iX则该日到银行兑换的总人数为 5001i iX，所需资金为 50011000i iX，为使银行能 99.9%的把握满足客户的兑换，即要求 x，使得 9 9 9.05 0 01 i i xXP，这里 500,2,1 iXi 服从伯努利分布 24.01,4.0 ppXDpXE ii 由中心极限定理知 9 9 9.01 2 01 2 01 2 02 0 01 2 02 0 050015001 xxXPxXP i iii 查表得 96.2 3 3,1.31 2 02 0 0 xx所以银行只需要准备 234000元就能满足客户的兑换了。
