1、1彭水中学 2007 年高中二年级数学竞赛试题（1 月 13 日下午 2：304：30）一、 选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分）1.函数 是（ ）42xf（A）是偶函数但不是奇函数 （B）是奇函数但不是偶函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也不是偶函数2. 函数 的图像大致是（ ）3logxy(A ) (B )(C ) (D)3. 已知不等式 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）22sin45cosm（A）0m4 （B）1m4 （C）m 4 或 m0 （D ）m 1 或m0o 11xyo 11xyo 11xyo 11xy24. 设 ，若“方程 满足 ，且方程至少有
2、一根 ”10,2A02cbxAcb, Aa，就称该方程为“漂亮方程” 。则“漂亮方程”的个数为（A）8 （B）10 （C）12 （D ）145. 设 则二次曲线 与 必有（ ）.3,0k213xyk215xy（A）不同的顶点 （B）不同的准线 （C）相同的焦点 （D）相同的离心率6. 设 为正整数 n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如)(f。记 ， ， 则143213)(1nff)()(1nffkk ，,321（ ）)06(2f(A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.二填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分）7. 已知函数 ，则 = .xf23 10102fff8.
3、 不等式 的解集为 .2x19. 已知ABC 中， ，试用 、 的向量运算式子表示ABC 的面积，bACaB,ab即SABC =_.10. 若 0b0 ） ，动圆 ： ，其中 bRa. 若 A 是12yx22Ryx椭圆 上的点，B 是动圆 上的点，且使直线 AB 与椭圆 和动圆 均相切，求 A、B 两点的距离 的最大值.A17某制衣车间有 A、B、C、D 共 4 个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在 7 天内，这 4 个组最多能生产多少套？组 A B C D上衣(件) 8 9 7 6裤子(条) 10 12 11 75彭水中学 20
4、07 年高中二年级数学竞赛试题参考答案及评分标准一、 选择题：（本题满分 30 分，每小题 5 分）1. A 2. A 3. C 4. C 5. C 6. D二、 填空题：（本题满分 30 分，每小题 5 分）7. 50 ； 8. ； 9. 10. ；11. ；12. 55312x 22)(|)(|1ba 392三、 解答题（本题满分 80 分，每小题 20 分）13证明(1).若 A=，则 A B 显然成立；-3 分若 A，设 tA，则 f(t)=t,f(f(t)=f(t)=t,即 tB,从而 A B。-7 分解 (2)：A 中元素是方程 f(x)=x 即 的实根. xa12由 A，知 a=
5、0 或 即 -10 分 0441aB 中元素是方程 即 的实根xax1)(2 0243x由 A B，知上方程左边含有一个因式 ，即方程可化为12a-15 分0)(22xx因此，要 A=B，即要方程 02x要么没有实根，要么实根是方程 的根.1a若没有实根，则 ，由此解得 -18 分0)1(422a43a若有实根且的实根是的实根，则由有 ，代入有 2ax+1=0.x2由此解得 ,再代入得 由此解得 .ax21,4a故 a 的取值范围是 -20 分3,614. 【解】 （）由 （ ， ） ，得 5 分axf3)(01)3(log)(1axf又函数 的图象与函数 的图象关于点 对称，则 ，gy)(1
6、xfy0,a)(1xf于是， （ ）10 分log)2()(1xfxa（）由（）的结论，有 )(log)3(log)(1 axxxfFa要使 有意义，必须)(xF.0,3ax又 ，故 15 分0a由题设 在 上有意义，所以 ，即 )(,2a321于是， 20 分115. 由已知易知 ， （n2）5 分12an令 ，则 ； ， （n2）10 分abn1b1b于是 ，即 ， （n2） 15 分n21a故 ， （n2） ，因为 也符合上述式子an1所以 ， （ n1） 20 分16.解：设 A 、B ，直线 AB 的方程为1,yx2,yx mkxy因为 A 既在椭圆 上又在直线 AB 上，从而有)2
7、(121byax将（1）代入（2）得 0222 mkxbka由于直线 AB 与椭圆 相切，故 0422bkaa从而可得 ， （3）5 分22kabmkx217同理，由 B 既在圆 上又在直线 AB 上，可得， （4）10 分221kRmmRakx2由（3） 、 （4）得 ，22abRakx21分所 以 15222 22 222 1112 baRbaRabmRkyxAB即 ，当且仅当 时取等号AB所以 A、B 两点的距离 的最大值为 . 20 分.ABba17解：A、B、C、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是： ，76,129,08且 -3 分17290876只能让每天生产上衣效率最高的
8、组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多. -5 分由知 D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设 A 组做 x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做 y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做 7 天上衣，C 组做 7 天裤子.则四个组 7 天共生产上衣 67+8x+9y (件)；生产裤子 117+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 . -10 分769xy令 = 42+8x+9y=42+8x+9( )=123+ -15 分769x2因为 0x7,所以，当 x=7 时，此时 y=3, 取得最大值，即 max=125.因此，安排 A、D 组都做 7 天上衣，C 组做 7 天裤子，B 组做 3 天上衣，4 天裤子，这样做的套数最多，为 125 套. -20 分
