1、12015 年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5 月 10 日上午 8：3011：00）一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1.集合 的子集有（ ）13AxxN，A4 个 B8 个 C16 个 D32 个【答案】 C 【解答】由 ，知 ，结合 ，得 。13x24xxN0123A， ， ， 的子集有 个。462若直线 与直线 ： 关于直线 对称，则 与两坐标轴围成的三角形的2l1lyy2l面积为（ ）A1 B C D3214【答案】 D 【解答】在直线 ： 取点 ，则 关于直线 的对称点1lyx(0)A， (0)， yx在直线 上。(10)， 2又直线 与直线 的交点 在直线 。1l 1
2、)P， 2l 过 和 两点，其方程为 。2(0)A， (， 1yx 与坐标轴交于 和 两点， 与坐标轴围成的三角形的面积为 。2l1)， 0)2， 2l 143给出下列四个判断：（1）若 ， 为异面直线，则过空间任意一点 ，总可以找到直线与 ， 都相交。abPab（2）对平面 ， 和直线 ，若 ， ，则 。lll（3）对平面 ， 和直线 ，若 ， ，则 。 （4）对直线 ， 和平面 ，若 ， ，且 过平面 内一点 ，则 。1l21l 21l 2lP2l其中正确的判断有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】 B 【解答】 （3） 、 （4）正确；（1） 、 （2）不正确。对于（1）
3、 ，设 ，过 和 的平面为 ，则当点 在平面 内，且不在直线 上时，a bPb找不到直线同时与 ， 都相交。24如图，已知正方体 ， 为 中点，则二1ABCDECD面角 的正切值为（ ）1EABA1 B C D2422【答案】 D 【解答】如图，作 于 ，作 于 ，连结 。EFAB1FOABOE由 为正方体，知 ，1ABC面。1EF又 。因此， ， 。O1面 1E 为面角 的平面角。EAB设正方体棱长为 ，则 ， 。aF124OABa 。tn2O5已知 为等腰直角三角形， ， ， 为 中点，动点 满ABC C4OABP足条件： ，则线段 长的最小值为（ ）2PPA B2 C D435【答案】
4、B 【解答】以 所在直线为 轴， 为坐标原点，建立平面直角坐标系。则 、xO(20)A，、 。(20)， ()C，设 ，由 ，知 。Pxy， 2PAB222()()xyxyxy ，2 2()(4)(4)xy即 ，化简，得 。2 2)8162 。22( (1)4CPyy 时， 有最小值 2。此时， 。1y 3P，6记 ， ， ， ，则 ， ， ， 的大小关系为（ ）eabceedabcdA B C Ddcabbcda（必要时，可以利用函数 在 上为增函数，在 上为减函数）()lnfxx0， e，【答案】 A 【解答】 ， 。lncllde第 4 题 图第 4 题答题图图3设 ，由 在 上为增函数
5、，在 上为减函数，()lnfxex()f0e， e，得 ，于是 。fln()ln0f ，即 ，于是 ， 。lldcdce又显然， ， 。于是， 。eaebadcb二、填空题（每小题 6 分，共 36 分）7已知 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 。()fx()gx 2()xfxg(1)f【答案】 34【解答】依题意，有 ，(1)213f。由 为奇函数， 为偶函数，得 。 (1)2fg)fx()gx3(1)2fg ，得 ， 。3()f(1)4f8已知直线 ： 的倾斜角为 ，若 ，则 的取值范围为 l0xBy45120B。【答案】 3(1)，【解答】当 时， ；当 时， ，解得 ；当90B45901
6、B10B时， ，解得 。9012330 的取值范围为 。B(1)，9如图，在三棱锥 中， ， ， ， 为等边PABCPBCAPBCPB三角形，则 与平面 所成角的正弦值为 。C【答案】 217【解答】如图，作 于 ，则 就是 与平POABC面 POC面 所成的角。ABC ， ， 第 9 题 图4 。PABC面设 ，则a。23113341PABCPPBCVSaa又 ，2724Sa。2131PABCABCVOSaPO ， 。7a321sin7或求出 外接圆半径 后，再求解。10函数 的最小值为 。22() 6fxxx【答案】 6【解答】 由 ，知 ， 或 。230x132x或或 x3 的定义域为
7、。()f， ， 和 在 上都是减函数，在 上都是增213y26y3， 3，函数。 在 上是减函数，在 上是增函数。22()fxxx， ， 的最小值是 与 中较小者。(3)f(f ， 。(3)f6 的最小值是 。x11已知函数 （ ，且 ）在区间 上的最小值为 ，则254xya0a11， 54在区间 上的最大值为 。254xya1，【答案】 10【解答】设 ，则 在 上为增函数。xta2254154()xyat5，时， ， 在 上为增函数。011t， 2()ta， ， 。 。2min54()ya1a2max541()0y第 9 题答题图5时， ， 在 上为增函数。1ata， 2541()yta，
8、 ， 。 。2min541()ya2max541()0y12若实数 ， 满足条件： ，则 的最小值为 xy23096y。【答案】 42【解答】由条件知， ， ，因此， ， 。30xy230xy23xy0x由对称性，不妨设 ，则 。设 ，代入 ，消 并整理，得 。 xyt2962286tt由的判别式 ，得 或 。243()0tt 4t由 知， ， 。23xy又 时，化为 ，得 ，此时 ，符合 。4t282y924x30xy 的最小值为 。因此， 的最小值为 。x6三、解答题（第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 78 分）13在 中，已知点 ， ，且它的内切
9、圆的方程为 ，求点ABC (21)A， (8)B， 24xy的坐标。C【答案】易知直线 于圆 相切，直线 、 的斜率存在。OC设直线 的方程为 ，即 。1()ykx1120kxyk由直线 与圆 相切，知 ，解得 。A21034 直线 的方程为 。 8 分C34xy设直线 的方程为 ，即 。B28()k2280kxy由直线 与圆 相切，知 ，解得 。O208115k 直线 的方程为 。 12 分1534xy由 ，解得 。340158xy67 点 的坐标为 。 16 分C(6)，714已知 （ ， ， ） ，且对任意实数 ， 恒成立。2()fxbcR0bx()2fxb（1）求证： ；c（2）若当
10、时，不等式 对满足条件的 ， 恒成立，求 的2()()McfcbcM最小值。【答案】 （1） 对任意实数 ， 恒成立，xfxb 对任意实数 ， ，即 恒成立。x2bc2()0xc ，即 。 4 分()4()0b 240 ， 。 8 分24c（2）由 以及（1）知， 。c 恒成立，等价于 恒成立。 12 分2()()Mbfb 2()fcbM设 ，则 。ct22()1cbtct由 ，知 的取值范围为 。1tb2()1fbct 3()2， ， 的最小值为 。 16 分3M3815如图， 、 分别是 的中线和高线， 、 是 外接圆 的切ADCFAB PBCA O线，点 是 与圆 的交点。EPO（1）求
11、证： ；P （2）求证： 平分 。E【答案】 （1）由 为圆 切线，知 。PCOCAFDP 、 是圆 的切线， 为 中点，BB 、 、 三点共线，且 。ODP ， 。90AF 。 4 分CP ， 为 中点，B ， 。12FDDFB 。于是， 。ACPACP又 。180180ACP 。 8 分FD （2）延长 交圆 于点 ，连结 ， ， 。AOGEB由 ，知 .CP AFP ， 。 12 分BGE又 为 中点， 。 。D ， 。ADBGCDE 平分 。 16 分CE（2）或解：连结 、 、 、 。OO由 ， ，知 。BP2P又由切割线定理知， ，2BA 。DE第 15 题 图第 15 题答题图第
12、 15 题答题图9 、 、 、 四点共圆。 12 分EAOD 。EAP又 于 ，因此， 。PBCCD 平分 。 16 分16已知正整数 ， ， （ ）为 的三边长，且 ，abcacAB 221515abc求 的最小值。其中 表示 的小数部分，即 （ 表示不超过abcmmm的最大整数） 。m【答案】由 ，知 （即， ， ， 被 15 除221515abc2(od15)abc2abc的余数相同。 ） 4 分 ， 。()0(mod)ba(1)0(m)cb由 2 与 15 互质知， ， 8 分215ab2od15c经验算，可知满足 的最小正整数 。t 4t ， 都是 4 的倍数。 12 分abc设 ，
13、 （ ， 为正整数，且 ） 。4xyxyx ， ， 构成三角形三边长， ， 。cac4() 。5经验证，5， ， 可以为三角形的三边长。4195213 的最小值为 27。此时， ， ， 。 16 分abca9b5c1017已知集合 。集合 是 的子集，且在 的任意三个元素中，123015PL， ， ， ， APA总可以找到两个元素 和 ，使得 是 的整数倍。求 的最大值。 （其中 表示集合abab的元素的个数） 。A【答案】首先集合 符合要求。231029133ALL， ， ， ， ， ， ， ， ， ，此时， 。 5 分2设 ， ，满足：在 的任意三个元素中，13kAaaPL， ， ， ， 123kaaA总可以找到两个元素 和 ，使得 是 的整数倍。bb取 的任意三个相邻元素： ， ， 。依题意 是 的整数倍，或 是n12n1n 2na的整数倍，或 是 的整数倍。na2n1 ，或 ，或 。1na2nna21nna于是，总有 成立。 10 分2因此， ， ， ， ，。42364482 若 ，则 与 矛盾。k105k0k 。1因此， 的最大值为 21。 14 分A
